CeMires de gravité de ^Hel^Hcs v«lyMe« mfi

eiaux. — ParaUèlipipède. — Il est évident que tous les plans diagonaux sont des plans moyens. Par conséquent, le cchtii! de gfavilé se trouve à leur intersection, ou, ce qui revient au même, au point de reiicoulrc de toutes les diagonales.

Prigme. — Il est aussi évident que le centre de gravité se tronvera sur la ligne qui joint les centres de gravité des deux bases, et au milieu de cette ligne. Cela résulte de ce qu'on peut décomposer le solide en une infinité de prismes infiniment petits par une série de plans parallèles sm\ bases.

Pyramide. — Le plan mené par le sommet et la ligne médiane de la base est évidemment un plan moyen ; car on peul décomposer la pyramide en une série de prismes infi-' ninient petils par des plans inBnimeiit rapprochés parallèles à la hase. Le même raisonnement pouvant se répéter pour un sommet quelconque et ia base opposée, il s'ensuit que le centre de gravité de la pyramide est au point d'intersccliou de tons ces plans moyens. Il est d'ailtcuis facile de conclure, de la similitude des triangles ainsi formés, que ce centre se trouve situé, au-dessous de ia base, à une distance égale au quart de la hauteur de la pyramide.

On peut dire aussi que le centre de gravité est au milieu de la ligne qui joint deu\ aréles opposées.

Nous avons tacitement admis que la pyramide était triangulaire.

Si elle était polygonale, on verrait aisément que le centre est situé sur la ligne qui joint le sommet au centre de gravité du polygone de la base, et à une distance, au-dessus de cette base, égale au quart de la liantcur.

Cylindre, cône. -Leui-s centres de gravité se conctucutuisémcnl de ceux du prisme cl de la pyramide, eu cousidéi-aut ces solides comme des prismes ou des pyramides d'une infinité de cùlés.

n,g,t,7rJM,GOOglC

SÏSTÈMES A POLNTS rKËS-R APPROCHÉS. UUi

Nous ne nous ctuudi'ons pas davantage sur ce genre de rcchciTlies, Les figures que nous venons d'examiner", et pour lesquelles on i>eut la plupart du temps dôteraiînvr la position du centre par des procédés géométriques fort simples qui dispensent des procédés plus compliqués de l'analyse, suRIsent presque onlicrement aux besoins pratiques. Quant au\ autres corps, qui ne sont pas compris dans la précédente énumération, on pourra, lors(iuc les considérations géométriques n'y pourvoii'ont pas, employer les méthodes généralc-s que nous avons exposées. Nous admettrons doue dès maintenant que le problème des centres de gravité est complètement résolu pour tous tes corps réels que le rapprocbcmeut de leurs molécules permet d'assimiler à des corps pleins, et qui sont d'ailleurs susceptibles par la nature de leurs formes d't^Irc exprimés par des formules analytiques.

Avant de quitter ce sujet, nous démontrerons im thf^orèmc important, dit tbéorénic de Guldin, du nom de son inventeur, el qui fournit un moyen précieux pour mesurer les surfaces ou les volumes de révolution par la connaissance des centres de gravité des lignes ou des aires planes qui les engendrent.

TBÉORÈHE DE GL'LtItM.

189. — L'uire de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour d'une droite quelconque située dans son plan est égale à la longueur de la courbe génératrice multipliée par la circonférence que déciitson centre de gravité.

Le volume engendré par une surface plane tournant autour d'une droite quelconque située dans son plan est égal ii l'aii-e de la surface génératrice multipliée par la circonférence que décrit son centre de gravité.

Itapportoiis lu combe génératrice à deux axes de coor-

n,g,t,7rJM,GOOglC

IxkU APPENDICE. — TBËORtMES CÈOttËmlQUES.

données reeUnigiilaiics, dont l'uo, coliiî des :r, par c\CDipie, coïacide avec lit droite aiilour de laquelle lii rcvoluUou sVFfectue.

On peut concevoir giie lu siitfiice engendi'ée soit décomposée en tioe infinité de zones infiniment petites, au moyen de pluns perpendiculaires à l'aice des x. La surface éiémeDtaire d'une quelconque de ces zones aura pour mesure la cii-conTérence qui lui sert de base multipliée par l'élément d« la courbe, c'est-à-dire ini/.di. La suifacc totale s'obtiendra donc en prenant l'intégrale

f^-Ky.ds o» iTiÇyds,

étonduti aux limites de lu coui'bc gcnéralrioc.

Mais, en vert» du théoi-ème des moments, si l'on repn.'senle par L la longueur de lu courbe, et par y^ la dislance de son centre de gravité à l'axe des x, ou auiti :

bouc la surface en question sera égale à 37cy,.L, ce qui est précisément la formule annoncée.

Qnant au volume engendré par une aii^ plane, on peut lui appliquer un raisonnement analogue. En effet, supposons d'abord que l'aire génératrice soit comprise entre une courbe et la droite autour de laquelle la rotation s'effectue. Le volume peut être décomposé en une infinité de petits cylindres, au moyen de plans perpendiculaires à l'axe des x. Chacun de ces cylindres élémentaires aura pour mesure le cercle qui lui sert de base multiplié par la hauteur, c'esi-ùdire r.y^.dx. Le volume total s'obtiendra donc en prenant l'intégrale

j-ny^.dx,

rmn-n-.;GoOg\c