TROISIEME PARTIE. CHAPITRE IV. 3 II
IV. Trouver le mouvement d'un point sollicité par m centres fixes proportionnellement à la distance.
N, B, Le mouvement d'un point sollicité par deux centres fixes, en raison inverse du carré de la distance, a occupé successivement Euler {Acad, Berlin^ 1760), Lagrange [Méc, anal,), Jacobi (Crelle, t. XXVn-XXIX) et M. J.-A. Serret [Thèse, 1847).
V. Un point matériel M se meut uniformément sur une droite D (ou sur un cercle C); un second point M' se meut uniformément aussi avec une vitesse égale ou inégale à celle du point M : on suppose la vitesse du point M' constamment dirigée vers le point M.
Trouver : i" la trajectoire du point M'; 2° la forcée qui l'oblige à décrire la trajectoire (la trajectoire porte le nom de courbe de poursuite),
VI. Trouver le mouvement d'un point sollicité par une force perpendiculaire à une droite fixe, et i** proportionnelle à la distance qui sépare le point mobile de la force, a° ou proportionnelle à l'inverse de cette distance.
VII. Étudier le mouvement d'un point assujetti à demeurer sur un cercle fixe et sollicité par un point fixe proportionnellement à la distance.
Vni. Trouver une courbe située dans un plan vertical telle, qu'un mobile placé en M sur cette courbe et abandonné à son propre poids mette le même temps pour parcourir l'arc MN de cette courbe que pour parcourir la corde de cet arc, quelle que soit du reste l'extrémité N de cet arc. (On doit trouver une lemniscate de Bernoulli.)
IX. Un cercle 0' roule sur un cercle extérieurement et engendre une épicycloïde. On suppose un point mobile placé sans vitesse initiale sur cette épicycloïde, et l'on demande de déterminer le temps d'une oscillation efi'ectuée par ce mobile, en le supposant sollicité par une force émanant de 0. On supposera d'abord la force constante; on la supposera ensuite proportionnelle à la distance, enfin proportionnelle à l'inverse du carré de la distance.
N. B, On trouvera un grand nombre de problèmes sur les tautochrones dans le troisième volume des Œuvres de Lagrange , publiées par M. J.-A. Serret (chez Gauthier-Villars).
X. Soient F la forc^ qui produit l'équilibre d'un fil suivant une courbe plane donnée, F' la force nécessaire pour entretenir le mou-
3l3 TRAITÉ DE MÉGAMQUE RATIONNELLE.
vement d'un point matériel sur cette courbe. Si les forces F et F' sont parallèles, on aura
F = XF'sini,
k désignant un coefficient constant, et / l'angle que la tangente à la courbe fait avec la direction de F et de F'. (Paul Serret, Théorie nouvelle géométrique et mécanique des courbes à double courbure»)
XI. Conclure, du théorème précédent, que la chaînette est la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action d'une force proportionnelle à la distance du mobile à un axe fixe.
N, B. On trouvera, dans la Mécanique céleste de Laplace, t. I, deux méthodes différentes de celles que nous avons données pour trouver le mouvement d'un point sollicité par un centre fixe, en raison inverse du carré de la distance.
XII. Un point matériel pesant décrit une courbe verticale telle, que le rapport k de la pression à la force centrifuge soit constant. On démande l'équation différentielle de cette courbe. Intégrer cette équation dans les cas suivants :
A- = 2, G, - et - • 2 2
XIII. Considérons une série de cycloïdes Issues d'un même point A, situées dans le même plan vertical , et ayant leurs bases sur une même horizontale, des points matériels de même masse partent simultanément de A pour décrire chacun une des cycloïdes considérées ; on demande le lieu de leurs positions à l'époque t. Ce lieu porte le nom de courbe synchrone, (Jean Bernoulli , Actes de Leipsicky 1697.)
* XrV. Déterminer le mouvement d'un point lancé sur un cercle qui exerce un frottement proportionnel à la pression et à la vitesse.
XV. Un point mobile décrit sur une sphère une courbe qui coupe tous les méridiens passant par deux pôles fixes sous un angle con^ stant : trouver la force qui sollicite ce point, en supposant le mouvement uniforme.
