CHAPITRE IV

MOUVEMENT DES FLUIDES

§ ^59. Équations différentielles du moiiTement des

fluides. — Lorsqu’un Huide est en mouvement sous l’action de diverses forces, on peut lui étendre la notion que nous avons acquise relativement à la pression en un point quelconque d’une masse fluide en équilibre (§ 212). Cette notion repose essentiellement, il est vrai, sur l’hypothèse de la fluidité parfaite, hypothèse qui ne peut pas être admise complètement, quand il s’agit d’un fluide en mouvement; en effet, l’expérience prouve qu’il sc développe un certain frottement dans le glissement des diverses

parties d’un fluide les unes sur les autres, et que ce frottement

est d’autant plus grand que la vitesse de glissement est elle-même plus grande ; mais on peut regarder les choses comme se passant de la même manière que s’il s’agissait d’un fluide parfait, et que le frottement qui sc développe en réalité fût une force extérieure appliquée aux diverses molécules de ce fluide parfait.

D’après cela, on voit que l’on peut distinguer, en chaque point de l’espace occupé par un fluide en mouvement, et à un instant quelconque : I® la pression qui a lieu en ce point, 2® la masse spécifique du fluide au même point, 3° enfin la vitesse de la molécule qui y est située. Si l’on rapporte les positions des divers points du fluide à trois axes coordonnés rectangulaires, la connaissance complète de la vitesse dont il vient d’être question suppose celle de ses trois composantes n, u.,, parallèles aux

MOrVEMENT DES FLlilDES.

axes des x, des y el des z ; de sorte qu’en y joignant la pression P et la masse spécifique p, cela fait cinq quantités dont on doit connaître les valeurs, pour que le mouvement du fluide soit connu. Ces cinq quantités, considérées pour un même point de l’espace, varient en général avec le temps t; d’ailleurs, à un même instant, elles varient aussi quand on passe d’un point de l’espace à un autre point, c’est-à-dire quand on fait varier les coordonnées Xy y, z du point auquel elles se rapportent : ce sont donc des fonctions de /, a?, y, z. Nous allons établir les équations différentielles qui peuvent servir à déterminer ces cinq fonctions inconnues.

D’après le théorème de d’Alembert, pour trouver les équations du mcvivement d’un système matériel quelconque, on peut exprimer qu’il y a équilibre entre les forces qui lui sont appliquées et les forces d’inertie de ses différents points. Nous pouvons donc ici nous appuyer sur la théorie de l’équilibre des fluides, pour établir les é(|uations que nous cherchons. Considérons en |Kirticulier une molé(Mile située au point dojil les coordonnées sont Xy ijyZ; désignons par 7, 7,, les projections de son accélération totale sur les trois axes, et par X, Y, Z les trois projections de l’accéléralioii totale que lui communiquerait la résultante des forces extérieures auxquelles elle est soumise, si elle était libre. Nous devons exprimer que l’équalion différentielle ih) du § 2 U est satisfaite quand on y remplace X, Y, Z par X — jy Y — 7i, Z — jj,; ou bien, ce qui revient au même, que la fonction p satisfait aux trois équations

(ix

f —Ji)-

llemarquons maintenant que, pendant le temps dly les coordonnées Xy y, z de la molécule que nous considérons s’accroissent de udiy u^dU u^dt: cl que par conséquent raccroissemeul qu’éprouve la composante n de sa vitesse a pour valeur

on aura donc pour la composante j de Taccéléralion totale de cette molécule

du . du . du , ,

7 = -77 + w-ï- + Mij- + dt d.v dy

Si l’on détennine de même les valeurs de j^ et y,» et que l’on substitue les résultats ainsi obtenus dans les équations différentielles précédentes, on trouvera

i dp ..

