Troisième cas. — Les forces sont parallèles à

une même droite (ou perpendiculaires à un même plan),

— Ce cas est remarquable, parce qu'il se rencontre dans

Tétude de la pesanteur. En prenant la droite pour axe

des x^ les équations Q = o, R = o, U = o sont satisfaites

d'elles-mêmes. Les équations de l'équilibre se réduisent

alors à

P = o, V = o, Yf—o.

La condition P = o exprime que les forces ont une résultante nulle; V = o, W= o expriment que ces forces ne se réduisent pas à un couple ; car si les forces se réduisaient à un couple, l'axe de ce couple serait perpendiculaire à l'axe des x^ et il suffit alors d'exprimer que les projections ¥ = 0, W = o sur l'axe des y et sur l'axe des z sont nulles.

107. Quatrième cas. — Il existe un point fixe dans le système. — Si Ton veut, on peut faire abstraction de la fixité du point en question; mais alors on devra remplacer cette condition de fixité, qui constitue une liaison, par une force appliquée au point fixe, et que l'on appelle la réaction du point fixe. Faisons passer les trois axes de coordonnées par le point fixe, et désignons par X, Y, Z les composantes de la réaction de ce point; nous devrons introduire les quantités X, Y, Z dans les équations de l'équilibre, qui deviendront

P4-X=:o, Qh-Y=o, R-hZ=:o,

U=:0, V=:0, Wz=0;

Il6 TRAITÉ DE MÉCANIQUE RATIONNELLE.

les trois premières font connaître X, Y, Z, les trois dernières sont seules les équations de l'équilibre. On aurait pu arriver immédiatement à cette conclusion, en observant que les seuls déplacements compatibles avec les liaisons se réduisent à des rotations eilectuées autour d'un axe passant par le point fixe, rotations qui se ramènent, comme on le sait, à trois ; le théorème du travail virtuel fournissait alors immédiatement les formules U = o,V=o,W=o(p. 79).

On peut encore traiter la question d'une autre manière, réduire toutes les forces à une force unique passant parle point fixe et à un couple. La force unique est détruite par la résistance du point fixe, elle est donc égale et directement opposée à cette résistance 5 quant au couple, il faut et il suffit qu'il se réduise à zéro pour que l'équilibre soit assuré, ce que l'on exprime en écrivant

108. Cinquième cas. — // existe un axe fixe dans le corps, — En prenant cet axe pour axe des or, on pourra ramener le système des forces à une force unique passant par l'origine et à trois couples situés dans les plans coordonnés 5 la force unique sera détruite par la fixité de l'axe, les couples situés dans les plans des xz et des xy sont également détruits par la fixité de l'axe; pour qu'il y ait équilibre, il faut et il suffit que le couple situé dans le plan Aes jz soit nul, ou que l'on ait

ce sera la seule équation d'équilibre. Si le corps pouvait glisser le long de l'axe, il faudrait encore exprimer que la composante P qui sollicite le corps le long de l'axe est nuUe^ et l'on aurait en outre