CHAPITRE PREMIER

119. *- On dit qae des points matériels forment un système^ lorsqu'il existe entre ces points, par des moyens quelconques, une certaine dépendance en vertu de laquelle le mouvement de Tun d'entre eux est influencé par le mouvement des autres; ou, pour dire autrement, en vertu de laquelle si tous ces points, excepté l'un d'eux pri* arbitrairement, viennent à recevoir des mouvements, ce dernier recevra par contre-coup un certain lïiouvement correspondant.

Si dans un système on pouvait distinguer deux groupes.

2^0 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

îiidépeiidants Tuu de lautre et offrant d'ailleurs entre les points de chacun d eux la solidarité que nous venons de définir, on n aurait plus en réalité un système, mais bien deux systèmes a chacun desquels s'appliquerait ce qui a été dit ci-dessus.

Selon que la dépendance des points est obtenue au moyen de forces ou au moyen de liaisons analogues à celles que nous avons considérées dans le Chapitre IV du Livre précédent, les systèmes sont appelés dynaniique$ ou géométriques^ termes qui seront éclaircis par ce qui va suivre.

Dans les systèmes de Tune et de l'autre nature, on reconnaît des systèmes libres et des systèmes assujettis. Les premiers sont ceux pour lesquels il n'y a pas d'autres liaisons que celles qui existent entre les points, de telle sorte qu'un d'entre eux, pris au hasard, peut recevoir, au moyen de forces convenablement disposées, toute espèce de mouvements, sauf à influencer les autres points d'une manière correspondante. Les systèmes assujettis ou qui ne sont pas entièrement libres sont ceux dans lesquels un ou plusieurs points sont non-seulement liés aux autres, mais astreints en outre à demeurer sur des courbes ou des surfaces assignées à priori^ de telle sorte que ces points ne peuvent pas, quelles que soient les forces appliquées, prendre tous les mouvements imaginables, mais ils ne peuvent au contraire se déplacer que suivant des directions compatibles avec ces surfaces et ces courbes. La distinction des systèmes libres et des systèmes assujettis, prise dans toute sa généralité, n'offre qu'ua médiocre intérêt pratique. Aussi les traiterons-nous simultanément, en avertissant chaque fois que nos déductions conviennent soit à nn cas soit à l'autre.

120. — Systèmes dynamiques. — Les systèmes dynamiques sont, avons-nous dit, ceux dans lesquels la dépendance des points est due uniquement à des forces. Pour que cette dépendance ait lieu effectivement, il est nécessaire que cha-

que point soit individuellement sollicité par quelque force fonction des coordonnées des autres points. Car, si un seul n'était pas soumis à de telles forces, tous les autres points pourraient changer de positions, c'est-à-dire recevoir des mouvements quelconques sans que le premier subît aucune modification dans l'état actuel des forces totales qui le régissent : par suite son mouvement propre n'en serait aucunement altéré, ce qui est contraire à l'hypothèse où nous sommes que tous les points matériels forment un système.

Le caractère algébrique d'un système dynamique est donc qu'il y ait pour chaque point au moins une équation de la forme

équation où F représente une des forces destinées à réaliser la dépendance, et x, y, z, x\ y', .... les coordonnées des divers points.

Ainsi, un système dynamique de n points matériels implique au moins n équations de la forme ci-dessus. Il peut d*ailleurs y avoir un nombre quelconque de ces équations, car chaque point peut être soumis à autant de ces forces qu'il plaira de supposer.

On peut ajouter que, pour que le système existe réellement, il faut :

1® Que chaque point figure au moins une fois, par quelqu'une de ses coordonnées, dans le groupe d'équations en question. — Car si un point restait à l'écart de ces relations, son mouvement pourrait varier à l'infini sans qu'aucune des forces F fût changée, et par suite sans que le mouvement d'aucun des autres points fut modifié. Ainsi, ce point ne ferait pas partie du système.