~li

dt/i

du,

mm il ‘

du,

— 'ii *

pd</

~~~dt~

dUi

dU:>

— Ml — ^

fdz

~~dt~

' dy

du,

Nous avons donc déjà trois équations auxquelles doivent satisfaire nos cinq fonctions inconnues p, />, u, w,, Mo- Voyons comment nous pourrons en trouver deux autres.

Nous observerons d’abord que la masse spécifique p est nécessairement liée aux vitesses «, u.^ des diverses molécules,

indépendamment de toute considération des forces qui leur sont appliquées. En effet, si l’on connaissait m, m,, «o, en fonction de 07, ijy Z et ty le mouvement de la masse fluide serait complètement connu; on pourrait savoir où sont situés à un instant quelconque les diverses molécules qui occupaient primitivement des positions données; on pourrait savoir en particulier quelles sont les molécules qui se trouvent à cet instant à Tintérieur d’un élément quelconque de volume, et par conséquent quelle est la masse totale du fluide contenu dans cet élément : donc on pourrait en conclure la valeur de la masse spécifique du fluide relative au point de l’espace où cet élément de volume est placé. Pour trouver la relation qui existe entre m, u., et o, considérons le fluide contenu, au bout du temps f, dans un parallélipipède rectangle dont les arêtes, parallèles aux axes coordonnés, aient pour valeurs les quantités infiniment petites ;, >?, voyons

MOUVEMENT DES FLUIDES

4îm

ce qu’est devenu ce fluide à la tin du temps t + rf/, en vertu du déplacement de ses diverses molécules, et exprimons que sa masse est la même dans les deux cas. Il est aisé de voir que le fluide dont il s’agit, aflectant la forme d’un parallélipipèdc rectangle à la fin du temps f, pourra être regardé comme ayant encore la forme d’un parallélipipède à la fin du temps t -\-dtj que, les arêtes de ce nouveau parallélipipèdc faisant entre elles des angles dont chacun dilTère infiniment peu d’un angle droit, son volume ne diffère du produit de ses trois arêtes que d’une quantité infiniment petite du second ordre par rapport à lui-même, en sorte qu’on peut le considérer comme étant égal à ce produit; enfin que, par une raison semblable, chacune des arêtes du nouveau parallélipipède peut être regardée comme égale à sa projection sur l’axe coordonné avec lequel elle fait un angle infiniment petit. Désignons par x, y, « les coordonnées du sommet du parallélipipède primitif qui est le plus voisin de l’origine des coordonnées; de sorte que les coordonnées du sommet opposé soient a; y z 'ç. Pendant le temps dt, x s’accroît dé

udi; a; -|- ç s’accroît donc de 1 arête

du parallélipipède

qui était parallèle à l’axe des x à la fin du

temps f, et qui avait pour valeur

s’accroît de ?

du ,

— dt. Le vodx

lu me du parallélipipède dont

il s’agit devient donc égal à

à la fin du temps t -f- dt. Si nous multiplions le volume primitif r v; ç de ce parallélipipède par la masse spécifique p qui correspond au temps t et au point dont les coordonnées sont x, y, J, nous aurons la masse du fluide renfermé dans ce volume à la fin du temps L En multipliant de même le nouveau volume dont nous venons de trouver l’expression, par ce que devient p lorsqu’on y fait croître t de dtj x de nd/, y de u^dt et z de u^dty c’est-à-dire par

LIVRKIV. — DYNAMIQVK. TROISiÈME PARTIE.

• + il + rfî + rfi; + rfS

011 aura la masse du meme fluide considéré à. la fm du temps I dt. Ces deux masses devant être éjïales, on en conclut facilement la relation

du dUf du À

dx dy ^ dz )

do do dp

+ h + ” é + dTi +

que l’on peut mettre sous la forme plus simple

dp d . pu d . pu^ d . pu.t dl dæ ^ dy dz ~

Oulre cette équation (b), nous pouvons en trouver une autre (|ui nous sera fournie par la nature du fluide. S’il s’agit d’un fluide incompressible, homogène ou hétérogène, la masse spécilique d’une portion infiniment petite quelconque du fluide restera toujours la même, de quelque manière que cette portion du fluide se place : donc, d’après ce qui précède, on aura

dp dp

—r. + U -J— dl d.r

et par suite réijuation (b) se réduira à

du du^ du,

dx dy ^ dz ~

S'il s’agit d’un fluide élastique, auquel la loi de Mariotte soit applicable, on aura

P = ko,

k étant un coefficient constant. En général, la connaissance de la nature du fluide fournira une relation entre la masse spécifique P et la pression p que cette masse spécifique permet au fluide de supporter; et cette relation, dont les deux exemples qtie nous venons de citer (o = constante, p — kp) ne sont que dos cas particuliers, étant jointe aux équations (a), (b), complé-

