TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE III

li = o, r = a (1 — e) et = &>; ainsi t est l'époque du passage de la planète au périhélie, a> est Tangle que fait OA avec la position de la planète à partir de laquelle on compte l'angle 0; en sorte que si l'on compte les angles à partir de H, co sera Tare ft A; ceci posé, soient

IXx r= a la longitude du nœud il,

<p rinclioaison de Torbite nS ,

PQ = > la latitude de la planète P,

Qx = L sa longitude ,

CT la longitude du périhélie,

P=ô — û)=: AP.

L'observation fait connaître a, cp, a, e, tt, t, et le temps T de la révolution 5 p» porte le nom à^ anomalie vraie de la planète, et u est V anomalie excentrique. Si Ton fait varier 6 — code o à air, avarie deo à arr, et la formule (4) montre

que t — T varie de o à ^tt i / -r- • Donc

La quantité

est ce que Ton appelle le moyen mouv^ement; n[t — z) Vanomalie moyenne.

La formule (4) peut s'écrire

/? (/ — t) = u — esinuj ou

u — n(t — t) — esinu z= o.

Cette équation est une de celles auxquelles on peut appli-

quer la formule de Lagrange; elle donne

u = n{t — TJ -^^sin/ï(/ — t) H Dsîn'/z {t — t) -t-

H 5 . D'-' sin'/î {t — r)'h

Le symbole D* indiquant que Ton doit prendre £ fois la dérivée de la quantité qui suit par rapport à n(t — r), ces dérivées se prendront facilement en développant sin* n (t — t) en une suite de sinus ou de cosinus de multiples de n(t — t)j la formule précédente peut aussi

s'écrire

u = — (t-'c)-h csm — (^~ t) 4- — Dsm»— [t—r) +....

Le calcul des premiers termes de la série donne

« = j- {' — t) + tf sm (/ — t) 4- - sm ^ (/ - T )

-»-3[3sm sm—A^^ J

+ 6 [ 2 sm sm 3-i J 4- . . . .

Lorsque u sera connu, les formules (3) et (5) donneront r et 1^ = 9 — 0). La série précédente est convergente pour toutes les planètes. Laplace a démontré cette proposition pour la première fois dans un des suppléments de sa Méca' nique céleste; mais il n'existe pas, je crois, de démonstration plus simple que celle que j^ai fait connaître dans mon Traité des Résidus, Quoi qu'il en soit, la formule qui précède n'est pas assez convergente pour pouvoir être appliquée avec succès aux planètes dont Texcentricité est un peu forte. Lorsque Ton aura calculé 1^ = 6 — o et r, le triangle sphérîque PfiQ [fig* 35) donnera

cosilQ = cosnPcosPûQ,