AN
k étant un coefficient qui dépend uniquement de la nature des
m LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
surfaces des deux solides dans le voisinage de leurs points de contact. Ce couple résistant sera dirigé dans un plan perpendiculaire à l’axe instantané autour duquel s’effectuera le roulement élémentaire absolu ou relatif d’un des solides sur l’autre, et dans un sens tel qu’il tende à s’opposer à la continuation du roulement. Le couple résistant appliqué à l’un des deux solides sera d’ailleurs égal et directement contraire au couple résistant appliqué à l’autre solide. Si l’un des deux solides reste immobile, et si la vitesse angulaire de l’autre solide dans son roulement instantané sur le premier est J, il est aisé de voir que la somme des travaux développés pendant le temps dt, par les deux forces du couple résistant appliqué à ce second solide, a pour valeur
Dans le cas où les deux solides sont l’un et l’autre en mouvement, cette expression représente encore la somme des travaux dus aux forces des deux couples résistants égaux et contraires que nous regardons comme appliqués aux deux solides, m étant la vitesse angulaire dans le roulement relatif de l’un des deux solides sur l’autre ; car on sait que la somme des travaux dus à des forces qui sont deux à deux égales et directement opposées ne dépend que du mouvement relatif des points d’application de ces forces (§ 175), et par conséquent, dans le cas qui nous occupe, la somme des travaux dus aux forces des deux couples résistants est la même que si le roulement relatif d’un des deux solides sur l’autre était un roulement absolu.
§ 25G. Exemples du mouvement des solides naturels. — Glissement d’un cotys pesant sur un plan incliné. — Si un corps solide, posé sur un plan incliné, et soumis à la seule action de la pesanteur, cède à cette action et se met à glisser parallèlement à la ligne de plus grande pente du plan, il éprouve de la part du plan un frottement qui agit en sens contraire de son mouvement. Soient m la masse du corps, et ^ l’angle que le plan incliné fait avec l’horizon. Si l’on décompose le poids mg du corps en deux composantes, dont l’une mg cos ® agisse perpendiculairement au plan , et l’autre mg sin f agisse
parallèlement à ce plan, mg cos ^ sera la pression exercée par le corps sur le plan pendant son mouvement (§ 131); et par suite le frottement qu’il éprouve de la part du plan aura pour expression
fmg cos cp,
/étant le coefficient de frottement. Ce frottement agit en sens contraire du mouvement, et, par conséquent, en sens contraire de la composante w^sin <p du poids du corps; donc on peut dire que le corps se meut en ligne droite sous l’action d’une force égale à
mg sin <p — fmg cos cp.
Cette force étant constante, le mouvement du corps est uniformément varié, et l’accélération de ce mouvement est égale à
g (sin <p — /"cos o).
Si nous remplaçons f par tang «, cette expression deviendra
sin (O — a)
g — il :
cos a
donc le mouvement du corps sera accéléré ou retardé, suivant que l’angle 'f sera plus grand ou plus petit que l’angle de frottement ÎC.
Supposons que l’on fasse remonter le corps pesant le long de la ligne de plus grande pente du plan, en lui appliquant une force constante F dont la direction fasse un angle ^ avec .cette ligne de plus grande pente, fig. 117. Les projections du poids mg et de la force F sur la perpendiculaire au plan auront pour valeurs
et leur différence
mg cos O — F sin p,
qui sera nécessairement positive si le corps reste en contact avec le plan, sera la pression normale du corps sur le plan : le frottement aura donc pour valeur
f{mg cos 9 — F sin p).
La projection de la force F suivant la direction du mouvement sera égale à
F cos P;
si l’on en retranche la projection
mg sin o
du poids du corps sur la même direction, ainsi que le frottement dont on vient de trouver l’expression, on aura
F cos P — mg sin 9 — f{mg cos 9 — F sin |S)
pour la force qui agit sur le mobile suivant la direction de son mouvement rectiligne, et qui tend constamment à modifier sa vitesse. Cette force étant constante, il s’ensuit que le mouvement du corps est uniformément varié. Son mouvement sera uniforme, si l’on a
F cos |S — mg sin 9 — f{mg cos 9 — F sin /3) = 0, d’où l’on tire
sin 9 4- /■ cos 9 C0Sj6 /“sin/3
= mg
sin (9 4- a) cos (jS — a)’
a étant l’angle de frottement. On voit, par ce dernier résultat, que la force F, capable de faire remonter uniformément le corps sur le plan, varie de grandeur avec l’angle p que sa direction fait avec le plan; cette force F est un minimum lorsque p= u. C’est ce qu’on peut reconnaître facilement par des considérations géométriques, si l’on remarque que la réaction totale du plan
MOUVEMENT DES SOLIDES NATURELS. m
sur le corps (résultante de la pression et du frottement)* est dirigée suivant une ligne MR' faisant l’angle a avec la normale MN' (§ i254), et qu’cn conséquence, pour que la vitesse du corps ne change pas, il faut que la résultante des forces F et mr/' soit égale et directement opposée à cette réaction totale; en sorte que, si l’on mène par l’extrémité P de la droite qui représente la force mg une ligne PS parallèle à la direction de F, jusqu’à la rencontre de MR, prolongement de MR', la longueur PS fera connaître la grandeur de la force F : donc, pour que F soit un minimum, il faut que la parallèle à sa direction menée du point P à la ligne MR soit la perpendiculaire PU abaissée de P sur MR, et par suite, il faut que cette direction de F, perpendiculaire à MR, fasse avec le plan un angle |3 égal à «.