MOLVEMENT DES FLUIDES. , .‘>01

tofca le système d'équations nécessaires pour déterminer les inconnues j?, py M, u^, n,, en fonction de .r, y, z.

L’intégration de ces équations différentielles introduira des fonctions arbitraires q\ii devront être déterminées d’après les circonstances initiales du mouvement, et aussi d’après les conditions dans lesquelles se trouve la surface du lluide considéré, qui peut se mouvoir le long de parois fixes, ou bien éprouver sur sa surface libre des pressions constantes ou variables suivant des lois données.

Il est à peine nécessaire d’ajouter que les quatre théorèmes généraux démontrés dans le premier chapitre de ce livre sont applicables au mouvement d’une masse fluide quelconque, et que, toutes les fois que leur application pourra suffire pour arriver aux résultats que l’on cherche, on devra s’en contenter, sans recourir aux équations différentielles qui viennent d’étre établies.

^ '200. Mouvement permanent d’un fluide. — Lorsque le mouvement d’un fluide est tel que, pour chaque point de l’espace dans lequel le fluide se meut, les cinq quantités,/;, o, u, u,, w^, conservent constamment les memes valeurs, ces quantités ne changeant que quand on passe d’un point à un autre de l’espace jlont il s’agit, on dit que le mouvement du fluide est permanent. Four donner un exemple de ce genre de mouvement, on peut citer le mouvement des eaux dans les fleuves et les rivières; les circonstances qui caractérisent le mouvement permanent s’y trouvent à très-peu près réalisées. Dans un pareil mouvement , chaque molécule ne conserve pas nécessairement la même vitesse ; mais les diverses molécules qui viennent successivement passer par un même point de l’espace y prennent des vitesses de même grandeur et de même direction. Il est aisé de voir que toutes les molécules qui viennent ainsi passer par un même point de l’espace se suivent constamment, et parcourent toutes la même trajectoire; l’ensemble de ces molécules, réparties le long de leur trajectoire commune, constitue ce qu’on nomme un filet du fluide en mouvement.

D’après la définition même du mouvement permanent, les dérivées partielles des quantités ,o, jf, Jt,, prises par rapport

à tf sont toutes nulles. Ces cinq quantités ne sont fonctions que des trois variables indépendantes ,r, z. Il en résulte une simplification notable dans les équations qui servent à les déterminer.

§ i2Gl. Éconlement permanent d’an liquide pesant par un orifice. — Supposons qu’un vase renferme un liquide pesant, et qu’un orifice de petites dimensions soit pratiqué dans la paroi du vase, de telle sorte que le liquide puisse s’écouler en le traversant. A partir de l’intant où l’écoulement commence, le liquide sort avec- une vitesse qui croît assez rapidement; bientôt cette vitesse d’écoulement cesse d’augmenter, et si le niveau du liquide est entretenu constant dans le vase, par un moyen quelconque, le mouvement devient permanent. Nous allons nous proposer de déterminer la vitesse avec laquelle le liquide sort du vase, lorsque la permanence du mouvement a été ainsi établie.

Nous admettrons que l’orifice est percé dans une paroi sans épaisseur, pour ne pas avoir à tenir compte de l’influence que la surface intérieure d’un orifice pratiqué dans une paroi épaisse peut exercer sur l’écoulement du liquide; nous admettrons, en outre, que les molécules liquides traversent l’oritice avec des vitesses égales, dirigées toutes perpendiculairement au plan de l’orifice; enfin nous supposerons que la surface libre du liquide dans le vase a une étendue très-grande par rapport à celle de rprifice d’écoulement, de sorte que le mouvement descendant des molécules qui se trouvent près de cette surface libre à un instant quelconque s’effectue avec une vitesse très-petite.

Appliquons le théorème des forces vives au mouvement du liquide pendant un élément de temps rff. Si nous désignons par U la vitesse avec laquelle les diverses molécules traversent l’orifice de sortie, par l’air de cet orifice, et par p la masse S|)é cifique du liquide, nous aurons Mudt pour l’expression du volume de liquide sorti pendant le temps dt, et par conséquent poiudt pour l’expression de sa masse. Considérons le liquide qui était contenu dans le vase au commencement du temps dty entre la surface libre à laquelle il se termine vers le haut et le plan

MOUVEMENT DES FLUIDES. r>0:i

