X-+-L — "*"3Jï

dl- Nous remplaçons j- par -1-5- , et de même pour les autres termes analogues, afin d'éviter de réécrire perpétuellement les équations relatives à la vitesse t?=-T-, w.=^, w = -^.

Dans nos raisonnements, nous nous servirons indîfférem-

- dv , d^a:

ment de -y- ou de -j-^- suivant la commodité du calcul.

MOUVEMENT GÉxNÉRAr. 271

Pour lo point m', on a pareillement les équations (A') : i ^ -HL =m -^,

et ainsi de suite, pour chacun des autres points du système.

Faisons tout â*abord une remarque capitale.

Les quantités L, M, N, L', M' qui y figurent représentent les sommes algébriques des composantes , suivant

chaque axe, des forces intérieures f , i'\ i'" , relatives à

chaque point. Or, dans l'ensemble du système, c^es forces intérieures, soit qu'elles proviennent d'actions mutuelles, soit qu'elles résultent de liaisons géométriques, peuvent être groupées par couple de deux, égales et directement opposées; par conséquent, leurs composantes suivant le même axe de coordonnées sont, deux à deux, égales et de sens contraires. Les forces dues à l'assujettissement à demeurer sur une courbe ou sur une surface donnée échappent seules à cette dualité. Pour chaque liaison de ce genre, il ne se développe qu'une seule force sur l'unique point qui y est soumis, et les forces provenant des divers assujettissements ne sont pas susceptibles d'être groupées par deux 5 pour qu'il en fût ainsi, il faudrait une circonstance trèsparticulière, savoir ; que les surfaces ou les courbes eussent, deux à deux, leurs normales parallèles, et qu'en outre elles fussent également pressées par les points matériels qui les parcourent respectivement. Il reste donc établi que, dans l'ensemble des équations (A), (A')..... ci-dessus : i" chaque quantité due à une action ou à un lien mutuel correspond à une autre quantité égale et de signe contraire, par rapport au même axe de coordonnées ; 2" que toutes les quantités

Oiier^ )iix ts^i|tHii2m*^fiit*uis iDouifiiefic iiÉft*«sftaireneBt de

Lei;! po^. i|i»utoii^ iiinrinbie l«f*» premiftMres «^natioiis de

Uiuss' Le^î- ^i«iue> ^ • .i L**s temae* L, L dîspa-

niitrviUL i'MÊb^ ie Lutai. puisK^uIis ^ <rompo6est de quantités e^eyiJevL a lieux »m le >ii^it?* <!uacr:iin*s« si le systène esl supposa; libiv. — >U est Jâim|etti. il denearen mn terme repi>r*HfuiuuC la somme ies^ irompo&aiite!^ saii^mt Taxe des jr, de UMites les funres i'aâëujeCtiââeiiieac.

Restons «iau^rhypoiiiese liu sy^^fr^ine IftNre. L*é«|Hflilk>o totale seiu (iuiic, eu cuiiiiuiiuuc a détùi^aer par la BOiatioD 1 la somme «le toutes les «{uaudlês analogues :

Fai^ous Je même pour les ;>eeoudes équtioiks, et aussi de micme pom* les u-oisièmes : ou obiieudru (ieo\ aalres relations de mèuie torme ; si bleu que^ mialemeiic, ou aura le groupe des trois équatloos ci-tiess^oub^ :

Ou tire de là, par une intégration sîniph' :

(t) 1 l *'\dt=rl m (r, ^r J , ir\d[ = lm (il, - n.) ,

ce qui nous montre que la somme des impulsions des coui' pottantes des forces suivant chacun des trois axes est égale à la somme des variations des quantités de mouvement de tous les points, projetées sur les mêmes axes. Or, on sait que la propriété qui a lieu pour chacun des

MOUVEMENT (.ÈiNÉRAL. 273

trois axes, a lieu aussi pour une droite quelconque; en sorte que la relation ci-dessus s'énonce de la manière la plus générale en disant :

Que suivant une direction quelconque, la variation de la quantité totale de mouvement est égale à l'impulsion totale des forces, quel que soit Tintervalle de temps considéré.

Ainsi, la quantité totale de mouvement qu'un système libre, dynamique ou géométrique, peut acquêt ir suivant une direction quelconque, sous Faction des forces qui le sollicitent, est tout à fait indépendante des coordonnées des points d'application de ces forces, aussi bien que des masses des points matériels sur lesquels elles agissent directement. Elle ne dépend pas' non plus des liaisons de ce système, et est exactement la même que si les points étaient isolés les uns des autres, sans aucune solidarité entre eux. On voit aussi que les forces qui donnent, suivant la direction considéi'ée, des composantes égales et de signes contraires sont absolument sans influence sur la quantité de mouvement du système.

Si toutes les forces extérieures sont égales deux à deux et de sens opposés, ou s'il n'y a que des forces intérieures, les termes 2X, 2 Y, 2Z sont séparément nuls, et les relations (1) deviennent :

(2) 1 mv = constante , 1 ruM =conslanle , 2 ma*= constante.

