VIII. — Théorèmes sur les accélérations
13. Théorème I. — Lorsquun mou\^ement est rectiligne ^ r accélération centripète est nulle ^ et^ réciproquement^ si V accélération centripète est constamment nulle, le moux^ement est rectiligne.
En effet, Taccéléralion centripète a pour expression — ;
si elle est nulle, c'est que p est infini: et "vice versa si p
est infini, l'accélération centripète sera nulle, car i^ ne
ds peut être constamment nul ou infini, puisque 1^== —-:
cette remarque suffit pour démontrer le théorème en question.
Corollaire. — Dans le mouvement rectiligne, l'accélération totale se réduit à l'accélération langeniielle et a
d^s pour expression -—• Si de plus le mouvement est uni-
premièhe partie. — chapitre I. 17
formément varié, -r-r devra être constant: car alors —
' dt^ ' dt
est de la forme / [t — fo)^ / désignant une constante. On voit donc que la définition de l'accélération que nous avons donnée quand il a été question du mouvement uniformément varié rentre dans la définition générale.
11. Théorème II. — Dans le mouvement circulaire et uniforme V accélération centripète est constante^ Vaccélération tangentielle est nulle.
Cela résulte des expressions données plus haut pour
n ^ ' , . «'^ dv ^ .
ces accélérations, a savoir: - et --• loi t' et sont con-
' ^ dt '
v^ dv
stants, donc - est constant, -7- est nul. L'accélération
' p ^ dt
totale se confond avec l'accélération normale —
lo. Théorème III. — La projection de V accélération totale d\in point sur un axe ou sur un plan est égale à V accélération totale de la projection de ce point.
Ce théorème peut se démontrer comme il suit, dans le cas où la projection se fait sur un plan.
Fig. 4.
Soient MV et M V {Jig, 4) les projections de la vitesse
dt
yy/
aux époques telt-^dtel VJ = --t— Soient NU et NU'
l8 TRAITÉ DE MÉCAWIQUE UÂTIONMELLE.
les projections de MV et MV, c'est-à-dire les vitesses, du mouvement projeté aux époques t et t -h dt. UU' sera la projection de V V, la projection de J se trouvera alors en K sur UU'. Or on a
VJ VV \\':dt
VK~~vW~^vv:dt'
donc UK = — T~> donc la projection UK de l'accélération totale est l'accélération totale du mouvement projeté.
Si l'on avait projeté sur un axe, la démonstration eût été la même, la figure seule eût changé, car U, U' et N eussent été en ligne droite.
16. Théorème IV. — Si d^ un point de la trajectoire, infiniment voisin du mobile^ on abaisse une perpendiculaire sur la vitesse^ cette perpendiculaire représentera la moitié du produit de ^accélération normale par le carré de Vêlement du temps.
En effet, cette perpendiculaire a, comme on sait, pour
expression
ds^ ds"^ dr I «^2 .
— ou --— — = — at^.
Théorème V. — Si sur la tangente à la trajectoire menée par la position M du mobile à V époque t^ et dans le sens du moui^ement^ on prend une longueur MT égale ài^dty si Von joint V extrémité T de la ligne ainsi menée à In position M' occupée par le mobile à V époque t +■ dt,
la ligne TM' sera égale à - jdt^^ j désignant Vaccélé-
ration totale.
