Soit m, m% m" les masses respectives d'un

certain nombre de points matériels , constitués en système dynamique au moyen de forces intérieures qui agissent sur chacun d'eux.

Représentons par P la résultante de toutes les forces extérieures qui sollicitent le point m, et par X, Y, Z les projections de cette force P sur trois axes de coordonnées rectangulaires ; représentons également par l la résultante de

toutes les forces intérieures, dues à Fétat du système, qui sollicitent le inénie point, et par L, M, N ses projections suivant les trois axes. Cette force I comprend aussi les forces équivalentes à la surface ou à la courbe sur laquelle le point matériel peut être assujetti à demeurer.

On peut considérer le point m comme libre et entièrement dégagé du système, pourvu qu'on adjoigne la force I à la force motrice P. En d'autres termes, le pointai se comporte comme s'il était absolument seul, et qu'il fut sollicité par l'ensemble des forces P et I.

Les équations générales du mouvement de ce point seront donc :

ZH-N = m-^;

auxquelles il faut joindre les trois relations représentatives de la vitesse, savoir :

dx du dz

Si l'on fuit usuge de notalioDS analogues pour le point m, ou aura autaut d'équalious de méine Torine : -

MOUVEMENT GÉiNÊRAL. 263

(B) 1;=-^, u=-^. ^^^di'

et ainsi de suite pour chacun des autres points du système. Si le système est assigné, on connaîtra L, M, N en fonction des coordonnées du système. En effet, la force I est exprimée par une certaine fonction des coordonnées, qui détermine son intensité. Elle pourrait être également fonc* tion du temps, puisque nous avons vu que certaines forces intérieures sont sujettes a varier. Quoi qu'il en soit , son intensité n*en sera pas moins connue , si la nature du système est supposée donnée. Quant à sa direction, nous pouvons la déduire de la manière suivante. Cette force I, qui représente Tensemble des forces intérieures, est la

résultante d'un certain nombre de forces i', t", menées

du point m aux. autres points m, m"j entre lesquels

l'action mutuelle s'exerce. La connaissance du système implique qu'on connaisse individuellement l'intensité de i',

i", ; la direction de chacune de ces forces partielles est

d'ailleurs déterminée, puisqu'elle passe : pour la force t ', par les deux points m et m'\ pour la force i'\ par les deux points m et m" \ et ainsi de suite : ce qui revient à dire que la direction de i est une fonction des coordonnées des deux points m et m'\ la direction de la force i", une fonction des coordonnées de m et m" \ et ainsi de suite. Ces fonctions sont fort simples et connues en géométrie : par exemple, le cosinus de l'angle que fait la force i' avec l'axe des x, est

égal à ,. ,.. , . ,.. , — ^, ; le cosinus de son

angle avec l'axe des y a le même dénominateur, et pour numérateur y — y', etc. En résumé, nous voyons que chacune des forces i, t\ est connue en grandeur et en

direction. Donc aussi la résultante I est connue en grandeur et en direction ; et en disant qu'elle est connue, îe veux dire

qu'elle n'est ronclioii que des quanlilés assignées à l'avance et des coordonnées des points : ce qui, dans les équations

(A), (A'), ci-dessus, n'introduit conséquemmen

aucune inconnue distincte de ces mêmes coordonnées.

Or, les équations fondamentales qu'on a établies poa chacun des points matériels suffisent à déterminer le mou venient, dès que les premiers membres sont assignés. Doni si l'on coiniaît les forces extérieures, comme on connii aussi les forces intérieures, ou du moins, comme elles n renferment que les coordonnées, on voit que thcoriquemen on pourra toujours trouver la valeur de ces coordonnées; ou réciproquement , ces coordonnées étant connues , ou pourra déterminer les forces extérieures. En un mot, le mouvement se déduira des forces, et vice versa; ce qui est précisément , en ce qui concerne les systèmes dynamiques, la solution que nous nous proposions, envisagé dans sa plus grande généralité.

