DANS UN MILIEU RÉSISTANT
192. Problème I. — Déterminer le mouvement d^un point pesant de masse m^ animé d'une ^vitesse initiale ^', faisant un angle en a\fec V horizon, dans un milieu dont la résistance est proportionnelle à la vitesse,
La trajectoire du mobile étant évidemment plane et verticale, prenons pour axe des y la verticale ascendante du point de départ, et pour axe des x l'horizontale située dans le plan de la trajectoire dirigée du côté du mouvement. Soient x^j les coordonnées du mobile à l'époque t.
Les forces qui sollicitent le mobile sont : 1° son poids mg^ qui est une force verticale, et dont les projections sont o, — mg ; 2*^ la résistance du milieu. Cette résistance, étant proportionnelle à la vitesse, pourra être
représentée par.mA — » k désignant une constante et ds
l'élément de trajectoire : la résistance du milieu se fait suivant la tangente et en sens inverse du mouvement. Les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes sont donc
-^ —5 — -^5 et, par suite, les projections de la résis-
ds dx dx dy
tance du milieu sont — Am-;---ou — hm-r^ et — hm~^\
dt ds dt dt
par suite, les équations du mouvement deviennent, en supprimant le facteur m,
d^x dx
~dF irfT'
df- "■ dt ^'
Ces équations, intégrées entre les limites o et f , donnent
dx
— = — KX -{- t> CCS a,
dt
dy
—- = — ^X ~^ t' sm a — gt,
dt
Ces équations sont linéaires et à coefficients constants-,
leur intégration se fera par les méthodes connues, et l'on
aura
cosa ^ .,
j; :;:::: 1- Xc",
P^sina + g- g
les constantes 'A et B se détermineront en exprimant que a: et y sont nuls pour t = o. On trouve ainsi
pcosa
vh sina -+- fi' ^
d'où Ton tire
('COSa
vk sin a -4- ^ ,
,tf-*/)^^
eu éliminant t^ on a Téquation de la trajectoire
vk ûïioL -k- ff s ^ I kx
r = ; ~ ^ -4- -r- log I
t'A- cosa k^ ^ \ PCOSa^