de rorifice de sortie; et voyons ce qu’est devenu ce liquide à la fin du temps dt. Pendant le temps infiniment petit dont il s’agit, un volume biudt de liquide traverse l’orifice; en même temps les molécules qui étaient d’abord sur la surface libre s’abaissent de manière à parcourir dans leur ensemble un espace ayant également pour volume omdt, puisque le volume total du liquide que nous considérons ne change pas. Si nous comparons les. conditions dans lesquelles se trouve ce liquide au commencement et à la tin du temps dt, nous verrons qu’à ces deux instants il se compose d’une partie commune, comprise entre le plan de l’orifice et la surface sur laquelle sont venues se placer à la fin du temps dt les molécules qui étaient sur la surface libre au commencement de ce temps ; de plus, les molécules placées de la même manière, dans cette partie commune, sont animées des mêmes vitesses dans les deux cas, puisque le mouvement est supposé permanent : donc l’accroissement de la force vive du liquide tout entier, pendant le temps dt, se réduit à la différence qui existe entre la force vive du liquide de volume <>>tidt qui traverse l’orifice pendant ce temps, et la force vive d’une quantité de liquide de même volume prise immédiatement au-dessous de la surface libre. Mais cette dernière force vive peut être négligée, puisque nous admettons que, près de la surface libre, le liquide descend très-lentement * on aura donc simplement

çoiiult X U-

pour l’accroissement de la force vive dont il s’agit.

Le travail de la pesanteur, dans le mouvement que nous éludions, peut s’obtenir façilement de la manière suivante. Observons que le centre de gravité du liquide tout entier que nous considérons éprouverait le même déplacement pendant le temps dt, si, au lieu que toutes les molécules de ce liquide se mettent en mouvement pour se rapprocher de l’orifice de sortie, il n’y avait qu’une tranche infiniment mince de Volume Mudt qui passât de la surface libre à l’orifice, le reste du liquide ne changeant nullement de position : le travail de la pesanteur sur le liquide tout entier, pendant le temps dt, peut do*iic s’obtenir eu multi-

r>Ot LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

pliant le poids pgMudt de celte tranche par la distance h du centre de gravité de rorifice de sortie au plan horizontal qui forme la surface libre du liquide dans le vase (§ 173).

Le liquide n’étant soumis qu’à l’action de la pesanteur, et le frottement que ces molécules éprouvent dans leur glissement les unes sur les antres et sur les parois du vase étant négligé, on aura, d’après le théorème des forces viv(‘S,

^(ùudt X U- = ^2 . zfjMUfU X h ;

d’où l’on tire

U = s/^giT.

Telle est la vitesse avec laquelle s’etTectuc l’écoulement permanent du liquide à travers l’orifice, dans les circonstances où nous nous sommes placés. On voit que cette vitesse est précisément celle qu’acquerrait un corps pesant en tombant, sans vitesse initiale, d’une hauteur égale à h.

Si l’on supposait que le liquide fut soumis à une même pression extérieure sur la surface libre et à rorifice d’écoulemenl, comme cela a lieu à très-peu près lorsque l’écoulement se produit au milieu de notre atmosphère, on arriverait encore au même résultat : cette pression qui s’exerce de part et d’autre, el qui s’équilibrerait d’ellc-méme sur le liquide supposé immobile, ne donne lieu qu’à un travail nul dans le mouvement dont ce liquide est animé, de sorte que la vitesse d’écoulement n’en dépend en aucune manière.

Le volume du liquide qui sort du vase pendant le temps dl étant égal à wwdf, le volume du liquide qui s’écoule pendant l’unité de temps a pour valeur wM ou w \ 2gU : c’est ce qu’on nomme la dépense. L’expérience montre qu’il ne s’écoule pas réellement une quantité de liquide aussi grande que celle qu’indique cette formule; la dépense eHéclive n’est guère que les 0,02 de la dépense théorique dont nous venons de trouver l’expression. Cela lient à ce que les molécules liquides qui traversent l’orifice de sortie ne se meuvent pas suivant des directions parallèles; les filets liquides, à l’intérieur du vase, convergent de tous côtés vers l’orifice, el celte convergence ne disparait

. MOUVEMENT DES FLIIDES.