128. — Qu'on le remarque bien, cette solution est pure ment théorique, et destinée surtout à satisfaire les exigence philosophiques de l'esprit. Car , dans la pratique , des diffi cultes presque toujours insurmontables viendront s'oppose à ce que la méthode précédente fournisse des résultats effec tifs. On pressent immédiatement la nature des obstacle contre lesquels on aura à lutter. Ainsi le nombre, souven très-grand et même immense , des points matériels condui rait à un système d'équations impossible à manier. En outre la connaissance des forces intérieures est généralement en travée par notre ignorance dfi la constitution physique de corps. C'est précisément pour se soustraire à ces difficulté d'application qu'on a été conduit, dans bien des cas, i remplacer les systèmes dynamiques par des systèmes géo métriques beaucoup plus simples, qui en fussent assez voi sins pour qu'on put en identifier les résultats. C'est ainsi par exemple, qu'au lieu de considérer les corps *que nou!

MOUVEMENT (.ÈNCRAL. J65

nommons solides comme des système» dynamiques "'qalls sont pourtant en réalité absolue), on les traite comme de» corps géométriques déforme invariable; ou ne se préoccupe pas des mouvements individuels de leurs particules, et ou leur applique les procédés d*étude, beaucoup plus simples, qui conviennent à cette classe yiarticulière de systèmes géométriques. Mais, bien que, dans la pluralité des cas, rétode directe des systèmes dynamiques soit, comme nous le disons, inabordable, et qu*on tourne la diflicullé par des assimibtions plus ou moins approximatives, il convient d'autant mieux de présenter la solution théorique du problème, que, outre la satisfaction philosophique qu'en reçoit Tesprit , on peut, au moyen de ces mêmes équations générales, mHtre en évidence certaines propriétés qui appartiennent dune manière absolue à ces systèmes dynamiques, et qui ne sont pas le résultat des investigations indirectes dont nous parlons. Aussi, dans la suite de ce travail, continuerons-nous à nous occuper des systèmes dynamiques, comme si les impossibilités de solution pratique n'existaient pas , sauf à montrer plus tard, dans des chapitres spéciaux, les résultats qu'on est tenu d'emprunter aux assimilations géométriques. Quant aux conséquences qui découlent des équations générales établies ci-dessus, nous en renverrons lexamen après les systèni(»s géométriques, afin de pouvoir rapprocher entre eux les résultats des deux natures de systèmes.

H^ystéaiei» géoaiétrli|ae«.

129. — Soit,commeprécédemment,w^m',ifi",....un certain nombre de points, constitués en système géométrique par des liaisons du genre de celles que nous avons énumérées au n° 121. Soit de même P la résultante des forces extérieures, et 1 la résultante des forces de liaisons qui sollicitent

266 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

le poiul w, cette force I continuant à représenter non- seulement les actions des liens établis entre les points, mais aussi celles qui pourraient provenir de Fassujettissement à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée.

On peut toujours considérer le point m comme entièrement libre et dégagé du système, pourvu qu'on ac^oigne la force I à la force P. Si X, Y, Z et L, M, N sont respectivement les projections de ces deux forces sur les trois axes, les équations générales du mouvement du point m ^ront :

dw

/ON ^ dy dz

De même les équations du point m' seront :

X+L=m -^ , (A') { Y'-HM' = m'^',

dt

(B) v--^, u-^, ^^^Tt'

et ainsi de suite pour chacun des points matériels du système.

Je remarquerai immédiatement que les forces intérieures

MOUV£|i£MT GÉNÉRAL. 267

L, M, N, U, sont des quautitcs connues, si la constitution du système est déterminée ; ou plutôt que le nombre d'inconnues distinctes qu'elles représentent est égal au nombre ({'équations de liaisons du système.

£n effet, supposons que la force I, par exemple, provienne d'une double liaison du point m, savoir : son attache invariable à une tige rigide qui l'unit au point m', et son glissement le long d'un fil lié au point m!'. Soit i' et i" les deux forces qui dérivent de ces deux liaisons, forces qui ne sont pas assignées a priori en fonction des coordonnées, comme dans le cas des systèmes dynamiques , mais qui se développent spontanément en raison des forces extérieures appliquées aux divers points. Dans le cas présent, les intensités seules de ces forces i' et i" sont inconnues, car, pour leurs directions, elles ne sont autres que celles des ligues qui joignent le point m aux points m! et m" ; or, les cosinus des angles de ces lignes sont des fonctions connues des coordonnées, de la forme

expression qui désigne le cosinus de l'angle formé par la force i' avec l'axe des x. Ce sont les mêmes formules qu'on a déjà vues au n" 127; par conséquent, ces directions n'introduisent pas d'autres inconnues que les coordonnées ellesmêmes. Ainsi les quantités L, M, N des équations (A) ne l'eprésentent pour le moment que deux inconnues distinctes, les Intensités de i' et i"^ lesquelles figurent de la manière suivante :