2*» Que les équations ne puissent pas être séparées en deux groupes tels que les points qui figurent dans l'un des groupes ne figurent pas dans l'autre. — Car alors les deux groupes

Ml iiTit m. — S1S I 1JM& MATtmipjL

à^ pMfti» ac^irfkii qaî Kiù€wsftùmàtmÊ aox deux groupes dT^qs^tio» itjtwktniitmi r««lkmeat desL s]rslèmes parfaiten^ttt «listÂiKi», fi«tui*t le BoaTeflieBi des poiols matériels àt ïun ^enâi sases ÎBÉBeiice mv le moareiDeDt des points natf^nel» dic l'antre.

Toaies les forces analogves à la force F seront appelées par nous forces de liaim»m* ob forcet ÎHtérieureSj par opposîUoQ aox forces qui ne coalrîbMHt pas à la dépendance et que noos cootînoerons à immudct, selon ce que nous avons déjà lait an chapitre HT, fmrees extérieures. Quant au\ équations analogues à réqoalîon ci-dessus, nous les appellerons équations de liaisons.

Nous ferons cette remarque importante, que, dans un système dynamique libre, tous les mouvements sont possibles, c^est-â-dire qu'au moyen de forces extérieures convenables on peut mouvoir simultanément tous les points suivant des directions absolument quelconques. Car chaque point est en réalité comme un point libre, sollicité par Tensemble des forces extérieures et intérieures, qui ont une seule résultante. Or, en combinant avec cette résultante une nouvelle force extérieure convenable, on peut obtenir ime nouvelle résultante précisément capable de produire le mouvement qu'on a en vue.

Telle est sans contredit la manière la plus générale possible de concevoir et de présenter les systèmes dynamiques. Mais, dans la réalité des choses extérieures, une si grande généralisation est inutile. La nature, plus bornée dans ses moyens d'action que notre imagination, ou plutôt plus ingénieuse à les combiner pour en faire sortir une infinie variété de résultats, n'offre que des systèmes dynamiques cai'actérisés par cette condition :

Que toutes les forces intérieures agissent suivant les lignes droites qui joignent les points deux à deux , et ces forces Kout deux ù deux numériquement égales et opposées. C'est

là ce que , dans notre examen des lois de la nature , au premier livre, nous avons nommé la loi d'égalité entre Taction et la réaction.

En outre, ces forces sont, la plupart du temps, fonction unî- .quement de la distance entre les points matériels. Cette dernière condition souffrant quelques exceptions, par exemple pour les phénomènes calorifiques, où le temps intervient, nous nous bornerons à attribuer aux forces intérieures la propriété exprimée par la loi de réaction. Ainsi nous considérerons dans nos calculs, en fait de systèmes dynamiques, tous ceux où les forces intérieures sont deux à deux égales et opposées. — Les systèmes abstraits, hors de cette catégorie, seraient sans utilité puisqu'ils seraient sans application possible.

121. — Systèmes géométriques. Dans ces systèmes la dépendance est réalisée au moyen de liens tels que ceux du chapitre IV. Ces liens sont en effet les seuls auxquels on puisse recourir pour concevoir Texistence d'un système qui n'est pas dynamique. Quelle que soit la manière dont les points matériels puissent être mis en relation, autrement que par des forces, la question se ramène en définitive à la liaison de deux points.

Or on ne peut imaginer deux points liés entre eux que d'une des manières suivantes :

1° Au moyen d'une tige rigide et invariable de longueur;

2^ Au moyeu d'un fil parfaitement flexible, mais inextensible, aux extrémités duquel les deux points sont invariablement attachés. — Cette liaison revient à la première, car, tant que le fil est tendu, il se comporte comme une tige rigide, et, dès qu'il cesse de l'être, il cesse en même temps d'être une liaison ;

3° Au moyen d'un fil parfaitement flexible, mais inextensible, le long duquel les points matériels pourront librement glisser, comme feraient des anneaux. — Pour qu'en pareil

26& LHRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

cas le fil fasse liaison, il est indispensable qull soit fixé par deux de ses points, ou invariablement attaché à deux points matériels : car, autrement, les mobiles glissant le long du fil s'en échapperaient, sang aucune résistance possible de celui-ci.

