EXERCICES SUR LA CINÉMATIQUE

N. B. On trouvera de Dombreux développements sur l'étude du mouvement considéré indépendamment de ses causes : 1*^ dans les Ouvrages de Cinématique de Bour et de M. Resal ; 2'' dans la Thèse de M. Nicolaïdès, officier du Génie de l'armée hellénique ; 3" dans divers Mémoires de MM. Mannheim et Ribaucour.

I. Lorsqu'une figure plane se déplace dans son plan : 1° il existe toujours un point de cette figure dont Taccélératijtfn totale est nulle : ce point s'appelle le centre des accélérations; x le lieu des points dont l'accélération tangentielle est nulle est un cercle ; 3° le lieu des points dont l'accélération normale est nulle ^st un cercle.

TROISIÈME PAIITIE. — CHAPITRE IV. SaS

U. Soit MJ l'accélération d'un point M à l'époque /, M'J' son accélération à l'époque i -hdt, soit R la résultante de ces deux accé-

lérations; -r est ce que M. Somoff appelle V accélération du second

ordre du point M.

Ceci posé, on propose de calculer : i** les composantes parallèles à trois axes rectangulaires de l'accélération du second ordre ; a° la grandeur et la position de la droite qu'il faut composer avec l'accélération relative et l'accélération d'entraînement du second ordre, pour obtenir l'accélération absolue du second ordre.

(SoMOFP, Acad. de Saint-Pétersbourg : Mémoires sur les accélérations des divers ordres,)

m. Considérons un système de points en mouvement, soit l'un d'eux; à l'époque ^ autour du point comme centre décrivons une sphère infiniment petite. Soit A un point de la surface de cette

sphère ; portons sur le rayon OA une longueur OM égale à jrr \ : le lieu des points M ainsi obtenus sera un ellipsoïde.

IV. Vépitrochoïde est la courbe engendrée.par un point invariablement lié à un cercle mobile qui roule sans glisser sur un cercle fixe ; quand ce dernier se réduit à une droite, Vépitrochoïde devient une trochoïde : ceci posé, on demande de construire la normale et le rayon de courbure de l'épitrochoïde par la considération du centre instantané de rotation.

y. Un point M se meut uniformément sur un cercle avec une vitesse a, pendant que le centre du cercle décrit une circonférence d'un mouvement uniforme : prouver que la trajectoire du point M est une épi trochoïde; examiner le cas où l'un des cercles a un rayon infini.

VI. L'ellipse peut être engendrée par un point d'une droite de grandeur constante qui s'appuie sur deux droites rectangulaires. Montrer que le centre instantané décrit un cercle, et que, par suite, toute ellipse est une épitrochoïde ; en déduire un moyen de construire le rayon de courbure de l'ellipse.

VIL Appliquer la méthode de Roberval au tracé de la tangente à l'hyperbole, à la spirale d'Archimède, aux conchoïdes.

Vm. Un angle constant a ses deux côtés tangents à une courbe donnée : mener la normale au lieu de ses sommets.

IX. Une droite de grandeur constante se meut de telle sorte que ses extrémités s'appuient sur deux cercles situés dans le même plan : étudier le mouvement d'un point quelconque de cette droite.

X. Lorsqu'un plan se meut dans l'espace, les plans normaux aux trajectoires de ses points passent tous par un même point du plan, que l'on appelle foyer.

La trajectoire du foyer est perpendiculaire au plan mobile.

Le lieu des points dont les trajectoires sont situées dans le plan mobile est une droite ; cette droite est la caractéristique du plan.

Lorsque plusieurs plans passj3nt par une même droite A , le lieu

de leurs foyers est une droite B. Les plans qui passent par la

droite B ont leurs foyers sur la droite A.

(Chaslbs.)