SYSTÈMES A POINTS TBÉS- H APPROCHÉS
(itf i>diio aux liinilcs de Tnirc, que nou:; supposerons termiiu^o pai- doux coordonnées.
Mais| en vpiiii du ihéorème dos momenls, si A désigne l'aire générairicc et y, l'ordonnée de son centre de gravité, on a :
Jydxy: iy = Ai/i .
Dune In volume en qiieslioii peut éti-c mis sous la Torme annoncée 27ry,.A.
Si l'aire génératrice est absolument quelconque, e'est-àdire comprise, par exemple, eulre deux parties de courbe et deux ordonnées, une démonstnition semblable s'appliquei-a encore. Car décomposons-la en une infinité de rectangles élémentaires par deux systèmes de lignes parallèles anx X et aux y. Chacun de ces rectangles aura pour expression dxdy, et en tournant il décrit un anneau infiniment petit, dont le rayon est y, qui est, par conséquent, égal à ii:ydxdy. Le volume total sera donné par l'intégrale double
/ / ^Tzy.dxdy,
étendue anx limites, dans les deux sens, de l'aire génératrice. Mais, d'après les moments, on a ;
If'-
ydxily= A y, ,
donc le volume considéré est représenté par2ity,.A.
Si la révolution de la courbe ou de l'aire n'est pas centptète, on pourra toujours avoir la surface ou le volume cor- ■■espondanl à la fi'action de tour effectuée, en multipliant la coui'be OH l'aire génératrice par la fraction de circonférence décrite par le centre de gravité.
1" Con»èquence. — Dans la rotation infiniment petite
,t,7rJM,G00glc
fiA6 APPENDICE. — THËOnËMES GËOUÉTBIQUES.
d'une ligne ou d'une surface autour de sou axe insianiané, l'aire ou le volume infiniment petit engendré se mesure par la ligne ou la surface en mouvemeut multipliée par l'arc iafiniment petit décrit par le centre de gravité.
i'ConiéqMenee. — Lorsque, réciproquement, on conoalt à priori la surface ou le volume de révolution engendi-é par la ligne ou par l'aire, ainsi que la longueur de cette ligne ou de cette aire, on en peut conclure la distance du centre de gravité à la droite autour de laquelle la rotation s'effectue.
Recherche des memenli d'iaerlle el des axeo priaeipanx.
190. ~- Les considérations développées aux n" ISA et suivants, pour la recberclie générale des centres de gravité, doivent trouver ici leur application. Seulement les foi^ mules qu'on eu déduira seront moins simples, puisque, au lieu d'avoir à opérer sur le produit de la masse de chaque point par sa distance à un plan, il s'agira du produit de la masse par le eané de la dislance à une droite, de telle sorte que les intégi-ales porteront sur r^dm.
Occupons-nous donc des formules relatives anx moments d'inertie.
Corps »«IIdci. — Proposons-nons de trouver les moments d'inertie par rapport à trois axes rectangulaires. Cette recherche suffira évidemment pour chaque corps donné, puii^qne la connaissance de ces trois moments permet de déduire celle d'uu moment quelconque pour une droite passant par le même point, et de là pour toute droite parallèle située comme on voudra dans l'espace.
Prenons les trois axes d'inertie en question pour axes de coordonnées. Décomposons comme précédemment le volume du coii» en une infinité de petits parallélipipèdes i-eclan-
n,g,t,7rJM,GOOglC
SYSTËUËS i. POIKTS TRÈS- RAPPROCHÉS. 1^1
gifîs, au moyen de plans parallèles aux plans coordonnés. Soit p In densité variable, en un point quelconque. La niasse d'un Ati CCS parallélipipcdcs élémentaires ainsi formés sera égale 5 pdxdijdz. Le cano de sa distance à l'un des troi* axes, celui des x, par exemple, sera égal ù y' + r' : par suite, son moment d'inertie, par rapport au même axe, sera ^(y^+x^^dxdydz. L'inuigi-alc de cette quantité, étendue au corps tout entier, c'est-à-dire dans les trois sens, représentera la somme , à la limite , des moments d'inertie de toutes les particules matéi ielles infiniment petites entre lesquelles 011 peut concevoir le corps décomposé. Si l'on appelle .V le moment d'inertie du corps, par rapport à l'axe des x, on aura donc :
A =£'f'£'? y + ^'5 flxdydz.