Les liens considérés se réduiront donc au premier et au troisième, celui-ci satisfaisant d'ailleurs à la condition que nous venons d'énoncer.

Nous n'avons pas à nous préoccuper des liens qui pourraient s'allonger ou se raccourcir, tels, par exemple, que des ressorts. Car, de deux choses l'une : ou bien la résistance qu'offre le lien à varier de longueur est une force constante, et alors il n'y a plus, à proprement parler, de système, cette force constante n'étant qu'une force motrice de plus, indépendante de la position des points matériels; ou bien cette résistance varie d'une certaine façon avec la distance des points unis par le lien, et alors nous rentrons dans le cas des systèmes dynamiques, puisque le lien équivaut exactement à une force fonction des coordonnées des points.

Avant de poursuivre ces réflexions sur les systèmes géométriques, nous devons rappeler au lecteur cette circonstance capitale , que , dans la nature , il n'y a pas de systèmes géométriques. Il en est des liaisons entre les points comme du mode d'assujettissement d'un point unique, étudié dans le précédent livre. Tous les liens sont matériels, et par conséquent toujours plus ou moins sujets à s'allonger et à se raccourcir. Aucune lige n'est complètement rigide, ni aucun fil parfaitement flexible. Là où l'on veut une résistance absolue, on trouve plus ou moins de facilité à céder, là où l'on veut celte facilité complète, on trouve plus ou moins de résistance. Ainsi plusieurs corps matériels, unis entre eux par les moyens que la nature met à notre disposition , sont unis en réalité par des forces intérieures variables, qui tout rentrer le système dans la catégorie des systèmes dyna-

PBOPOSITIONS PRÉLIMINAIRES. 245

miques. Pareillement , quand on envisage dans sa constitution intérieure un de ces corps que nous nommoiïs solides, et qui sont formés par un assemblage de points matériels , on trouve que ces systèmes , en apparence géométriques, sont dynamiques en réalité, pour les mêmes motifs que des corps réunis entre eux. Car, dans un corps, si solide qu'il puisse paraître , les points matériels ne sont pas liés par des verges soi-disant rigides ou par tout autre mode semblable , mais ils sont tenus à distance par ces actions mystérieuses qu'on nomme moléculaires, et qui ne sont qu'un cas particulier des forces intérieures des sys^ tèmes dynamiques. Ainsi partout ce sont ces derniers qui, dans la réalité, se substituent à ceux que nous appelons géométriques. Mais, quelque idéale que soit notre conception, nous n'en devons pas moins répéter ce qui a déjà été dit dans le cours de cet ouvrage, que certains systèmes naturels sont assez voisins de nos systèmes géométriques abstraits, pour qu'il y ait un immense avantage à traiter ces derniers , afin plus tard d'en faire des types d'assimilation à l'égard des systèmes effectifs. Cette restriction était nécessaire, pour que l'esprit ne se méprît pas sur la véritable nature des objets que nous considérons ici.

Le caractère algébrique d'un système géométrique, c'est qu'il y ait au moins une équation de la forme

d étant une quantité constante qui, selon les cas, représente la longueur de la tige ou la longueur totale du fil prise entre les deux points qui lui sont attachés invariablement.

Une seule équation de cette nature suffit pour qu'il y ait système, à la condition que tous les points y figurent à la fois par quelqu'une de leurs coordonnées. Car, cette condition étant remplie, si la position de tous les points, excepté

2&6 LIVRE Ui. — SYSTËMES MATÉRIELS.

d*uu seul, vient à varier, la position de ce dernier devra varier aussi pour que Féquation ci-dessus continue à être satisfaite.

Au contraire, si quelque point ne figurait pas du tout dans Féquation , ce point he ferait pas partie du système, puisque ses coordonnées seraient indépendantes des autres.