complètement que lorsque les molécules ont déjà parcouru une certaine distance en dehors du vase : la veine liquide, en un mot, se contracte à partir de l’orifice, au lieu d’être cylindrique comme nous l’avions supposé. Mais, s’il est inexact de raisonner comme nous l’avons lait, toute inexactitude disparaît en remplaçant l’orifice de sortie par la section contractée de la veine, c’est-à-dire par la section faite dans cette veine au point où les filets liquides sont devenus sensiblement parallèles entre eux. Ainsi', ce qu’il y avait de défectueux dans notre hypothèse n’iiillue pas sur la vitesse d’écoulement, qui a bien réellement pour valeur \ 'i(jh; cela n’a d’influence que sur la valeur de la dépense, qui doit être regardée comme égale à r/ \ étant

l’aire de la section contractée de la veine, et non pas l’aire de l’orifice, comme nous l’avions trouvé d’abord.

Si l’orifice est muni d’un ajutage cylindrique, et si le liquide traverse cet ajutage en coulant le long de ses parois, les circonstances de l’écoulement ne sont plus les mêmes que précédemment. La veine liquide présente, immédiatement après sa sortie de l’orifice, la forme cylindrique que nous lui avions attribuée tout d’abord : l’action de l’ajutage fait complètement disparaître la convergence des filets liquides aussitôt qu’ils pénètrent à son intérieur. Dans ce cas, la dépense doit nécessairement être exprimée par mu, w étant l’aire de l’orifice; ou bien par m \'‘lgh, si la vitesse u a pour valeur L’expérience indique encore

que la dépense effective est plus petite que la dépense théorique

\ et qu’elle n’en est que les 0,8:2. Cela lient à ce que la vitesse d’écoulement du liquide est inférieure à \ la présence* de l’ajutage, en obligeant les filets liquides qui étaient convergents dans le vase à devenir brusquement parallèles dès qu’ils traversent l’orifice, occasionne une perte de force vive qui se manifeste par une diminution dans la vitesse d’écoulement du liquide. Si nous désignons par u le rapport de la dépense effective à la dépense théorique, rapport que l’on désigne souvent sous le nom de coefficieut de dépense, la dépense effective aura pour expression

el la vitesse w avec laquelle le liquide s’écoule sera égale à

Ainsi la vitesse d’écoulement u est celle avec laquelle le liquide coulerait à travers un orilicc percé en mince paroi, si la hauteur de la surface libre du liquide dans le vase au-dessus du centre de gravité de l’orifice était y.^h. ha hauteur dont il s’agit étant en réalité h, on voit que l’ajutage cylindrique a pour effet de rendre complètement inutile la portion h — u^h de cette hauteur; h — u-li, ou ce qui revient au même™ — 1 )» est ce qu’on nomme la perte de charge due à l’ajutage cylindrique.

§ ^02. i<'eonleiiienc permanent d*im gax par un orifice. —

Supposons qu’un gaz, contenu dans un réservoir, s’écoule en dehors uniquement en vertu de sa force expansive, par un orifice de petites dimensions, pratiqué dans une paroi mince de ce réservoir ; et que, la pression intérieure et la pression extérieure étant entretenues constantes, l’écoulement soit devenu permanent. Nous allons chercher à déterminer la vitesse avec laquelle le gaz traverse l’orifice.

Soient w l’aire de l’orifice, et a la vitesse que possède une molécule de gaz lorsqu’elle le traverse, vitesse que nous supposerons être la même pour toutes les molécules, et dont nous regarderons la direction comme étant perpendiculaire au plan de l’orifice. Pendant le temps d/, il sortira du réservoir un volume de gaz égal à wwrff, el la masse de ce gaz aura pour valeur pt,mity P étant la masse spécifique du gaz dont il s’agit, dans les circonstances où il se trouve à sa sortie du réservoir. Désignons par P la pression qui est entretenue constante dans le réservoir, ou au moins dans toutes les parties qui ne sont pas très-rapprochées de l’orifice ; el par P' la pression constante, dans l’espace où se rend le gaz à sa sortie du réservoir : P' est nécessairement plus petit que P. Si nous prenons le gaz qui traverse l’orifice pendant le temps df, et dont le volume est alors uudt,

MOUVEMENT DES FLUIDES. r»07

et que nous remontions, par la pensée, ù toutes les positions que ce gaz a occupées antérieurement, à divers instants éloignés les uns des autres du même intervalle de temps rf/, nous verrons sans peine que ces positions ne se pénétrent pas, mais qu’elles sont contiguës les unes aux autres; nous verrons, de plus, que l’ensemble de ces positions successives de la quantité infiniment petite de gaz que nous considérons, forme une masse gazeuse totale complètement identique avec le gaz qui existe à un instant donné dans la portion du réservoir à laquelle correspondent ces diverses positions successives. Le gaz renfermé dans le réservoir se trouve, par là, divisé en une infinité de parties infiniment petites, de même masse, dont chacune vient prendre la place de celle qui est immédiatement à côté d’elle, pendant le temps dl.

