IV. — De l'équivalence des couples

86. On appelle moment d'un couple la somme des moments des forces de ce couple, pris par rapport à un axe perpendiculaire au plan du couple et passant par le milieu du bras de levier.

En d'autres termes, le moment d'un couple est le produit du bras de levier de ce couple par Tune des forces du couple.

87. Théorème I. — Leffet d'^un couple ne change pas lorsquon le transporte parallèlement à hn-méme.

En effet, transportons le couple AFA'F' (fg^ 26),

Fig. a6.

parallèlement à lui-même, en BGB'G'-, on B et en B' appliquons deux forces BH et B'H' égalas respectivement à BG etB'G', mais de sens contraire, les couples BGB'G' et BHB'H' se font équilibre, en sorte que leur introduction ne modifie pas l'état du système auquel AFA'F' est appliqué. Or les forces AF et IVH' se composent en une force unique égale à 2AF et appliquée au milieu de AB' (p. 96), c'est-à-dire au centre O du parallélogramme ABA'B'^ de même A'F'et BH se composent en une force unique égale aussi à aAF et appliquée en O, Mais cette résultante aAF est de sens contraire à celle que nous avons trouvée tout à l'heure. Donc les forces AF,

lOa THAÏ TÉ DE MÉCAVIQCE RÀTIOHICBLLE.

A'F', BH, B'H' se déiraîsent mutuellement; il ne reste plus alors que les forces BG, B'G', équivalentes par conséquent à AF et à A'F'. c. q. f, d.

88. Théorème II. — L^ effet d^nn couple nest pas changé quand on le transporte d^une manière queU conque dans son plan ou dans un plan parallèle.

Pour démontrer ce théorème, nous allons d'abord considérer le couple AFA'F' (^g. 27), nous le ferons

Fig. 27.

A Fv

tourner autour du milieu de son bras de levier, de manière à l'amener dans la position BGB'G', sans toutefois lui faire quitter son plan primitif. Si nous appliquons en B et en B'deux forces BH et B'H' égales à BG et B'G', mais de sens contraire, l'introduction des forces BG, B'G', BH, B'H' ne modifiera pas l'effet du couple AF A'F'. Or AF et BH peuvent se composer en une force unique parla règle du parallélogramme: de même B'H' et A'F' se composeront en une force unique; les deux résultantes auxquelles on parvient ainsi sont évidemment de sens contraire et passent toutes deux par le point O : elles se détruisent donc; il ne reste plus alors que le couple BGB'G' équivalent par suite à AK A'F'.

Mais TetTet du couple BGB'G' ne sera pas altéré si on le transporte parallèlement à lui-même. Ceci revient à

BEUXiÈME PARTIE. — CHAPITRE III. lOÎ

dire que l'effet de AF A'F' n'est pas modifié quand on fait tourner ce couple et qu'on le transporte ensuite parallèlement à lui-même, ou bien encore : l'effet d'un couple n'est pas changé quand on le transporte d'une manière quelconque dans son plan ou dans un plan parallèle.

89. Théorème III. — Deux couples dont les plans sont parallèles et dont les moments sont égaux forment deux systèmes de forces équwalentes.

En effet, on peut supposer que les deux couples aient leurs forces parallèles, leurs bras de levier en ligne droite et un point d'application commun A {Jîg* 28); car on

Fig. 38.

HV

peut toujours déplacer l'un des couples, de manière à lui faire occuper, par rapport à l'autre, la position dont nous venons de parler, sans que son effet soit changé. Soient alors AF A'F' et BG A 'G' les deux couples en question-, appliquons en B et en A' deux forces BH et A'H' égales et directement opposées à BG et à A'G', l'effet du couple BGA'G' sera détruit, en sorte que le système AFA'F' est équivalent au système BGA'G', BH A'H', AFAT'.

Mais les forces A' H' et AF se composent en une seule égale à leur somme S, appliquée en un point O tel que