11 est aisé de comprendre pourquoi une seule relation sufiit à établir le système géométrique, tandis que, pour le système dynamique, il faut au moins autant d'équatious qu'il y a de points. En cfiTet, si, dans le système dynamique, ou avait une seule relation

et que tous les points, moins un, vinssent à varier de posi^ tion, il ne serait pas nécessaire que l'autre point variât aussi pour que Téquation fut toujours satisfaite ; mais, au contraire, cet autre point ne changerait pas, et ce serait la valeur de la force F qut varierait en conséquence.

11 peut y avoir entre les points matériels d'un système géométrique plusieurs équations de la forme de celle qu'on a posée plus haut , mais il ne saurait y en avoir un nombre supérieur à celui des coordonnées de tous les points. Car déjà un nombre égal suffirait à déterminer d'une manière invariable la valeur de toutes les coordonnées, et, par suite, les points matériels seraient tous parfaitement fixes et incapables de prendre aucun mouvement.

Comme dans les^systèmes dynamiques, nous appellerons équations de liaisons les équations semblables à celle qu'on a vue , et forces intérieures ou de liaisons , les forces équivalentes à chaque instant aux actions des liens sur les points matériels.

On peut dire que le caractère distinctif des systèmes géométriques, c'est que tous les mouvements n'y sont pas simultanément possibles pour tous les points, comme dans les

systèmes dynamiques. Ainsi, Ton ne pourrait les mouvoir de manière à faire varier la longueur des tiges ou des fils. Toutes les forces motrices qu'on appliquerait aux points pour leur imprimer, de tels mouvements n'auraient d'autre résultat que de développer dans les liens une résistance indéfiniment croissante. C'est là une différence capitale entre les forces intérieures de pareils systèmes et celles des systèmes dynamiques. En effet, les vaiciations des forces intérieures de ces derniers correspondent à des variations dans les positions des points, tandis que , dans les systèmes géométriques, ces positions peuvent rester les mêmes si les forces extérieures tendent uniquement à imprimer des mouvements qui devraient faire varier la longueur des liens.

Ainsi, en général, quelques-uns des points étant supposés prendre des mouvements tout à fait quelconques, il reste toujours autant de coordonnées inévitablement déterminées qu'il y a d'équations de liaisons dans le système. Si le nombre des équations est égal à celui des coordonnées moins une, toutes les autres se trouvent a priori fonction d'une seule, et c'est celle-là qui, variant avec les forces motrices, impose aux autres des valeurs complètement déterminées. En d'autres termes, les valeurs des coordonnées, en prenant ar, par exemple, pour variable, deviennent :

Ix' = di {x) , I / \

et l'on voit que le point a?, y, z, quelles que soient les forces motrices qui le sollicitent, ne peut se mouvoir que suivant la courbe déterminée par les équations y=f(x)y z=cf(x), — Dans ce cas, on dit que le système est à liaisons complètes, voulant dire par là qu'une seule liaison de plus rendrait tout mouvement impossible. — Si le nombre des équa-

2^8 U\RE m. — SYSTCIILS 11ATÉU£LS.

lioiii» Cbt égal à cdui des coordoonées uioios deuiL , toutes leb cooi'doiiiiéeb pcuveui se mettre sous la forme :

(m) z = f{jc, y , jn) \ y' = y {x, y) ,

et Ton voit que le poiut x, y, z, quelles que soient les forces qui le sollicitent , ne peut se mouvoir que sur la surface déterminée par l'équation z=fjr, y).

>'ous avons dît, à propos des systèmes dynamiques, que tous ceux qu'offre réellement la nature jouissent de cette propriété remarquable , que toutes les forces intérieures y sont égales deux à deux et directement opposées. Nous allons voir maintenant que la conception idéale des systèmes géométriques entraîne nécessairement la même propriété pour les forces équivalentes aux actions des liens absolus établis l^ntre leurs points.

