SUR LES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA CINÉMATIQUE
Nous avons vu (29) que le mouvement le plus général d'un solide présentant un point fixe se ramenait à une rotation effectuée autour d'une droite à laquelle on a donné le nom dî^axe instantané»
Supposons que le point fixe se transporte à l'infini \ tous les points du solide vont décrire des lignes planes, et le théorème que nous venons de rappeler va se transformer dans le suivant, facile à démontrer directement :
202. Théorème L — Toutes les fois quune fgure plane se déplace, sans se déformer, dans son plan, son mou\^ement se ramène à une rotation effectuée autour d^un point fixe que Von appelle centre instantané de rotation.
Considérons une figure plane en mouvement dans son plan. Soit AB [fig* 36) une droite liée à la figure, soit A'B' la position occupée par AB lorsque la figure s'est
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déplacée infiniment peu ; sur les milieux de A A' et de BB', élevons des perpendiculaires; ces perpendiculaires PO, QO se couperont en un point O situé à une distance finie
Fig. 36.
ou infinie, et il est bien évident que Ton amènera la figure de l'ancienne position à la nouvelle, en la faisant tourner autour du point O d'un angle égal à A'OA.
Or A' A est l'élément de courbe décrit par un point quelconque de la figure mobile et PO est la normale à cet élément. Donc :
203. Théorème IL — Les normales aux courbes décrites par un point de la figure mobile passent par un point fixe qui est le centre instantané.
Si du point O on mène OH et OH' normales, respectivement, à AB et A'B', on aura OH = OH' et A0A'=H0H^5 par suite, le point H viendra en H' quand AB s'appliquera sur A'B', et pendant le déplacement H décrira un arc de cercle HH' tangent à AB et à A'B', et, par suite, H décrit l'enveloppe de AB, Donc :
204. Théorème III. — Le point où une droite AB de la figure mobile touche son enveloppe est le pied de la perpendiculaire menée du centre instantané sur cette droite.
3l6 TKAIT' ,^/tf«HELLB.
Ces ihéo' ^ y/'^^''''^/;?^ où i4ve courbe liée
en chercb f/'^'*^//. -^ ^ en\^eloppe est le pied de
ou asyin /// f0^'^/î /(^^''^^..assant par le centre instan^
Ât^'"'^^^ 7 f^/ï^'cs instantanés dans le plan,
. z^'^'^' f J^ ^'^" h ûsi^^^ mobile, lieu des points qui
ma ^/W^^ //i?^^ I . ,
y^ ,fhe '^ .vaillent avec les centres instantanés.
*l ^ 'jei^^ fouy^^ qtie le mouvement de la ligure
^'ifM''^'^ , z.n supposant que l'on fasse rouler L'
tf/ ^ /ère qtie tous leurs éléments viennent suc-
^fl //es u"S sur les autres, ou, comme l'on dit,
ces^^^^ rouler U sur L sans glissement. Ainsi :
ryû Théorème V. — Le mouvement le plus général . n û^ure dans son vlan se ramène au roulement g Aissement d'une courbe liée à lajigure mobile sur j^ne courbe fixe.
Ija démonstration de ce théorème est identique à celle jue nous avons donnée pages Sa et 33.
207. Théorème VI. — Réciproquement ^ lorsqu'une courbe \J roule sur une autre L sans glisser^ le centre instantané se trousse au point de contact des deux courbes.
En effet, dans le roulement, le point de contact se déplace d'une quantité infiniment petite du second ordre. Soit M' le point de la courbe U qui vient s'appliquer en M pendant le roulement, O le point de contact actuel des deux courbes^ le déplacement du point M' est mesuré par MO X angle M'OM; si MO est infiniment petit, l'angle M'OM le sera aussi, et MM' sera du second ordre, comme nous l'avions annoncé.
Soii C'OC la normale commune aux deux courbes à
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l'époque ï; soient M'C et MC les normales infiniment voisinesj OC^ r, et CVC'^r' seront les rayons de courbure des courbes L et L' en O. Chercbons le rayon de
Fig. 37.
courbure p de ta courbe fift' décrite par le point fi ; soit fi' la position occupée par fx quand le point M' est venu en M : (i'M sera la normale à fifx' passant en fi'. Mais [*'M. peut être remplacé par (a'M', la distance MM' étant du second ordre. Soit F le point de rencontre de fiO et de/x'M',onaura
Soit dt l'angle de contingence, on a
Or (i^' est l'arc dont a tourné le point [a ; si l'on désigne Ofj: par n et le déplacement angulaire par at, on aura
(2) fLn'=rta.
Or l'angle tù est l'angle dont tourne M'C pour venir se
placer dans le prolongement de CM . On a donc
3 « = C-hC' = - 4--:,
ds désignant la longueur commune des arcs OM, OM'. Si sur M'O et /x'M' on construit le parallélogramme M'fx'Ov, on aura
Soit A le point où Ov rencontre ^^'. On aura, en appelant y Tangle fxOC'= A/x'v que fait la normale à la courbe /tx/ui' avec la normale aux courbes L et U,
[if k z=z ds cosff , ptA = ^pi' — ds cosff.
Or
u.Ok = di = ^^ * n
OU, en vertu de la zormule précédente,
(4) d^ = Pf'-^^'^o^y .
(i), (2), (3) et (4) donnent
/•"•* -h r'-^ — «-' ces y
SI la courbe L' avait éié intérieure à L', on aurait eu
si L avait été intérieure à L', on aurait eu (7) , = ^"<'--'-'
r'—* — r~* -4- «— * ces y Les théorèmes qui précèdent sont d'une grande utîlilé
