DEUXIÈME PARTIE. CHAPITRE III. II

On peut aussi traiter cette question en introduisant ce que Ton appelle les réactions de l'axe; en effet, la fixité de l'axe sera assurée si l'on fixe deux de ses points pris à volonté. Soient X, Y, Z et X', Y', Z' les composantes des réactions de ces points, xetXi leurs abscisses. Les équations de l'équilibre deviennent

PH-XH-X'=o, Q4-Y-hY'=o, R-hZ + Z'=o, U = o, V— Z.r— Z'ar'=o, W-4-Y^-hYV=o;

la seule condition d'équilibre estU = o, les cinq autres équations font connaître X •+- X', Y, Y', Z et Z'.

Les équations précédentes ne permettent pas de calculer X et X', et si au lieu de fixer deux points de l'axe on en avait fixé trois, on aurait encore eu cinq équations seulement pour déterminer les neuf composantes des réactions des points fixés. Les réactions des appuis sont-elles réellement indéterminées?

On peut répondre affirmativement à cette question en faisant observer qu'il y a une infinité de manières de choisir X et X', de manière à satisfaire aux équations de l'équilibre; Findétermination tient à ce que la réaction des points fixes dépend de la distribution des forces à l'intérieur du corps. On peut transporter une force en un point quelconque de sa direction, sans altérer les conditions d'équilibre 5 mais on altère ainsi les forces intérieures dont les réactions des appuis vont dépendre. Ainsi, pour déterminer les quantités X, X', il faudrait connaître le mode de distribution des forces intérieures; or les corps solides, avons-nous dit, n'existent pas, sont des êtres de raison. L'expérience seule peut nous faire connaître la distribution et la valeur des forces intérieures dans un corps ; X et X' doivent donc rester indéterminés.

Lorsque Ton considère un solide naturel, c'est-à-dire

Jl8 TRAITÉ DE MÉCAWIQUE RATIONNELLE.

un corps élastique, on peut le supposeï: rigidifiéj si nous pouvons nous exprimer ainsi et lui appliquer les six équations de l'équilibre (p, 111)5 mais le solide naturel différant du solide ngide de la Mécanique rationnelle, d^autres conditions seront nécessaires pour assurer son équilibre : ces conditions permettront alors de calculer X et X'.

109. Sixième cas. — Le corps possède un nombre déterminé de points dans un plan fixe, — Prenons le plan fixe pour plan des xj^ si le corps n'a qu'un seul point dans le plan 5 on peut prendre ce point pour origine. Eu désignant par Z la réaction normale du plan^ on aura

P + Z = o, Q = o, R=io, U=ro, Vr=o, W = o.

La première équation fait connaître Z, les cinq autres sont celles de l'équilibre. Si Ton avait deux points du corps dans le plan, les équations générales de l'équilibre seraient, en désignant par Z et Z' les réactions de ces points, par x^ y et x', y' les coordonnées des points en . contact avec le plan,

P-4-Zh-Z'=o, Q==o, R = o, UH-Zjr-4-Z'j' = o, V— Zx — Z'y = o, W=o.

On peut, si Ton veut, prendre y = o, j^' = o, x' = o, et alors les équations d'équilibre se réduisent à quatre

et les deux autres équations font connaître Z et Z'. Si le corps avait trois points dans le plan fixe, on aurait toujours pour conditions de l'équilibre Q = o, R = o> W=o; les trois équations restantes serviraient à cal-