En effet, pour ce qui concerne en premier lieu deux points matériels liés aux extrémités d'une tige ou d'un fil tendu invariable, nous savons, d'après le troisième axiome du W* 20, que les efforts développés en chaque point, par suite même de la liaison, sont égaux et opposés. Si nous considérons, en second lieu, un nombre quelconque de points matériels, M, M', M"......, M ^"^ dispersés le long

d'un iil parfaitement tendu et d'une longueur totale invariable entre les deux points extrêmes M et M^"^ qui lui sont attachés, la démonstration se fera simplement de la manière suivante. Concevons, à un instant quelconque, que le point M", qui, ainsi que tous les points intermédiaires entre M et M^"', peut glisser le long du fil, concevons, dis-je, que ce point cesse de glisser effectivement, tandis que le point M' garde sa liberté. Ce dei'nier se trouvera dès lors assujetti à demeuier sur la surface d'un ellipsoïde dont M et M" sont

les foyers. Toute force extérieure, sollicitant le mobile M', peut èlre décomposée en deux, Tune normale à l'ellipsoïde, laquelle a pour résultat de maintenir le fil tendu, Tautre tangente à cette surface, laquelle fait par conséquent glisser librement le point sur la surface, c'est-à-dire le long du fil, sans développer aucune action intérieure. Quant à la force extérieure normale, nous avons vu au chapitre IV du livre précédent, qu'elle fait naître deux forces intérieures égales,

dirigées respectivement sui- Tii^'^TÏ^~Tr^H. vaut M'M et MM". D'un

autre cote, nous savons que refforten M\ dirigé suivant MM, développe en M un ^^Y, effort égal et opposé ; et de même que Teffort en M', '^' dirigé suivant M'M", déve-

loppe en M" un effort Bgal et opposé. On poursuivrait le môme raisonnement pour les autres points, et on arriverait ainsi à voir que la tension du fil a une valeur numérique constante sur toute sa longueur, et qu'entre deux points successifs M et M', M' et M", les efforts sont directement opposés.

Proposilion première.

122. — Deux groupes de forces équivalents et de sens contraires se font équilibre.

La signification de cet énoncé est celle-ci : Supposons que deux groupes de forces soient tels que, successivement appliqués à un même système de points matériels, ils lui communiquent le même mouvement; je dis que si ces deux groupes sont appliqués à la fois, mais en ayant soin de faire agir chaque force de l'un dans un sens

250 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉfiI£LS.

diamétralement opposé à sa direction primitive, les actions combinées de ces deux groupes s'anéantiront réciproquement, et que par suite il y aura équilibre.

En effet , soit S et S' les deux groupes de forces équivalents, et M un point quelconque du système matériel.

Désignons par F Tensemble des forces quelconques extérieures ou intérieures qui sollicitent le point M, avant l'in* troductlon du groupe S ou du groupe S' ; par P les forces du groupe S qui sont directement appliquées à ce point, et par I l'ensemble des efforts intérieurs qui se développent en ce même point par suite de la présence du groupe S sur les divers points du système. Après l'application du groupe S, le point M se trouvera comme un point libre sollicité par la résultante des forces F, P et I.

En nous servant de notations analogues à l'égard du groupe S', on voit qu'après l'application de ce groupe le point M se trouvera sollicité par la résultante des forces F, F et r.

Puisque les deux groupes sont équivalents, il s'ensuit que la première résultante est égale à la seconde, et conséquemment que la résultante de P et de I est égale à la résultante de F et de F.

î)'un autre côté, deux groupes identiques à S', mais appliqués en sens contraire l'un de l'autre, se feraient évidemment équilibre, car cela revient à appliquef sur chaque point des forces égales et directement opposées, lesquelles se détruisent réciproquement. Donc, puisque le groupe S', agissant en sens contraire, fait équilibre au même groupe « agissant dans le sens primitif, il s'ensuit que le point M', qui, sous l'influence de l'un d'eux, est sollicité par F, F et F, n'est plus sollicité que par F sous l'influence des deux groupes S' combinés. Ainsi le groupe S', en sens contraire, donne lieu en M à deux forces — P' et — F qui détruisent les deux premières F et F, ou qui ont une résultante égale et directe-

ment opposée. Mais déjà la i ésultaïue de P' et de F était égale à la résultante de P et de I : donc cette dernière est égale et directement opposée à la résultante de — P' et de — F.

