TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE III

Le mobile ne sortira évidemment pas du plan des xy. On peut, du reste, s'en assurer par l'analyse, en prenant pour axe des z l'axe perpendiculaire aux axes des x et des j^; en désignant alors par x^j'j z les coordonnées du mobile à l'époque r, et en observant que la seule force qui sollicite le mobile est la pesanteur, les équations du mouvement seront (172)

g désignant l'accélération due à là pesanteur. La seconde équation intégrée donne

les constantes a et b devront être déterminées par les conditions

z=zo pour / = o,

dz

ce qui donne

-— z=o pour ^ = o,

dt ^

a = et ^ = o.

Ainsi z reste nul pendant toute la durée du mouvement, ce qui prouve bien que la trajectoire est plane, ainsi que nous l'avions annoncé.

Les seules équations à considérer sont donc

dt' En intégrant une première fois l'équation (i), Oii a

-r = const.

dt

d74 TRAITÉ DE MÉCANIQUE HATIOI^IfELLE.

Si l'on fait ; = o, le premier membre se réduit à u cosa j on a donc

-— z=zv CCS a.

dt

Si l'on intègre de nouveau et si Ton observe que, pour f = G, a: se réduit à zéro, il vient

(3) X=Z PtCOSOL,

Eu intégrant l'équation (2) et en observant que, pour

dY

t = o, -.-*€st égal à lésina, on a

— - = p sin a — gt.

dt ^

En intégrant cette formule et en déterminant la constante, de telle sorte que Ton aitj)^=. o pour ? = o, on trouve

(4) r == résina — ^-5

(3) et (4) sont les équations finies du mouvement; en éliminant le temps, on aura Téquation de la trajectoire

(5) r z=: xtsiuaa — g •

^ ' -^ b 5 2p»cos'a

Cette équation représente une parabole dont Taxe est vertical; les coordonnées de son sommet, c'est-à-dire du point le plus élevé de la trajectoire, sont

^ p^ . v^ sin'a E z= — sma cosa, yj =

L'élimination de a entre ces deux équations conduit à la relation

Ph-4>î» = 0,

TROISIEME PAUTIE. CHÂPITHE IH. 2^5

qui monlre que les positions les plus élevées que le mobile puisse atteindre pour la même vitesse initiale, sous différents angles de projection, est une ellipse dont l'or-

donnée maxima, >? = — ? correspond à Tanele a = o. On

ig ^

a aussi

- m 2 COlfi^a,

et Ton voit ainsi que le lieu des positions les plus élevées que puisse atteindre le mobile pour un même angle de projection et avec des vitesses initiales variables est une ligne droite.

Le paramètre de la trajectoire est ; les coordonnées du foyer sont donc

5 = — sinacosa, jj = — (sin'a — ces' a); 8 '^S

Félimination de a donne

ainsi le lieu des foyers des trajectoires correspondant à une même vitesse est un cercle.

Toutes les trajectoires correspondant à une même vitesse initiale ont la même directrice : l'ordonnée de cette

directrice est — ; cette quantité est la hauteur à laquelle

parviendrait le mobile, s'il était lancé verticalement de bas en haut.

Cherchons enfin l'enveloppe de toutes les trajectoires correspondant à une vitesse donnée. Pour y parvenir, il faut éliminer a entre l'équation (5) et sa dérivée, ou, ce qui revient au même, éliminer p entre Téquatîon

y = jcp-g—{l -\-p^)

2j6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

et sa dérivée

^x pg^^,

ce qui donne

Cette équation représente une parabole dont Taxe est

vertical, et dont le paramètre est -; celte parabole porte

le nom de parabole de sûreté^ parce que, eu dehors de celte parabole, aucun point ne peut êlre atteint par un projectile partant de Torigine avec une vitesse v. En dedans de la parabole de sûreté, un même point peut êlre atteint de deux manières différentes. En effet, l'équation (5), dans laquelle x eX y sont deux quantités données, est du second degré en tanga. Si Ton pose tanga = p, on a

d'où

y=pj, — g—{l -hp');

p' ziz y/p* — 2 o^gy — g^x^ gx '

pour que Ton ait deux valeurs réelles de p^ il faut que

p* — iP^gX — g^x^ > o,

ou

que

Celte équation exprime que le point [x^j) est à l'intérieur de la parabole de sûreté : pour les points situés sur cette parabole, il n'y a plus qu'un angle admissible.

La portée du jet est l'abscisse du point où le projectile rencontre l'horizontale du point de départ. Cette poitée