Tous les plans moyens se coupent en un même point

Pour le démontrer, je vais prouver que tout plan mené par le point d'intersection de trois plans moyens est luimême un plan moyen. Comme aucun autre parallèle ne saurait Tetre également, il en résultera bien que tous les plans moyens se coupent en un m(>me point.

* Prenons donc trois plans moyens rectangulaires entre eux, et plaçons Torigine des coordonnées à l'intei'section de ces trois plans. Je mène par cette origine un plan quelconque, et je dis que c'est encore là un plan moyen, c'est-à-dire que la somme des moments est la même de part et d'autre de ce plan, ou, si Ton préfore, que la somme algébrique de tous les moments par rapport à ce plan est nulle ( en comptant comme positives toutes les perpendiculaires situées d'un côté, et comme négatives toutes celles qui sont de l'autre ).

En effet, la perpendiculaire menée d'un point quelconque m, dont les coordonnées sont x, y, z, sur ce plan, qui a pour équation A^4-By)4-C9 = o, (^, yj, 9, étant les coordonnées du plan ), cette perpendiculaire, dis-je, est égale, d'après

ce qu on a vu en géométrie analytique, a — =. ;

par conséquent, la somme algébrique de tous les moments aura la valeur suivante :

kx 4- ByH-Cz 1

-|- B2 my -H C 2 mz) .

Mais par hypothèse les plaus coordonnés sont des plnns

PROPOSITIONS PRÉLJM1NAIRKS. 257

moyens, cVsl-à-diro quo les sommes algébriques des moments pris par rapport à ces plans sont nulles ; doue ^mr =o, 2.tny=o, l7nz=o.

Il eu résulte que la somme ei-dessus est identiquemeut nulle, quels que soient d'ailleurs A, B, C, ou quelle que soit rinclinaison du plan considéré.

Le point de rencontre de tous les plans moyens a reçu le nom de centre des momefitft. Ainsi le centre des moments est un point tel que tout plan mené par ce point est un plan moyen des moments.

CofiitequettceM,

!• Le centre des moments de deux masses égales est uu milieu de la ligne qui les joint : car tout plan qui passe par (^e point satisfait évidemment à la condition (|ue les deux perpendiculaires sont égales. De même le centre des moments de deux masses inégales est sur cette ligne et la divise en liaison inverse des masses.

2" Si toutes les masses sont égales, le centre des moments est le centre des moyennes distances.

3° Si toutes les masses sont égales et uniformément distribuées suivant une figure géométri(|ue régulière, comme un cercle, une sphère, un cube, etc., le centre (l<»s moments coïncide avec le centre de figure.

Jtcfnarquex,

Si les points matériels changent de positions relatives, comme cela a lieu dans un mouvement quelconque, le centre des moments (!hange lui-même avec le temps. Mais il n*y en a pas moins à chaque instant, pour la figure actuelle affecu^e par les points, un certain centre des moments, dont la place est assignée par la condition que trois plans rectangulaires

258 LIVRE m. *- SYSTÈMES MATÊBIËI^.

(|ui s*y coiipoiu sont, à cet instant pmîis, des plans moyens.

Si Ton suppose que toutes les masses des points matériels considérés sont sollicitées par la pesanteur, les moments des masses de ces points seront proportionnels aux moments de leurs poids. Par conséquent tout plan moyen pour les mo* ments des masses sera aussi un plan moyen pour les moments des poids, et le centre des moments des masses sera le centre des moments des poids.

Cette circonstance a fait donner de préférence au centre dont il s'agit le nom de centre de gravité, qui signifie centre des moments de la gravité ou centre des moments des poids.

Bien entendu, ce centre n'en existerait pas moins si les niasses n'étaient pas soumises à la pesanteur, ou si leurs poids n'étaient pas exactement proportionnels, comme cela aurait lieu pour des corps situés en des régions suffisamment éloignées du globe. Seulement le terme de centre de gravité n'a plus alors d'autre signification que celle de centre de» moment» de» masse», qui est la propriété caractéristique de sa position dans le système.

Proposition quatrième.

126. — La somme des masses d'un nombre quelconque de points matériels, multipliée par la distance du centre de gravité à un plan quelconque, — ou ce qu'on nomme le tmment du centre de gravité, — est égale à la somme des moments de tous les points matériels par rapport à ce même plan.

N, B, Par ce mot somme, il faut entendre naturellement la somme algébrique.

Soit donc m, m' j m".... les masses des points matériels, a?, y, a?"... leurs distances à un plan quelconque, et Ç la distance du centre de gravité à ce même plan. Je dis qu'on aura :

llm = Itnx = 7nx -h m'x' -{- ni'x" -^

En effet, menons par le centre de gravité un plan parallèle an précédent; l sera la distance entre les deux. Les distances des divers points par rapport à ce nouveau plan, qui est un plati moyen, seront a? — ? , a?' — H , a?"— ? , et Ton aura, d'après la proposition II'',

d'où

2 rnx = 2r»^= ^Stw;

ce qui est justement ce qu'il s'agissait de prouver.

Conêéqueneen.

1° Le centre de gravité, au lieu d'être défini un point par lequel tout plan mené est un plan moyen, peut être également défini un point tel que son moment par rappo7't à un plan quelconque est égal à la somme des mo7nents de tous les points. — Cette propriété nous fournit même un nouveau moyen de déterminer le centre de gravité. Il suffira de mener trois plans quelconques, par exemple les trois plans rectangulaires de coordonnées, et de chercher ensuite le point qui satisfait à la condition que la somme des masses multipliée successivement par chacune des trois coordonnées donne des produits respectivement égaux a la somme des moments des points matériels par rapport à ces mêmes plans.

2° Si l'on cherche le centre de gravité de trois masses m, m', m!\ il revient au même de chercher : 1° le centre de gravité n de deux d'entre elles, m et w'; T de chercher le centre de gravité de m" avecn^ comme si en n étaient accumulées les deux masses m et m! , Le point G ainsi déterminé sera le centre de gravité des trois masses données. Il suffit

pour cela de montrer que tout plan XX ftiené par ce point

est un plan moyen. En effet,

soit X, x\ x" et h les dis-

^ tances à ce plan des points

m, m', m" et n. On a par

construction ( m+fn!^h=

^^- ^' m'V; on a aussi , d'après

la proposition ci-dessus, mx -f- m'x' = {m-{-m'^ h\ donc

ffix-\-7nx ^=fn X .

3** En généralisant la conséquence qui précède, on voit qu'on peut obtenir le centre de gravité d'un nombre quelconque de points matériels en cherchant d'abord celui de deux d'entre eux, puis en combinant avec le troisième, puis avec le quatrième, et ainsi de suite; le tout se faisant uniquement par des constructions linéaires.