TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE III

la projection de cette force sur l'arc des x sera

Mmf X — x^

et, par suite, les équations du mouvement de la planète

seront

d^x Vimf X — jTo

ou bien, en venu de (i) et (2),

^ ' dt^ dt' r^ ^'

Les équations du mouvement du Soleil sont

d^Xo M mf X — Xq

dt'

d^Xo dt'

Umf

ou

en éliminant JToîJKo 9 -^o ^^^^^ (3) et (4)5 on a (5) ^'5 (M + /w)/Ç

Cette équation^ qui est celle du mouvement relatif d'une planète, montre que ce mouvement relatif est le même que celui d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

En effet, en désignant par Ç, yj, Çles coordonnées d'un point par rapport à trois axes fixes, par (M -f- wj^un coefficient constant, et par r la distance de ce point à l'origine, Faction d'un centre d'attraction placé à l'origine pourra être représentée par

268 TRAITÉ DE MÉCANIQUE KATIONIïELLE.

et la projection de cette action sera

les équations du mouvement du point (^, y?, Ç) seront donc bien identiques à (5).

Il résulte de là que Ton pourra appliquer aux planètes dans leur mouvement relatif autour du Soleil les formules du paragraphe précédent, à la condition d'y faire

Ces formules sont

' i-f-ecos(0— w)

(3) rz=a{i — ^costt),

(4) / — T = i/j(w — <?sina),

(5) tang-(0 — w)zrr W__tang-f*.

On donne le nom de problème de Kepler à celui dont le but est de calculer la position d'une planète en fonction du temps.

Rapportons le mouvement de la planète à trois axes de directions fixes passant par le centre du Soleil Oa:, Oy, 0^5 le plan des zy étant celui de récliptique5 soient zj^ yx^ xz les traces de la sphère céleste sur les plans de coordonnées, AS la trace de Torbite de la planète sur la sphère céleste, le point û et le point diamétralement opposé sont les nœuds de la planète. Sôît A le périhélie^ c'est-à-dire le sommet de l'orbite le plus rapproché du Soleil (l'autre sommet est V aphélie).

Si l'on fait t = t, les formules précédentes donnent