Si nous considérons une de ces portions infiniment petites du gaz, située assez loin de l’orifice pour que, dans tous scs points, elle soit soumise à la pression P, nous voyons que cette portion de gaz vient successivement prendre la place de toutes les autres portions de même masse qui se trouvent entre elle et l’orifice; que son volume s’accroît peu à peu, à .mesure qu’elle a à supporter une pression plus faible, jusqu’à devenir égal à à l’instant où elle traverse l’orifice, et où elle n’est plus soumise qu’à la pression P'; et qu’en même temps les vitesses de ses iliverses molécules, très-petites d’abord, vont en augmentant Jusqu’à devenir égales à n. Prenons, a un instant quelconque, la totalité du gaz contenu dans l’espace abemn, fig. IH), que cette portion infiniment petite parcourt, depuis la position abca'b'c', où elle supporte la pression P, jusqu’à l’orifice de sortie mu; et appliquonslui le théorème des forces vives, pendant le temps infiniment petit dl. Ce gaz total, étant considéré dans les deux positions

r>08 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE, abcmn^ a’h'c'm'n\ qu’il occupe au commencement et à la fin fin

temps fit, contiendra évidemment une partie commune a'b'c'nWy dont les différents points auront une même vitesse dans les deux cas, en vertu de la permanence du mouvement; l’accroissement de sa force vive pendant le temps dt se réduira donc à l’excès de la force vive du gaz mnm'n' qui a traversé l’orificc pendant ce temps, sur celle du gaz de même masse, qui occupait la position abcn'b'c' au commencement de ce temps dt. Si nous négligeons cette dernière force vive de la couche gazeuse abca'b'c\ dont les différents points ne sont animés que d’une très-petite vitesse, nous aurons simplement la force vive du gaz mnm'n’j c’est-à-dire

oi'iudt X U-,

pour l’accroissement de force vive du gaz total abemn pendant le temps dt. .

évaluons maintenant la somme des travaux développés pendant le temps dt par les forces qui agissent sur les diverses parties du gaz total abemn. Ces forces se réduisent aux actions répulsives qui s’exercent entre les diverses molécules du gaz, et aux pressions (ju’il éprouve aux différents points de sa surface, puisque nous supposons que l’écoulement est uniquement du à la force expansive de ce gaz, et par conséquent, que ses molécules ne sont soumises à aucune force extérieure, telle que la pesanteur. Pour trouver le travail dû aux pressions que le gaz éprouve sur sa surface, considérons d’abord la pression P qui s’exerce dans tous les points de la surface abc. Soient <x un élément de celte surface, et s l’épaisseur de la couche abca'b'c' près de l’élément -r; V't est la pression supportée par cet élément, et IVî est le travail que produit cette pression élémentaire pendant le temps dtj pendant lequel la surface abc vient se placer en a'b'c ; donc le travail dû à la pression P, qui s’exerce sur toute la surface aôf, est égal à P X c’est-à-dire égal au produit de P par le volume de la couche gazeuse abca'b'c'. On trouverait, de même, que le travail dii à la pression P' s’exerçant sur la surface WW, pendant que cette surface passe de mn en w'w', est égal au

MOrVKMENT DES FLL'IDES.

produit de P' par le volume mnm'n\ Mais, de ces deux travaux, le premier est positif, et le second est négatif; d’ailleurs, leurs valeurs absolues sont égales, puisque abca'h'c' et mnm'n' sont les deux volumes que prend une môme masse de gaz sous les pressions P et P', et que ces volumes sont en raison inverse des pressions P et P', d’après la loi de MarioUe : donc, la somme des travaux développés par les pressions que le gaz abemn supporte sur toute sa surface, pendant le temps dl, est égale à zéro.