On obtiendrait de même, pour les deux autres moment» BetC:
fl = / 7 y 'p (a^ + z') rfaîrfyrfî,
p [x^ -t- y*) dx dy dz ,
Lorsque le corps est homogène, les formules précédentes peuvent se simplifier. Eu effet, p sort de sous les signes d'intégration, et, si nous considérons, par exemple, la valeur de A, nous voyons que x n'y figure que par sa différentielle. On peut commencer par intégrer par rapport il celte coordonnée; car l'ordre des trois intégrations successives est tout à fait arbitraire. Mais si on intègre par i-apport à x, en regardant y et z comme constantes, l'intégrale indéfinie
1 'dx sera représentée par x, — x„, quantité dans laquelle,
bien enteudu, x^ et ;r^ sont des fonctions de y et de z, fonr-
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21^8 APPENDICE. — THËORliUES GÉOHËTRIQUES.
nies par l'éqnatioii de la sui-(ace sons laquelle est compris le corps, et qui inierviendi'ârit conscquemoient pour les intégi-oiioiis uluii'ieuies prises par rapport à y et ù r. La valeur de A, et pareillemcitl celles de B et de C peuvent aïiisï 6e inctti'c sous la foiiuc :
'^JX"'
*.) d/' -f *') '/y ff' >
y„) {^' + z^)dxdz,
Il it'y a pas lieu, comme pour le centre de gi-avité, d'étendre aux surfaces et aux lignes la reclicrclic que nous venons d'exposer pour les solides : car, les massses des surTaces et
des lignes étant infiniment petites, l'intégrale jr^dm est
elle-même infiniment petile, cl, par suite, te moment d'inei^ lie n'a plus aucun sens. An contraire, pour les centres de gravité la position du point clicrcbé ne dépend pas de rinu>-
grale / xdm, mais du rappoit de celte intégrale à ia masse
totale / dm, rapport qui n'est pas infiniment petil, et qui,
conséquemmenl, assigne des cooi'dunnées géométriques au ceiilre de gravité
Les moments d'inertie une fois trouves pour trois axes rectangulaires menés par uu point quelconque, on déterminera sans dilficiiltc, d'après les théorèmes démontrés dans la première partie de cet appendice, la position des axes principaux relatifs ù ce point, ainsi que la valeur des moments principaux. Uc Ift on passera, au moyen des mêmes th(>orèmcs, à la connaissance des momeuu et des axes principaux ix-lalifs ù tout autre point du solide, et spécialement à
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SYSTEMES A KIINT3 TBÈS-iAPniOCBfeS.
la cofloaiftBaoce de cea quaoïités prises pour le centre de gravité luè-méme.
Appliquons la mëtbode générale ci-dessus à quelques solides particaliers.
191. — H*aiwU «inBcrlIe d'an r*r«ll^llrlr^« f* rmpftt à Mfl Irali mr*tt» «•■tlg««s. SoitOABC un parallélipipède rectangle > pour lequel nous nous proposons de trouver les trois moments d'inertie correspondant aux arêtes A , OB, OC. Prenons ces arêtes pour axes rectangulaires de coordoBoées, et divisons le parallélipipède en one infinité d'éléments, au moyen de trob séries de plans ras- /y- pectivement parallèles aux
«►* faces OAB, OAC, OBC.
Soit M un de ces éléments dont la masse sera exprimée par
Si nous voulons avoir le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe OA, il faut former le momeut du point matériel 31, et intégrer saivant les trois dimensions. Or le moment de M est égal k ^(^y*-\-z')dxdydz. Cherchons dong l'intégrale triple
^ÇÇJ(s' + ^)dxdydz,
laquelle, comme on sait, se ramène immédiatement à l'intégrale double
fiajj (y' + t.*)dydz,
rmn-n-.;GoOg\c
usu
APPENDICE. — THËORkUES GÉOHÉTBIQtTES.