XVI. Un aimant tourne uniformément autour du milieu de la droite qui joint les pôles et décrit ainsi un plan ; dans le plan de cet aimant se meut une masse de fer de dimensions infiniment petites^ assujetties à rester sur une droite fixe. On propose d'étudier le mouvement de la masse de fer (on supposera l'action de chaque
TEOISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE IV. 3l3
pôle constante, et non pas, comme cela devrait avoir lieu, proportionnelle à l'inverse du carré de la distance) ; on examinera le cas où la trajectoire exerce un frottement proportionnel à la pression. On supposera aussi le frottement proportionnel à la vitesse.
XVII. Trouver l'équation différentielle de la brachystochrone dans un milieu résistant.
XVni. Trouver le mouvement d'un point lancé avec une vitesse donnée dans un milieu dont la résistance croît proportionnellement à la distance à un plan fixe.
XIX. Trouver la brachystochrone dans le cas d'un point sollicité par un centre fixe proportionnellement à la distance.
IV, B, Le mouvement des planètes, dans l'hypothèse d'un milieu résistant, se trouve traité dans la Mécanique de Poisson et de Lagrange.
3l4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
NOTES
St]R LA THÉORIE DES SURFACES.
201. Nous avons employé dans cet Ouvrage, et nous emploierons encore, les équations
(i) x=iacos(fSïn9y y=b^ïn(fSÏnB^ z = c cosB
pour représenter un ellipsoïde*, nous avons dît, mais sans le démontrer, que cp = const. et = const. déterminaient deux séries de courbes, qui en leurs points de croisement étaient tangentes à deux diamètres conjugués de l'indicatrice.
Trois équations telles que
déterminent une surface dont Téqualion en coordonnées ordinaires s'obtient en éliminant .6 et (j)^ 9 et cf, égalés à des constantes, représentent deux séries de courbes que l'on appelle lignes coordonnées. Une relation entre 6 et cp telle que
détermine une courbe tracée sur la surface. En effet, en vertu des formules (2), ô et cp sont fonctions de x^j et Z] donc F = o équivaut à une équation entre x, y et z, c'est-à-dire représente une surface qui, par son intersection avec la surface proposée, fournit une courbe.
Ceci posé, on peut énoncer les deux théorèmes suivants :
NOTES. 3l5
1*^ La condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations
z=i const. , 9 = const.
représentent des lignes conjugués y c'est-à-dire tangentes en leur point de croisement à deux diamètres conjugués de Tindicairice, est
dx
rf9'
dz
dQ
dx d<a
dy
dz d<f
dQd^ dBdtf dQd<f
Si l'on désire, en outre, que les lignes (3) soient lignes de courbure, il faudra, à l'équation (3), joindre la suivante :
dx dx dy dy dz dz
dB df dQ 7ï^ dQ d^~ '
On vérifie sans peine que les valeurs de x^j, z tirées de (i) satisfont à l'équation (4).
2^ La condition nécessaire et suffisante pour que les équations (3) représentent des lignes asymptotiques , c'est-à-dire tangentes en leurs points de croisement à deux asymptotes de l'indicatrice, est que l'on ait identiquement
dx
rf9'
dy
dQ'
dz dQ
dx d(f
dy
dz d(f
dQ'
dQ'
= o, et
dx dQ^
dy dQ'
dz dQ
dx dff
dy dtf
dz d(f
dH
3l6 TRAITÉ DE MÉGÀiriQUE RÀTIONIfELLE.
Ces théorèmes se démontrent de la façon la plus simple en cherchant Téquation générale des lignes conjuguées ou asymptotiques en coordonnées ordinaires, et en écrivant que celle équation est identiquement satisfaite quand on y substitue à la place de a:, y^ z leurs valeurs exprimées en et en (p. Les calculs sont un peu longs, mais n'offrent aucune difficulté. Ces deux théorèmes, que je crois nouveaux, complètent les résultats obtenus par Gauss dans ses Disquisiliones circa superficies curvas. Les ihéorèmes de M. Dupin se démontrent avec une simplicité extrême en partant du premier de nos théorèmes.