Dans ce cas, la quantité totale de mouvement suivant chacun des trois axes, ou plus généralement, suivant une direction quelconque, ne varie pas avec le temps. — Cette propriété est connue sous le nom de principe de la conservation de la quantité totale de mouvenie?it.

Ainsi, tout système libre, quelles que soient d'ailleurs les

actions intérieures ou les liens géométriques qui existent

entre les points, conserve la même quantité de mouvement,

suivant une direction quelconque, tant qu'aucune force

27^ LIVRE m. — S\STË.y£S MAIÉRIELS.

exterit^iiie iw vient agir sur lui. Chaque point matériel individuel leaient ne i^arde pas la même vitesse: mais à mesure que celle de Fuu d'eux varie d msuu certain sens, celle de quelque autre varie en sons contraire, en proportion inverse des oiasses, de telle sorte qu'il y ait toujours une compensation parfaite, et que la somme algébrique totale demeure la même. Ces variations individtielles, constamment compensatrii^s, s*rffiectuent par llntermédiaire des forces de liaisons, qui agissent comme forces accélératrices sur certaines parties du système et comme forces retardatrices sur d^autres. Si les liaisons du système viennent à être modifiét^s d'une manière qtielconque, la qtiantité totale de mouvement n'en sera pas altérée, parce que les actions intérieures correspondant à ces changements de liaisons seront toujours égales deux à deux et contraires. D'après cela, le système étant, par exemple, rendu tout à coup invariable de forme, au moyeu de liaisons convenables, cette quantité de motivement sera encore la même dans le nouveau corps solide et dans l'ancien système. On peut dire aussi que des forces, capables de ramener le système au repos au bout d*un temps déterminé, fourniront toujours la même somme de composantes suivant une direction quelconque, quelle que soit l'époque du mouvement et l'état du système.

132. — Cela nous montre que, dans tous les phénomènes miM^niques qui se produisent au moyen de forces mutuelles, la quantité totale de mouvement n'est point altérée ; de façon que si elle était nulle à l'origine elle reste nulle parla suite. C'est ainsi, par exemple, que, dans le phénomène du boulet lancé hors du canon, on peut être assuré qu si le canon a toute facilité pour son recul, la quantité totale de mouvement de ce canon et de son boulet demeure exactement nulle, ou que Tun marche en arrière comme l'autre en avant, en laisoii inverse des niasses respectives, parce que le phénomène est du aux actions mutuelles développées par la

combustion de la poudre, lesquelles sont, en vertu de la loi de réaction, égales et opposées. Dans Tensemble des mouvements planétaires, toutes les forces se réduisent à des actions réciproques entre les astres et le soleil et entre les astres eux-mêmes. La quantité totale de mouvement demeure donc invariable, parce qu'il n*y a d'ailleurs aucun point individuellement assujetti à parcourir quelque courbe on quelque surface fixe. Mais allons plus loin encore, et disonsnous que, dans cette partie de Tunivers qu'il nous est donné de connaître, il n'y a en réalité qu'un vaste système dynamique, non-seulement , comme nous l'énoncions (out à l'heure, au point de vue des actions générales qui s'exercent d'asire à astre, mais aussi pour les objets les plus minimes qui nous entourent. Chaque corps, chaque atome n'est qu'un détail de ce tout immense constitué en système dynamique. Il n'y a pas d'action isolée ; chacune a son contrepoids inévitable dans la nature. Les objets que nous faisons mouvoir à l'aide de supports qui nous semblent fixes correspondent à des quantités de mouvement égales et contraires qui s'absorbent dans ces supports, et qui souvent échappent à notre observation, soit à cause de leur grande masse relative, soit parce que leur fixité apparente établit leur solidarité dynamique avec une portion du globe où la vitesse communiquée en raison inverse des masses est nécessairement inappréciable. Mais toujours, quoi que nous fassions, quoi qu'il arrive, soit dans l'étendue des espaces planétaires, soit dans le domaine de notre action directe, ce n'est, après tout, qu'un nombre plus ou moins grand de points matériels, constitués en système dynamique, qui se meuvent en vertu d'actions intérieures y et jamais de forces extérieures. De sorte que la conservation de la quantité totale de mouvement, suivant toute direction, s'y réalise avec la plus rigoureuse exactitude.

C'est là certainement un spectacle bien fait pour fiapper

l*utteiHioii (l*uii esprit philosophique, qae cet univers, où le mouvement, comme la matière, ne se perd jamais; où, comme elle, il se transforme incessamment, disparaissant d*nn côté poui* reparaître de Taulre, et dont le total demeure invariable.

Nous croyons inutile d'ajouter que les propriétés que nous venons de démontrer ne sont que Texpression, sous une autre forme, de la loi fondamentale de réaction. On s'aperçoit, en effet, que nos équations se bovneni à écrire algébriquemefii que, dans la nature, toutes les forces sont deux à deux égales et directement opposées.