V(x - xy -»- (y - yy + (z — zy , x — x"

268 LIVRE m. — SYSTÈMES MATÉRIELS.

Si donc on conçoit que ces trois quantités L, M, N soient remplacées par leurs valeurs, on introduira dans les équations (A) deux nouvelles inconnues distinctes, i' et i". Tous les autres points du système qui pai*ticipent à ces deux UK^nies liaisons , c'est-à-dire tous les points qui sont dispersés , soit le long de la tige rigide , soit le long du fil , introduiront les deux mêmes inconnues i' et i", sans compter, bien entendu, celles qui correspondent à leurs liaisons avec d'autres points, et que nous négligeons momentanément. J'iii dit que tous les points qui participent aux deux premières liaisons introduiront les fn&meg inconnues i' et i"j parce qu'on sait que l'intensité de la tension sur toute l'étendue du lien est constante , et que toutes les dii*ections sont, comme les précédentes, fonction des coordonnées. Cela posé , si la substitution dont nous parlons est faite dans toutes les équations (A), (A'),.... ou pourra éliminer i' et i" entre ces équations, ce qui en réduira le nombre de deux, bien qu'il y ait encore toutes les coordonnées. Mais le fait des deux liaisons stipposées implique entre ces mêmes coordonnées deux équations a priori ayant pour objet d'exprimer que la longueur totale de la tige et celle du (il sont invariables, et égales respectivement à une certaine quantité donnée. Ces deux équations, réunies à celles

MOUVEMENT GÉNÊRAÎ.. 269

qui proviennent de réiinoination de i' et de f, reproduisent le même nombre d'équations qu'on avait tout d'abord.

Ainsi chaque liaison introduit dans les équations du mouvement une inconnue spéciale distincte, mais en même temps elle fournit une équation correspondante, qui finalement laisse toujours subsister le même nombre d'inconnues que si, dans les équations du mouvement, toutes les forces intérieures étaient directement assignées.

Nous rie parlons pas des forces provenant de l'assujettissement à demeurer sur une surface ou sur une courbe, puisqu'on a vu, dans le diapitre IV du livre précédent, qu'il n'en résulte aucune nouvelle inconnue distincte.

En résumé, on voit qu'on est toujours en possession d'un nombre d'équations suffisant pour trouver les coordonnées de tous les points en fonction des forces extéi'ieures, ou réciproquement pour trouver celles-ci en fonction du mouvement connu des points.

Les mêmes calculs d'élimination qui nous ont permis de ramener le nombre des inconnues à celui des équations fondamentales du mouvement nous fournissent en même temps le moyen, une fois le problème résolu, c'est-à-dire une fois les coordonnées et les forces extérieures connues, de déterminer les valeurs /', t'y des forces de tension des liens.

Il suffira évidemment de substituer à P et à x^ y, 2 leurs valeurs en fonction du temps daiis les équations primitives (A).

Telle est la méthode la plus générale de résoudre théoriquement d'une manière complète les problèmes de mouvement relatifs aux systèmes géométriques.

Î7<* I ITM m, — f»TSTtlRS «ATtUELS.

C^m*efmrMr&* gètirrmtrs.

Suivant ce q«i k ti^ aBBOBcê à la fin d« n* 128, nous allons cmuniner les dîTcrscs conséquences commnnes oo spéciales an\ den natnnrs de sysièfne«L

THCmKÈMES sur L\ gCA^TITé TOT4LE DE HOVVBHE^T.

f ^. — GomidéroBs on certain nombre de points matériels, constîinés en srsième drnamiqne ou géooiélrique. Nous avons TU qu'en représentant par P Tensanble des forces extérieures qui sollicitent le point m, et par I Tensemble des forces intérieures provenant, soit d*actions mutuelles entre les points, soit de liens géométriques, soit enfin de Fassujettissement à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée, nous avons vu, dis-je, qu'on peut regarder le point fin comme parfaitement libre et sollicité par Tensemble des deux forces P et I. Les équations (A) do son mouvement sont, en nous servant des notations précédentes :