DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE VI. i6q
lèle de même sen» et égale à (6A), tg parallèle de même sens et égale à (FG); si le polygone funiculaire est en équilibre, la ligne polygonale aopqrstg devra se fermer d'elle-même, et le point a devra coïncider avec le point g; les tensions (AB), (BC), (CD),... seront alors représentées par les droites ao, ap^ aq^ ar^.... Cette remarque est due à Varîgnon. Rapportons maintenant le polygone à trois axes ox, ay^ oz] soient Xi, Yj, Zi les projections de P sur les axes, Xj, Yj, Z^ les projections de Q,. . .•, soient «i, jSj, y^ les angle6 que AB fait avec les axes, «j, 1^9) ft les angles que BC fait avec les axes, . . . , on aura
/ (BA) cosa, = X, + (CB) ces «j, , V 1 (CB) cos as = Xa 4- ( DC) cos a^ ,
(DC) cos aa = X3 4- (ED) cos a^ ,
On aura deux autres systèmes d'équations analogues, et à ces formules il faudra joindre
IAB cos a, -f- BC cos aa -f- . . . = AG cos (AG, ox) , AB cos p, -4- BC cos pj -h . . . = AG cos (AG, or) , AB cos 7, + BCCOS72-+-. . .= AG cos (AG, oz), (3) cos^ a, -+- cos^ Pi -4- cos' 7, = I , . . . .
Soit H le nombre des sommets du polygone funiculaire, les équations (1) et leurs analogues sont au nombre de 3«, les équations (2) sont au nombre de 3, les équations (3) au nombre de w -H 15 nous avons donc en tout 3«-l-3-|-/^-f-i ou 4'^"l-*4 équations entre Xi, Y,, Zi,. . ., ai,(3i,7i,.. . (BA), (CB),. . ., c'est-à-dire entre 3/1 -f- 3 (7z-hi)-h w-l-i = 'jn-\-4 quantités. On pourra donc se donner les 3n quantités Xt, Yi, Zi, . . . , c'est-àdire P, Q, R, . . . , et Ton pourra calculer les tensions et les directions des côtés du polygone funiculaire 5 on
170 TRAITÉ DE MÉGANIQUE RÀTIOHSELLE.
pourra au contraire se donner la forme du polygone et calculer les forces P, Q, R, . . . à Taide des équations (i); mais ce dernier problème sera indéterminé, parce que Ton pourra choisir arbitrairement une partie des ten* sions.
in. — Problème des ponts suspendus.
155. Dans la théorie des ponts suspendus, il s'agit de déterminer un polygone funiculaîre plan, de telle sorte que les projections horizontales de ses divers éléments soient constantes, et de telle sorte que chacun des sommets supporte une même charge p. Les extrémités du polygone sont à la même hauteur^ la longueur totale du polygone est donnée.
Soient /i, /,, /a,. . ., /„ les longueurs respectives des côtés, «1, a,, . . . , a„ les angles qu'ils font avec une horizontale prise pour axe des jc; soient tj, ^j, . . . ,/„ les tensions des côtés, et x la projection donnée de chaque côlé^ soit enfin L la longueur totale du polygone : on a évidemment
( I ) tx 005 a, ■=! t-i CCS aj •=. ti ces a3= ...=/„ ces a^ ,
^1 sin ai — u sin aj r= t^ sin a^ — r, sin 0.^=^ . . .
= /„, sin «;, — tn sin a„ 1= /?,
( 3 ) /j ces ai = /a COS 0L2 = . . ,=z l„ ces a;, =:r j: ,
(5) /, sin a, -f- /j sin a, 4- ... -h /« sin a„ = o :
en tout in équations et 3 w inconnues Ti, fj,..., /i, /iv» «1, «j,.... Des formules (i) et (2) on lire
ti cos a.1 — fj cos aj in o , . . . ,* ti sin ai — /, sin a, m y^ , . . . ,