VII iiilégrant d'abord par rapport à x, depuis ;r=^a jusqu'i ^:aOA=a.NouS intégrerons ensuite successivement: 1° par rapport à y, depuis y=:ojusqu'à y = OB^Ji 2° par rapporta *, depoîs z = o jusqu'à z = OC = c. Ces opération» n'offrent aucune difficulté, et l'on obtient pour le moment cherché :
Remarquons que pabc représente la miue totale M du parallélipipëde : désignons respectivem^tt par A, B, C, les moments relatifs à OA, OB, OC ; les valeurs de ces trois moments seront les suivantes :
On vérifie wseneit : If que, de ces trois moments, le pins frand est celui qui est pris par rapport à la plus petite tréte, et vioe vena; t° qne le plus grand des trois est en atâme lamps le maximun de tous eeax qui poamieM ¥en formés pour les diverses droites menées par le potat 0, M qse le plus petit des trois est va minimum. I^oà H suit que ces trois meuents A, B, C amt les trois mMnents - ^ — princïpani du point 0; et
les trois arêtes OA, OB, pd^ OC, les trois axes principaux relatifs à ce point.
Moment d'inertie d'un «llipâoide par rapfêrt é tel aaet FIf. u.
b, e, les longueurs des demi-axes de figure de l'ellipsoïde.
principaux. — Soit a.
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STSTfcHES A POINTS TBËS-B APPROCHÉS. 451
En les prenant pour ax.es de roordonuées, l'équation de la surfiMe sera celle-ti :
Donc, dans l'intégrale triple générale,
il (laudra iolégrer d'abord par rapport à jt, entre les valeurs extrêmes — a et + a, et remplacer x^ eix^ par leurs expressions, roDctIon de y et de t, fournies par l'éqoattoD de la surface. On obtient pour le résultat de cette première iolégration :
ou bien, en séparant les deux parties corretpaïukuit au Tac-
^?ffflf' +2') V^i -Jî - ^î ''y (^ .
éparanl les deux parties corretpaïui
m J«f j J.'ifay/« ^ ^ i, +
Pour effectuer l'inlégnition de la première partie, on emploie un des artifices connus de l'analyse : on représente la
quaatilé i' -3- par le carré d'tme IncoDune attxiltaire r,
et alors llM^grale de cette première parde pent être écrite :
Jes quantités —r et -^r Nanties limites extrêmes delà va-
iM,Googlc
Ml AIVEKDir.E. — TBËORfiHBS CÉOHtnlQCES.
leur de y. Ces deux limites résuilent, en effet, de l'iospecUoa
de l'équation— ,+ Tî^li laquelle est relative à la section de
l'ellipsoïde par le plaH des yz.
Mais l'on sait que / V^r* — y'rfy, dans laquelle y est
seule regardée comme variable, représente la moitié de J'aire d'où cercle d'un rayon égal à^-, dont la valeur est
LlDlëgraie précédente se réduit à
La valeur de la première partie de l'expressiou (s) est donc
égale i — ~- — . La valeur de la seconde partie s'en dé-
dnit immédiateuient, eu i«niarquaat que, pour passer de l'une à l'antre, il suffit de remplacer z par y et r par i. Cette
seconde valeur est
linpac i'
Finalement, le moment d'inertie par rapport à l'aie OA est égal à — ^ — {b^+c').
Désignons respectivement par A, B, C tes trois momcnu par rapport à OA, OB, OC , et remarqubns que la masse totale M de rellipsoide est exprimée par - npaio. lies valeurs des moments seront les suivantes :
A=^(y+HJ. B = ^(a>+0. C=y{a'+é»).
iM,Googlc
SmtMK A POINTS TKkïi-BÀPPSOGIItS. 493
Comme conséqueBC«, cm voit une le moment d'inertie d'une sphère liomogène, par rapport à l'nn quelconque de ses diamètres, est reprësenié par
en appelant r le rayon de la spbère.
D'après cela, le moment d'une couche sphériqne comprise entre les deux surftces de rayons H et r, aura pour râleur :
-^ (R' — r*) , si la couche est homogène ;
ëit /*"
-=- 1 pi'*i6', si la couclie est hélérogène dans le sens du
*^'' rayon, tout en étant homogène sur nne
même snrTace.