Cela posé, appliquons le groupe S et le groupe S' en sens contraire. Le point M se trouvera sollicité par la force F, plus la résultante de P et de I, plus celle de — P' et de —F : or ces deux résultantes, étant égales et directement opposées, se détruisent. Le point M est donc sollicité seulement par F, et par suite prend le même mouvement que si les deux groupes n'existaient pas.

Cette démonstration convenant à tous les points, on voit que les deux groupes équivalents, agissant en sens contraires, se font équilibre.

Conséquences,

1° Si le système est primitivement en repos, il continuera à y demeurer sous les efforts des deux groupes équivalents et opposés.

2° Dans un système dynamique, l'équilibre de deux groupes ne peut avoir lieu qu'autant qu'ils fournissent, sur chaque point individuellement, des forces égales et opposées. En eflfet, les deux groupes en équilibre, pris en sens contraires, sont équivalents, c'est-à-dire communiquent à tous les points des mouvements identiques. Or les forces intérieures, qui dépendent uniquement des positions des points, étant alors nécessairement les mêmes, quel que soit le groupe qui agit, il en résulte que pour chaque point les forces extérieures sont aussi les mêmes. Donc les deux groupes en équilibre fournissent sur chaque point des forces égales et opposées. — Au contraire, pour les systèmes géométriques, les forces intérieures ne dépendent pas des posiiions des points, mais de l'état des forces extérieures qui les sollicitent. C'est pour-

252 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

quoi deux groupes de forces extérieures, dans un état différent, peuvent, en développant des forces extérieures différentes aussi, se trouver parfaitement équivalents.

3*» Lorsque des forces se font équilibre sur un système géométrique, on peut les augmenter ou les diminuer toutes à la fois, dans la même proportion, sans altérer Téquilibre : car doubler, tripler chaque force revient à superposer deux, trois groupes de forces, individuellement en équilibre, et développant chacun des forces intérieures convenables au moyen desquelles cet équilibre a effectivement lieu.

U° L'équilibre d'un groupe de forces sur un système géométrique ne dépend ni des masses des points ni de leur position dans Tespace. Il ne dépend pas non plus du temps, pourvu que les forces extérieures varient toutes de la même manière avec le temps, en conservant leurs rapports numériques et les mêmes directions.

Pour un système dynamique ces propriétés ont évidemment lieu parce que les forces des groupes sont en équilibre sur chaque point isolément.

5° Lorsque des forces se font équilibre sur un système, chacune d'elles, prise en sens contraire, est équivalente à l'ensemble de toutes les autres. Donc celles-ci ont une résultante unique, qui est égale et directement opposée à la première force.

Cette propriété ne convient qu'aux systèmes géométriques: car, pour un système dynamique, nous venons de voir qu'un groupe de forces extérieures ne peut se trouver en équilibre qu'à la condition que sur chaque point individuellement réquilibre a lieu. Donc une seule des forces du groupe ne peut être équivalente à toutes les autres prises en sens contraires.

Remarquer,

123. — Ce qui précède a pour principale utilité de permettre, à volonté, de ramener la recherche de Téquilibre à celle de Téquivalence, et réciproquement. .