Il ne nous reste plus qu’à déterminer le travail développé par les actions moléculaires, dans le gaz dont il s’agit, pendant qu’il passe de la position abenin à la position a'b'c m n . Nous observerons, pour cela, que ce travail total est égal à la somme des travaux dus aux forces moléculaires dans les diverses couches dont nous regardons le gaz total comme composé, couches dont chacune vient prendre la place de la couche voisine, pendant le temps infiniment petit dt ; et, par conséquent, il est le môme (pie la somme des travaux développés par les forces moléculaires dans une seule de ces couches, pendant qu’elle passe de la position abca'b'd à la position mnm'n'. Ciherchons donc à déterminer l’expression de cette dernière somme de travaux, et pour cela considérons d’une manière générale le travail dû aux forces moléculaires ,d’un gaz qui se dilate, en passant du volume V à un volume plus grand V'. Soit p la pression qu’il faudrait exercer sur toute la surface de ce gaz pour le maintenir en équilibre, lorsque son volume a pris une valeur quelconque r comprise entre V et V'. D’après le théorème du travail virtuel, appliqué à l’équilibre qui vient d’etre indiqué, la somme des travaux dus aux forces moléculaires de ce gaz, lorsque son volume s’accroît d’une quantité infiniment petite dv, est égale et de signe contraire à la somme des travaux développés en môme temps par la pression/? qui s’exerce aux différents points de sa surface; mais si l’on répète ici le raisonnement qui vient d’etre fait pour trouver le travail du à la pression P s’exerçant sur la surface abc, fig. 119, on reconnaît que, dans le cas dont nous nous occupons maintenant, la somme des travaux dus à la pression p appliquée

r>10 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

à toutes les parties de la surface du gaz, est égale à — pdi) : donc, pendant que le giiz se dilate, de manière que son volume passe de la valeur v, à la valeur v les forces moléculaires

qui agissent entre ses diverses parties développent des travaux dont la somme est égale à pdt\ Or, d’après la loi de Mariotte, on a

P' étant la valeur que prend la pression p, lorsque v devient ' égale à V' ; il s’ensuit que la somme de travaux que nous venons de déterminer peut s’écrire sous la forme

et que, par conséquent, le travail total dû aux forces moléculaires, pendant que le gaz passe du volume V au volume Y', a pour valeur

Appliquons cette formule au cas que nous avons spécialement eu vue, c’est-à-dire au cas d’une couche gazeuse qui passe de la position abca'b'c', ftg, 110, où elle supporte la pression P, à la position mnm'n'y où elle supporte la pression P'; et observons (juc le rapport des deux volumes qu’elle a dans ces deux positions, est égal au rapport inverse des pressions P et P', et que d’ailleurs, le volume V' est égal à ; nous trouverons ainsi

l* Kiudt . / . jÿ

pour l’expression de la somme des travaux dus aux forces moléculaires de cette couche, et par conséquent aussi de la somme des travaux développés par les forces moléculaires du gaz abemn^ pondant que ce gaz passe à la position a'b'c'm'n'.

MOUVEMENT BES FLUIDES

5li

Nous avons donc , en appliquant le théorème des forces vives

^<àH(U . = iV'taHÜt . l

d’où, en observant que o est la masse spécifique du gaz sous la pression P', et posant en conséquence

nous tirons

Telle est la vitesse avec laquelle le gaz s’écoule à travers l’orifice w.

D’après ce qui précède, le volume du gaz qui traverse l’orifice pendant l’unité de temps doit être égale à wW, en supposant toutefois que ce volume soit mesuré sous la pression P'. L’expérience montre que cette valeur de la dépense est trop grande, ce qui tient à ce que la veine gazeuse se contracte à la sortie de l’orifice, au lieu d’ètre cylindrique comme nous l’avons supposé. Les choses se passent de la môme manière que dans l’écoulement d’un liquide par un orifice, et tout ce que nous avons dit à l’occiision de ce dernier écoulement (§ 261), pour expliquer la différence entre les résultats de la théorie et ceux de l’observation, pourrait être répété ici. Nous devons dire cependant que, dans le cas d’un gaz, les considérations théoriques que nous avons développées ne sont complètement conformes à la réalité, quand on substitue la section contractée de la veine à l’orifice de sortie, qu’autant que le rapport des pressions P et P' est peu différent de l’unité : s’il on était autrement, on ne serait pas dans le vrai en regardant la pression comme étant égale à P' dans toute l’étendue de la section contractée de la veine gazeuse, parce que celte veine se dilaterait au delà de sa section contractée, ce <jui indiquerait un excès île la pression qui s’exerce à son intérieur sur la pression environnante.

L’action de la pesanteur sur un gaz qui s’écoule dans les condi-

ÔI-2 LIVRK IV. — DYNAMIQUE. TROKSIEME PARTIE.

