DEUXIEME PARTIE. CHAPITRE III. gg

résulianle est la même que celle des forces proposées 5 mais il est remarquable que son point d'application soit indépendant de la direction des composantes, et ne dépende que de leurs grandeurs relatives. En sorte que les composantes venant à tourner de manière à rester parallèles en Ire elles, et en conservant des intensités proportionnelles, la résultante passe par un point fixe, que Ton appelle centre des forces parallèles.

Remarque IL — La résultante est unique, c'est-à-dire que Ton arrive toujours au même résultat, quel que soit Tordre dans lequel s'efTectue la composition; il est facile de voir en effet que deux forces F, F' qui ne sont pas appliquées suivant la même droite ne peuvent pas être équivalentes. En effet, si F et F' étaient équivalentes, F ferait équilibre à une force P égale et directement opposée à F', ce qui est impossible en vertu de notre principe fondamental (p* 91)*

84. Remarque IIL — Dans la démonstration du théorème II, nous avons écarté le cas où les forces F et F' seraient égales; effectivement la démonstration ne s*applique plus à ce cas, et si on le considère comme un cas limite dû cas général, on arrive à ce résultat illusoire, qu'il existe une résultante nulle située à Tinfini.

Il est facile de voir que :

85. Théorème III. — Deux forces égales parallèles et de sens contraire^ appliquées à un solide^ n^ont pas de résultante.

Première démonstration. — Si Ton admet que la composition des forces soit indépendante de la forme du solide auquel ces forces sont appliquées, ce qui n'est pas évident , il est facile de démontrer le théorème précédent. En efiPet, si les forces AF et A'F (yî'g. 25) égales, parallèles et de sens contraire avaient une résultante R,

lOO TRJLITÉ DE MÉCANIQUE RATIONKELLE.

elles en auraient forcément une seconde R'; pour s'en assurer, il suffit de faire tourner le système AF, A'F' autour du milieu de A A'

et dans son plan, de manière à faire coïncider F avec F', et F' avec F, R prend alors la position R' et serait la seconde résultante. Ceci n'est pas possible, car R et R' ne peuvent être équivalentes, n'étant pas appliquées suivant la même droite. On pourrait objecter à ce raisonnement que la résultante R pourrait passer par le milieu de A A' perpendiculairement à A A' et au plan FA A' F'; mais on peut admettre que, par raison de symétrie, la force résultante pourrait être choisie en sens inverse de R , et l'on tombe encore sur deux résultantes qui ne sauraient être équivalentes.

On voit combien le raisonnement qui précède est vicieux, puisqu'il est fondé sur un nouveau principe. La marche que nous avons suivie dans l'étude de la Mécanique nous permet de démontrer le théorème précédent avec la plus grande facilité et sans principe nouveau. En effet :

Deuxième démonstration. — Si les forces F et F' avaient une résultante R, elles feraient équilibre à une force P égale et directement opposée à R. Les forces F, F', P se faisant équilibre, la somme de leurs projections sur un axe quelconque devrait être nulle (p. 91); mais la projection de F et celle de F' ont une somme nulle : donc la projection de P devrait être nulle ; donc P et par suite R seraient nuls. Ainsi les forces F et F' n'ont pas de résultante ; on sait du reste qu'e.les ne peuvent pas se faire équilibre.

L'ensemble de deux forces égales parallèles et de sens contraire forment ce que l'on appelle un couple» La plus courte distance des deux forces porte le nom de bras de levier du couple.