§257. Mouvement d'une bille de billard. — Cherchons à nous rendre compte des circonstances que présente le mouvement d’une bille sur un billard, en supposant que cette bille ait été animée tout d’abord d’un mouvement de translation et d’un mouvement de rotation autour de son centre, et que l’axe de la rotation initiale soit dirigé perpendiculairement au plan vertical mené par la direction de la vitesse initiale de son centre. Il est aisé de voir d’abord que, en raison de la symétrie, le centre de la bille ne sortira pas du plan vertiçaUdont on vient de parler, et que, par conséquent, ce point se moiivra en ligne droite, suivant la direction de la vitesse qu’il avait au commencement du mouvement; de plus, par la même raison, l’axe de rotation de la bille, dans son mouvement autour de son centre, restera toujours parallèle à sa direction primitive. Si les sens de la translation et de la rotation initiales de la bille sont ceux qu’indiquent les flèches ci-contre, /îg^. 118, il est aisé de voir qu’il se développe aiî point A un frottement dirigé en sens contraire du mouvement de translation. Ce frottement, égal à fUg, si M est la masse de la bille, tend à ralentir à la fois le >\ mouvement du centre C, et le mouvement de rotation autour de ce point; en sorte que si l’on désigne par v la vitesse du point C,
Wü LIVr.K IV. — DYNAMIQUE. THOKSIEME PAKTIE.
♦H par f>) la vitesse angulaire de la bille dans sa rotation autour de ce point, on aura
(Iv . tlo) /Mf/H
Tl~ ~iïi ~
U étant le rayon de la bille, et 'imr- son moment d’inertie pris par rapport à un de ses diamètres. Or on sait (!^ 238) que l’on a
dans ce cas
(Im
la valeur de — se réduit donc à
(Ib) 2 Ifi
En intégrant, on trouve
f- = Vo — fgty
i\ et W(, étant les valeurs initiales de v et de w. La vitesse v du centre de la bille, et sa vitesse angulaire 'o autour de ce point, vont continuellement en diminuant. Bientét une de ces deux quantités devient égale à zéro ; comme le glissement de la bille sur le billard ne cesse pas encore d’exister à cet instant, cette quantité qui s’est annulée la première devient négative, et augmente dès lors de plus en plus en valeur absolue, pendant que l’autre quantité continue à décroître : il arrive donc, au bout de quelque temps, que l’on a
t' 4- Uo) = 0.
A l’instant où cette condition est remplie, le point le plus bas de la bille «st animé à la fois de deux vitesses égales et contraires ; ce point a donc une vitesse absolue nulle, et par conséquent, il cesse d’y avoir glissement de la bille sur le billard ; dès lors le frottement n’agit plus, la bille roule sur le billard, et ce roulement s’effectue uniformément, si toutefois on néglige la résistance au roulement dont l’effet consiste à diminuer peu
MOUVEMENT DES SOLIDES NATURELS. i9l
à peu la vitesse de la bille dans cette derniiîre partie de son mouvement.
D’apfès cela, si nous nous reportons aux valeurs de v et de <» en fonction de t, c’est lorsque l’on aura
f ^ l'o + lb<>o
7 fg
que la bille cessera de glisser pour commencer à rouler. Cette valeur de t est comprise entre les valeurs
t = 7-’ t — zr-jr-y
fg ^ fg
pour lesquelles on a r = O ou &> = 0. Si est plus grand que
w s’annulera avant r, et le roulement qui succédera au
■■ fs
glissement, se fera dans le sens de la vitesse t’o- Si, au contraire, est plus petit que I v s’annulera avant w, et la l)ille
fs fg
roulera, en revenant vers son point île départ. Enfin, si -r est
Kw
égala 1 “7-^, U et s’annuleront en même temps, et la bille, /
au lieu de rouler dans un sens ou dans l’autre, restera immobile sur le billard.
Dans le cas général où l’axe autour duquel s’effectue la rotation initiale de la bille n’est pas perpendiculaire à la direction du mouvement de son centre, le frottement qu’elle éprouve change à chaque instant la direction de ce dernier mouvement, c’est-à-dire que la bille se meut en ligne courbe. C’est ainsi qu’on peut se rendre compte des effets que l’on produit au jeu de billard, en donnant à une bille,'à la fois un mouvement de translation et un mouvement de rotation autour de son centre.
