DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE VII, I

les composantes de cette action parallèles aux axes de coordonnées seront

hmùd\dr\dX^ 9 Ampd^dndÇ, 9 /impd^dnd^ ;

par suite, les composantes de l'action totale du corps A sur le point M seront

Ç — X km^d^dnd^

(i) / Y=: \ \ ikm^dld-ndX,''^

Z= I j j Ampd^dndl^ ^^

ces intégrales devant s'étendre à tout le volume du corps A. Si le point m est extérieur à la masse attirante A, on reconnaît immédiatement que X, Y, Z sont finis et sont les dérivées partielles de la fonction

(2) . V= j 1 jkmpd^dnd^^,

dans laquelle on a

u^=z (g - xy-{- (n—yy^ (Ç z)%

et, par suite,

udu = — (Ç — x)dx — (>î — x)<ix — (Ç — z)dz,

La quantité U n'est autre chose que le potentiel dont nous avons parlé tout à l'heure .

Lorsque le point m fait partie de la masse attirante, U, X, Y, Z se présentent sous une forme indéterminée; mais la considération des intégrales singulières montre que U, X, Y, Z ont des valeurs finies et déterminées. Nous

igS TRAITÉ DE MÉCANIQUE RAT lOlflï ELLE.

allons prouver que dans ce cas on a encore

dV dV d\]

A cet effet, autour du point attiré, décrivons'une sphère de rayon a. L'intégrale U pourra être décomposée en deux autres : la première Ui sera prise à l'intérieur de la sphère a, la seconde Uj à l'intérieur du corps A, abstraction faite de la portion occupée par la sphère a. On aura alors

(4) Uzz:U, + U,,

et, par suite^

,^, dV dV, dV,

dx dx dx

Soient Pi et p, les densités maxima et minimadu corps à l'intérieur de la sphère â, / la distance du point x au centre de la sphère, dont nous désignerons les coordonnées par a, j3, y, nous aurons

(6) i di

On a vu, en outre (169) que le potentiel Ui dans le cas d'une sphère homogène était donné par la formule

Dans le cas actuel on aura évidemment

-^■nkm^, (3«2 /2j > U, > 1 7rX/npj(3a'— /^ :,

ou bien^ en désignant par 6 une quantité comprise entre o et I,

U,=:^7rXm[p,+ G(p, — pj)](3«'--/^);