Nous ne terminerons pas sans faire, au sujet des systèmes dynamiques, une observation importante, qui nous montrera combien est incomplète la conception de Téquilibre, telle qu'elle est présentée dans les traités de fttatique, où Ton se propose d'étudier cette circonstance directement et sans la rattacher aux considérations beaucoup plus générales du mouvement. En effet, imaginons un système dynamique soumis à des forces extérieures quelconques et actuellement en repos. Si ces forces viennent à être supprimées, les points matériels, en vertu des forces intérieures qui ne sont plus contre-balancées par les autres, prendront certains mouvements; d'où il cessort bien que le groupe des forces exté*^ rieures ne se trouvait pas en équilibre, puisqu'il n'était pas sans influence sur l'état de mouvement ou de repos du corps. Si le système était au contraire géométrique, les points resteraient en repos après la suppression du groupe, puisque cette suppression fait disparaître du même coup toutes les forces intérieures, qui sont dues uniquement à la présence des forces extérieures. C'est donc en défînissant l'équilibre d'après l'influence que les forces exercent sur le mouvement ou le repos, qu'on peut décider que l'équilibre n'avait pas lieu dans le premier cas et existait au contraire dans le second. En statique, dès que les corps sont en repos, on les tient pour être en équilibre. La conséquence inévitable est de commettre une erreur sur le véritable état du groupe appliqué au système dynamique, ou de faire entrer en ligne de compte les forces intérieures de ce système comme forces extérieures, c'est-à-dire de supprimer la conception des sys-

KU LIVRE m. — SYSTÈMES MATÊMELS.

tèmes dynamiques et de ne plus s'occuper que des systèmes géométriques : point de vue bien peu philosophique, puisqu'eu définitive les systèmes dynamiques sont les seuls qui existent dans la nature ; point de vue d'ailleurs constamment démenti par le langage scientifique lui-même, où les mots de système planétaire^ par exemple, sont afifectés à l'ensemble des astres qui gravitent autour de notre soleil en vertu de forces intérieures égales deux à deux et directement opposées.

Proposition deuxième.

12^. — Définitions. On appelle moment de la masse d'un point matériel par rapport à un plan, ou simplement moment^ le produit de la masse de ce point par la perpendiculaire abaissée sur le plan. — Réciproquement, le plan se nomme plan du moment, — Si plusieurs points matériels, indépendants ou à Tétat de système, sont dispersés d'une manière quelconque dans Tespace, on nomme plan m^oyen des moments ou simplement plan moyen un plan tel que la somme des moments des points situés d'un côté soit égale à la somme des moments des points situés de l'autre côté.

Cela posé, la présente proposition consiste en ce que :

Pour un groupe quelconque de points matériels , il y a toujours une infinité de plans moyens.

Car, si l'on mène un plan quelconque, et qu'on forme les produits relatifs aux moments, les deux sommes, pour la droite et la gauche du plan, que je représente respectivement par 2/wa? et lm^a?^ , seront généralement inégales, — sans quoi le plan serait immédiatement un plan moyen. — Mais si l'on mène un autre plan, parallèle au précédent, à la distance a, les deux sommes analogues pour ce nouveau plan seront :

Im {x -{- a) = Imx -^<x Ijh; 1 vi^ (a?, — «) = 2 m^x^ — oc 1 m^ .

Ces sommes pourront toujours iHre rendues égales en donnant à a une valeur telle que :

Imx -i- 0Llm = 1 m^Xj^ — al m^ ;

„ , Itn.x. — linx d ou a = — v^ — r~v •

Cette même démonstration prouve qu'il y a une infinité de plans moyens, puisque le premier plan mené a une direction tout à fait arbitraire.

Conséquences.

i° Aucun plan parallèle à un plan moyen ne saurait être lui-même un plan moyen : car, pour peu que le plan moyen avance ou recule parallèlement à lui-même, les deux sommes varient simultanément en sens contraires et par suite cessent d'être égales.

2" Si toutes les masses sont égales, le plan moyen des moments est en même temps le plan moyen des distances, puisque l'égalité lmx=l?n^x^ se change en Lv=lx^,

3° Si toutes les masses sont à égale distance du plan il en résulte que lm=lm^ , c'est-à-dire que la somme des masses situées d'un côté est égale à la somme des masses situées de l'autre : en d'autres termes, le plan est un plan moyen des masses.

k" S'il n'y a que deux masses, l'égalité lnix^=^lm^x^ devient ma?=tw,a?4, ou jr^ : a? :: m : m^. Donc les distances au plan sont en raison inverse des masses correspondantes.

256 LIVRE rn. — systèmes matériels.

Proposition troisième.