§ 258. Roulement (Tun cylindre pesant sur un plan incliné, — Supposons qu’un cylindre homogène descende en roulant sur un plan incliné, sous la seule action de la pesanteur, de
telle manière que son axe de figure reste toujours parallèle à la trace horizontale du plan. La vitesse angulaire du corps, dans son mouvement de rotation autour de son axe, va en s'accélérant, de même que la vitesse de son centre de gravité; et cela ne peut avoir lieu qu’autant que ce corps éprouve de la part du plan une réaction tangentielle F dirigée en sens contraire du mouvement de son centre de gravité. Si nous désignons par M la masse du cylindre, par R son rayon, par v la vitesse de son centre de gravite, par w la vitesse angulaire avec laquelle il tourne autour de ce point, et par l’angle que le plan incliné fait avec l’horizon, nous aurons
M<7 sin 9 — F
pour la somme des projections des forces extérieures sur la direction du mouvement du contre de gravité, et par suite ce mouvement sera déterminé par l’équation
nous aurons aussi FR pour la somme des moments des forces extérieures par rapport à l’axe du cylindre, de sorte que le mouvement de rotation autour de cet axe sera déterminé par l’équation
(}iù
Tt
FR
x?wr-
ou bien, en remplaçant le moment d’inertie Duv- par sa valeur i- MR^ (§ 238),
Mais V doit être égal à R&>, puisqu’il y a roulement du cylindre sur le plan : on en déduit
F 2F q sin CO — rj = -TT-’
MM
d’où
,, M|7 siiî 9
UKÎ
Le frotlement que le cylindre éprouverait de la part du plan, s’il glissait au lieu de rouler, serait égal à fMg cos 9, en désignant par f le coefficient de frottement; la réaction F que le plan exerce sur le cylindre, quand il y a simplement roulement, ne pouvant pas être supérieure à ce frottement, il faut qu’on ait
y\ff si 11 9
< p\g cos 9,
c’est-à-dire
tang 9 < 3/*.
Lor.sque cette condition est remplie, le cylindre roule sur le
plan, et l’on trouve les valeurs de v et de w au moyen des relations
établies précédemment, dans lesquelles on remplace F par sa
, Mz/sin^.
valeur - -
Si l’on avait
lang 9 > 3/*,
le cylindre ne roulerait pas sur le plan ; mais il glisserait, et le frottement qu’il éprouverait le ferait également tourner autour de son axe. En désignant par F ce frottement, on aurait encore pour déterminer v et «, les équations
dv V
dt ~ MK’
seulement, au lieu de chercher la valeur de* F de manière que l’on ait V = Uw, on devrait supposer
F == pig cos 9.
Dans ce qui précède, nous avons négligé la résistance au roulement à laquelle le cylindre est soumis pendant qu’il roule sur le plan. Voici comment on pourrait en tenir compte. Cette ré-
m LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.
sistance au roulement, que nous pouvons assimiler à un couple (5^ ^55), n’influe pas directement sur le mouvement du centre de p:ravité du cylindre; en sorte que, si la réaction tangentielle du plan sur le cylindre est toujours désignée par F, on aura encore
(Iv . F
Four trouver l’équation du mouvement de rotation du cylindre autour de son axe, nous observerons que le moment du couple dont il vient d’étre question peut être représenté par cos y, A' étant une quantité qui dépend uniquement de la nature des .«:urraces qui se touchent; la somme des moments des forces extérieures par rapport à l’axe du cylindre est donc égale à
Fit — A.M</ cos y ;
et, par suite, on a
dbi FR — A M// cos 9 2F 2Ay/ cos y (U ” ^mr- ~ MK K^
En exprimant ensuite que v est égal à Rw, on trouve pour F la valeur
b = (sin ? X Y <^0^^ V) ;
et, par conséquent, en tenant compte de cette valeur de F, on peut déterminer complètement v et w. On voit que, si la résistance au roulement n’agit pas directement pour modifier le mouvement du centre de gravité, elle n’en influe pas moins sur ce mouvement en raison de l’augmentalion qu’elle fait subir à la réaction tangentielle F du plan sur le cylindre.
On voit que, lorsqu’un cylindre roide sur un plan incliné, dans les circonstances que nous venons d’indiquer, l’accéléralion du mouvement de son centre de gravité est plus petite que celle du mouvement d’un point matériel pesant, qui glisserait le long de ce plan sans en éprouver de frottement, et cela lors même que l’on ne tient pas compte de la résistance au roule-
ment. Cela lient à ce que la pesanteur détermine en même lemp.s le mouvement de translation du cylindre le long du plan, et son mouvement de rotation sur lui-même. Le travail développé par la pesanteur, pendant que le centre de gravité du cylindre descend d’une certaine hauteur, doit produire non-seulement l’accroissement de force vive de la masse entière du corps supposé concentré à son centre de gravité, mais encore l’accroissement de force vive de ce corps dans son mouvement autour de son centre de gravité :2;i() et 235).
