VII. AcCÉLÉRATlO» DANS UN MOUVEMENT QUELCONQUE
12. Soient MM' (Jfg* 3) la trajectoire d'un point mobile, MV sa vitesse à l'époque f. M' V sa vitesse à l'époque t -f- At. Menons M' Vj égale et de même sens que MV ;
y y joignons V^V: la limite de — ^ — ? lorsque At converge
FREM1ÈB.E PARTIE. CHAPITRE 1. l3
vers zéro, est ce que l'on appelle V accélération totale du mobile à r époque t [*).
A mesure que Ton fait tendre A f vers zéro, le point M^ tend vers M et V,V' tend vers une direction limite que
Fig. 3.
Ton appelle la direction de Taccélération totale. L^accélération totale se représente à Taide d^une^ droite issue de M, ayant pour direction la position limite de Y| V, et pour longueur
lim
Soient x^ y^ z les coordonnées rectangulaires du point M, celles du point V seront
ni* ti"^ d^
.r-f-MV-;-, ^4.MV-5^, z + MV-^, as as as
S désignant l'arc de trajectoire décrit au bout du temps t,
ds Or MV n'est autre chose que la vitesse -^ ; en remplaçant MV par sa valeur, les coordonnées de V deviennent
dx dy dz
dt dt dt
("*) L'accélération totale est en quelque sorte, comme on voit, la dérivée géométrique de la yitesse; je ferai comprendre ma pensée en supposant que le mouvement s'effectue dans un plan, MV et M'V pourront alors représenter deux quantités imaginaires; V^ V représentera alors la différence de ces deux imaginaires, et Ton pourra écrire
Vj V'=<f.MV.
l4 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.
Les coordonnées du point Vi sont égales k celles de Y respectivement augmentées de dx^ dy^ dz\ quant aux coordonnées de V, elles sont égales à celles de V, augmentées de leurs différentielles \ car V est ce que devient V, quand on change t en t-^ dt. Ainsi les coordonnées de V sont
dx dx
dt dt
celles de V, sont
dx
dt
Il en résulte que les projections de VjV sur les axes coordonnés sont respectivement
, dx ^ dy dz d^x , d^r , d^z ,
d —, d -^i d-y ou -j-r^^9 -JT ^y "TT? ^^î dt dt dt dO dt^ dt^
par suite, les projections de l'accélération totale sont
dt'
dt'
dt'
Or on a
,dx
dx ds
.d'x dt dt^ dt
ds dt ds ds dt'
ce que l'on
peut encore écrire,
en désignant
la vitesse
par (^,
d'x dt'
\is['
dx\ ds)'
ou bien
d'x dt' "~
d^x ds'
dx dp ds ds
ou bien encore, en appelant p le rayon de courbure de
PHEMIÈRE PAttTlE. CHAPITRE I. l5
la trajectoire, et ^, /ui, v les angles qu^il fait avec les axes,
d^x cosk ds dx dv dt
dt^ p dt ds dt ds^
c'est-à-dire enfin, en appelant a, (3, y les angles que fait la vitesse avec les axes,
^ d^x cos^ dv
dt^ p dt
On aurait de même
d^y = ^^ cosa dv -ir — ^4- — cosB,
dt^ p dt ^'
d^z COSv dv
z=z v^ H — -- COS7.
dt^ p dt '
Ces trois formules montrent que raccélëration totale est
la résultante de deux droites : l'une — » dont la direction
est celle du rayon de courbure; l'autre -— ou-—? dont
•^ ' dt dt^
la direction est celle de la tangente à la trajectoire. La première de ces droites porte le nom d^ accélération cen^ tripète ou noi^nale; l'autre est ce que Ton appelle l'accélération tangentielle.
Ces résultats peuvent être établis par la Géométrie^ pour cela , il suffit de mener Vj P perpendiculaire à M^V, Yi P est une normale située dans le plan osculateur, car le plan ViM'V passe par une tangente parallèlement à la tangente infiniment voisine.
V V ViV est la résultante de VjP et de PV : donc -^
dt.
sera la résultante de — 7— et de — r-; or, en appelant e
dt dt ^ ^ ^^
Tangle que fait M'V avec MV,
--.« , s ^ds
V, P = M' V, ^g=zvî = vds --- z= ;
ds p '
l6 TRAITÉ DE MÉCANIQVE RATIONNELLE
donc
V,P u ds v^
dt p de p*
donc la limite —^ est V accélération centripète déjà trouvée tout à Theure. On a ensuite
PV'= M'V— M'V, cos« = M'V— W\\=zdo; ^
donc
PV rfp ^j
fl^/ dt dt^ '
et Ton reconnaît ainsi que Faccélération totale est la ré-
c' di^
sultante des droites - et — » portées l'une dans le sens du rayon de courbure, Tautre dans le sens de la tangente.
