I. — Détermination du centre des forces paballèles
HO. Nous avons vu plus haut (p. 99) que la résultante d'un système de forces parallèles passait par un point fixe indépendant de la direction de ces forces , et que l'on appelle centre des forces parallèles. Voici comment on peut déterminer ce centre.
Soient F une force quelconque du système, R la résultante, a, j3, y les angles que font F et R avec trois axes rectangulaires \ écrivons que le moment de R par rapport à chaque axe est égal à la somme des moments de ses composantes, nous aurons, en désignant par Ç^ yî, Ç les coordonnées du point d'application de R et par x, j^ z les coordonnées du point d'application de F,
R (>ïC0S7 — Çcosp) =2 F (7COS7 — 3C0sp), R(Çcosa — Ç COS7) =z 2F (zcosa — jtcosy), R(Çcosp — yjcosa) =:2E(j:cosp — jcosa).
Ces trois équations se réduisent à deux, qui représentent le lieu des points d'application de R, c'est-à-dire les équations mêmes de R. En effet, on peut les écrire ainsi
CCS a cosp COS7
DEUXIEME PA.KTIE. CHIPITHE IV. 121
et Ton voit que la résultante passe par le point dont les coordonnées sont
^=kl"=W
Le point (^, y), Ç) est, comme Ton voit, indépendant de la direction des forces F 5 il ne dépend que de leurs points d'application et de leurs grandeurs relatives. Ce point est précisément le centre des forces parallèles du système.
m. On appelle moment d'une force par rapport à un plan le produit de cette force par la distance, du point d'application au plan. F a: représente le moment de la force F par rapport au plan des yz 5 R ^ désigne le moment de la force R par rapport au même plan, et, comme Ton déduit des formules précédentes,
on voit que Ton peut énoncer le théorème suivant :
Théorème. — Le moment de la résultante d*un sjrS' tème de forces parallèles par rapport à un plan est égal à la somme des moments de ses composantes, la résultante étant censée appliquée au centre des forces,
U. DéFIDriTION DU CENTRE DE GRAVITÉ d'uW CORPS.
H2. La pesanteur est la cause qui met en mouvement les corps qui tombent à la surface de la terre. Nous admettrons , pour expliquer les elfets de la pesanteur, que tous les corps soient composés de particules trèspetites ou atomes^ chacun de ces, atomes renfermera un
122, TRAITÉ DE MÉGAIVIQUE RATIOJSnELLE.
point matériel auquel se trouve appliquée une force que. Ton appelle le poids de cet atome; la direction de la force qui sollicite chaque atome est constante, on lui donne le nom de verticale, .
Le centre de gravité d'un corps est le centre des forces parallèles ou poids qui sollicitent les atomes qui le composent, ce corps étant censé solidifié. Si l'on désigne par m la masse du point matériel auquel le poids d'un atome quelconque est appliqué, m. pourra s'appeler la niasse de l'atome. La masse d'un corps quelconque est la somme des masses des atomes qui le composent*, son poids est la somme des poids de ses atomes.
Ceci posé, désignons par m la masse, et par mg le poids d'un atome pris à Pintérieur d'un corps de masse M ; g' est un nombre que nous supposerons le même pour tous les atomes; désignons par x^ y^ z les coordonnées de l'atome m, et par ^, yj, Ç les coordonnées du centre de gravité du corps M. Les formules établies au paragraphe précédent, pour trouver le centre d'un système de forces parallèles, donneront
2mgx
mg
ou bien
ou MÇ = 2/wj:,
(0 {n = -^ Mvi = lmy,
Voici maintenant comment on pourra, avec une exactitude suffisante pour nos besoins , déterminer le centre de gravité d'un corps naturel.
La densité d'un corps en un point déterminé est le