lions que nous venons d’étudier, n’a évidemment qu’une influence insignifiante sur les résultats , et on peut en conséquence ne pas en tenir compte.

!263. illouvemeni permanent <l*un liquide pesant dans un tu^an. — Dans les deux questions que nous venons de trailer 201 et 202.) nous avons regardé le liquide ou le gaz dont il s’agissait comme jouissant de la fluidité parfaite; nous n’avons tenu compte en aucune manière des frottements que les molécules fluides exercent les unes sur les autres. Les résultats auxquels nous sommes parvenus sont cependant d’accord avec ceux que fournit l’expérience, pourvu, bien entendu, que l’on fasse attention à la contraction de la veine fluide, ainsi que nous l’avons dit. Cela provient de ce que, dans l’un et l’autre des deux cas que nous avons étudiés, les molécules fluides ne prennent une vitesse un peu grande que dans le voisinage de l’orifice vers lequel elles se dirigent; de sorte que le frottement qui se développe entre ces molécules, et qui croît avec leur vites.se, n’agit d’une manière un peu sensible que dans une petite |)ortion de l’espace total que le fluide occupe, et n’a en conséquence qu’une très-faible influence sur récoulement du fluide. Mais il n’en est plus de même lorsqu’il s’agit d’un fluide qui coule dans un tuyau d’une grande longueur; l’influence du frottement se fait alors sentir d’une manière très-notable. C’est dans un pareil mouvement que le frottement'des fluides a été étudié : nous allons voir quels sont les résultats auxquels on est parvenu à ce sujet.

Considérons d’abord le mouvement permanent d’un liquide pesant dans un tuyau dont la section transversale est. partout la même. Il est aisé de voir que le mouvement de chaque molé- <*ule doit être uniforme dans toute la longueur du. tuyau. Mais les diverses molécules ne se meuvent pas toutes avec une même vitesse; celles qui sont tout près des parois du tuyau se meuvent très-lentement, et à mesure qu’on s’éloigne de ces parois pour se rapprocher de l’axe du tuyau, on en trouve dont les vitesses .'^ont de plus en plus grandes ; le liquide tout entier peut être regardé comme formé de couches cylindriques concentriques

MOUVEMENT DES FLUIDES

qui glissent les unes dans les autres, et dont les vitesses sont d’autant plus petites que leurs rayons sont plus grands.

Les diverses molécules liquides étant animées de mouvements uniformes, les forces qui agissent sur chacune d’elles doivent se faire équilibre, et par conséquent il doit en être de meme de toutes les forces appliquées à la portion de liquide comprise entre deux sections transversales .\H, CD, fi g. 120; la somme des projections de ces forces sur l’axe du tuvau doit donc être nulle. Désignons par ^ l’aire de la section du tuyau; par l la longueur de la portion du tuyau ABCD; par ^ l’angle que l’axe de ce tuyau fait avec la verticale; par z' et z" les distances des centres M, N des deux sections AB, CD à un plan horizontal HH; par o la masse spécifique du liejuide; et par F une force appliquée au liquide ABCD, en sens contraire de son mouvement et capable de produire le même effet que l’ensemble des frottements que ce liquide éprouve. Soit de plus p' la pression moyenne dans la section AB, et p" la pression analogue dans la section CD. Le liquide ABCD est soumis I" à la force qui agit sur la section AB, dans le sens du mouvement; 2® à la pression qui agit sur la section CD, en sens contraire de la précédente; 3“ à son poids qui a pour expression et dont la projection sur l’axe du tuyau a pour valeur oQmÎ cos ou bien oge,i (j' — j"); i" à la force F qui agit en sens contraire du mouvement. Donc, d’après ce qui précède, on doit avoir

Cette relation permet de déterminer F, lorsque l’on connaît les autres quantités qui y entrent, quantités qui peuvent être faci-

5li LIVRE IV. — UY>'AMIQUE. TROISIÈME PARTIE, lement déterminées. Des expériences nombreuses, discutées par Prony, lui ont fait voir que la force F peut être représentée par l’expression

s étant le périmètre de la section du tuyau, u la vitesse moyenne du liquide dans une section quelconque, et «, p deux coefficientsconstants pour un même liquide. Le facteur U sert de mesure à la surface par laquelle le liquide considéré touche la paroi du tuyau; il est aisé de comprendre que la force F doit en effet être proportionnelle à cette surface. En remplaçant F par l’expression, que nous venons d’indiquer, en divisant ensuite tous les termes par la relation que nous avons trouvée devient