Remarqua. — On aurait pu trouver directement le mo^ ment d'inertie d'une sphère, sans passer par celui de l'ellipsoïde, en décomposant son volume eu une infinité de couches concentriques infiniment minces. C'est la même métbodu qui fournît le moment dlneriie d'une couche finie, doiil nous venons précisément de donner la valeur quelques lignes plus haut.
193, — Moment (tinerlie dex tolidet de révolution par rapport à leur axe. On peut obtenir Irès-aisément et par une seule intégration le moment d'inertie d'un solide de révolution par rapport i son axe, et conséquemmenl aussi par rapport à tonte droite parallèle à cet axe. C'est un des cas qui se présentent le-plus souvent dans la mécanique appliquée.
Commençons par chercher le moment d'inertie d'un cylindre b basedrcnlaireOAR, et dont l'axe, perpendiculaire en an plan de la ^nre, a une hauteur quelconque h. On
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4M APRKMGI. — nCORfeHBS GfcMttniQUn.
(MM diviser m cylindre es tme inSniié de volumea srab- Itllres eoBipm eatre des surfaces coBoentriques ininrmoit rapprochées. Soit OH = « le rayon de la snrfiice intérieure d'un de ces aoneaux, et dx l'épaisseur de cet anneau. Sou vo- ^ iume sera égal à Svxdx.k,
aa masse à irtfh.xdx, et son moment d'inertie , par rapport i l'axe 0, à
Pour avoir le mooiBal d'inertie total, il budra prendre l'intégrale
^Xfkh
j^dx.
"*■ **■ entre les limites « = o et
r étant le r«yoa i>A de la ttase. O i ^ M n a t sera
Acinsli^Mal cMiidéroBB u solide de lévsiMion qnei-
ccaqm, engfwM par la conriM EF ta w ant avtoor dte
certain axe OX. Ou paoi
dïTiter c* Tolnme en une
infinité de peUts cytadns,
tels que celni qmi a pour
base le cerele de rayon
. MR=y et peur banteur
Pl^^djr. Le momwBt dV
uertie de ce peUt cylindie
est égal h i iif}f*ds. Ponr
"*■ ^ avoir 1« moment dlnertie
dn s*Hd« tout, H nint prendre l'liHé(raI«
n,g,t,7rJM,GOOglC
StSTkMES A POIKT» TltkS-lliPPMCBfiS. kU
depuis la valeur *= 011:=*, , jusqu'à «^OÏ=t=if,. De i^e MTteipK le monem dtaenie ebercM cM r«pr«iMté par
;Ttp I y^dx.
Il ne faut pas perdre de vue que y est une certaine foaclion de x, fournie par l'équation , y=/'(^) * de la courba génératrice.
Si la ligne E F se réduit à une droite, parallèle à l'axe, — ce qui est précisëmeni le cas du cylindre droit à base circulaire que nous avons examiné plus haut, — y est une quantité constante, égale an rayon r de la base, et l'inlégrale devient simplement
;7tpr' I (tr=înpr'(x, — ',):= îirpf'A.
h étant la baolenr H K du cylindre. On retrouve ainsi ISi valeur déjà connue.
Si la ligne EF est une droite inclinée à la base, ce qui fournit un cAne circulaire on nu tronc de cAne , selon que cette droite est prolongée jusqu'à la rencontre de l'axe ou arrêtée à une certaine (lisunce, l'équation de la ligne génératrice se réduit à y='ax, et la valeur du moment dlnertie devient :
t; Ttpar' , pour le cône entier de rayon r;
,^npapl* — r*) , pour le tronc du cône de rayons R el r.
Si EF est un demi-cercle, son équation, dans la position
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ftSA APPiNDICe. — THtoHËUES G^OHÊTUQUES.
actDelle des aie», est y^^irx — jr*. Eu portant celte valeur daas l'intégrale, qui doit £tre prise depuis ar=o jusqu'à X = ir, on retombe sur la valeur connue du moment d'inertie de la sphère.
Nous ne multiplierons pas davantage ces exemples, qui montrent surabondamment avec quelle facilité s'obtiennmt les moments dlnertîe des solides les plus osuels.
riN BB LA ir6UNIQUÏ CkHÈtLÀLt.
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