XL -H YM -^ ZN

pour l'existence d'une résultante n'est suffisante que si X, Y, Z ne sont pas nuls; car dans le cas contraire, des six quantités X, Y, Z, L, M, N, il resterait les trois couples qui seraient réductibles à un couple

j/L* -♦- m* -4- N*. 11 est visible d'ailleurs qu'alors

XL H- YM -H ZN

S ou

|/X*-+. Y«-4- Z« j/iÂ^M« -*- N*

qui doit être nul pour qu'il y ait une résultante, prend la forme •- •

S'il y a une résultante, X, Y, Z sont ses composantes; or on a vu (milieu du N° 55) que les premiers membres des trois équations de la résultante sont ses moments par rapport aux trois axes, et que les seconds membres L, M, N sont les sommes des moments des composantes par rapport aux mêmes axes ; ces équations apprennent donc que lorsqu'un système de forces dirigées d'une manière quelconque dans l'espace a une résultante unique, le moment de cette résultante par rapport à l'un des trois axes et par conséquent par rapport à une droite quelconque est égal à la somme des moments des composantes.

56. Autres théorèmes sur les moments. Axe du plus grand moment passant par un point. Axe du plus petit moment absolu. — Connaissant les moments /, m, n d'une force P par rapport à trois axes rectangulaires, on peut trouver le moment u de la même force par rapport k une droite quelconque passant par Torigine et faisant avec eux des angles (a, b, c) ; car si (x, y, z), (a, (3, y) fixent le point d'application de P et sa direction^ on sait que Ton a (N** 53)

l=P (y cosy — z cos P)

tn s= P (z cos a — x cos y)

n =3 P (x cos (3 — y cos a).

I)*un autre côté^ on démontre en analyse géométrique (analyse appliquée à la géométrie par Leroy, N° 64) que la plus courte distance de la force à la droite mentionnée plus haut est représentée par

^ {y cos y— z cos (3) cos a-^-iz cos a — x cos y) cos 5 -h (x cos (3— y cos a) cos c

sin 6

0 étant l'angle de la droite et de la force. Le moment de la force par rapport à la droite, c'est-à-dire Pd sin 6, est donc donné par

u =P (y cos y — z cos j3) cos a -*- P (z cos a — x cos y) cos 6

-h P (x cos (3 — y cos a) cos c ,

ce qui revient à

ti = ; cos a + m cos 6 + n cos c.

Cette équation fait connaître la loi suivant laquelle varie le moment de la force P par rapport à la droite, lorsqu'on fait varier les angles (a, b, c). Si l'on demande la direction de la droite pour laquelle ce moment est un maximum, il faudra considérer u comme fonction des deux variables indépendantes a et 6, après qu'on aura éliminé c au moyen de l'équation

cos'o -*- cos'6 H- cos*c = 1 .

On trouve ainsi pour le maximum de u,

cosa== — > cos 6= — 9 cosc= — -,

11 suit de là que si Ton désigne par {l,min)j [l\m\n')j {l"...) les moments par rapport aux. trois axes, des forces P, F, P".... d'un système, et par u, u', v!\... leurs moments par rapport à une droite passant par Torigine, on aura

u es / cos a -^ tn 008 6 -t- n cos c

u' = t cos a + m' cos 5 -♦- n' cos c, w"= etc.

et par conséquent pour la somme U des moments des forces du système par rapport à cette droite, (L, M et N) étant les sommes des moments par rapport aux axes,

U =i L cos a -♦- M cos 6 -♦- N cos c.

On trouvera comme plus haut les valeurs de (a, 6, c) qui rendent U maximum. Ces valeurs sont

cosa= — y cos 5 = etc. U = |/l*-^ M*-*-N*.

Il est à remarquer que si Ton réduit toutes les forces du système à une force unique passant par Torigine et à un couple (N"" 35), les inclinaisons du couple sur les plans coordonnés se confondent avec les inclinaisons sur les trois axes, de la droite de la plus grande somme de moments et que cette somme est égale au moment du couple. Il suit de là que cette droite est perpendiculaire au plan du couple et que par conséquent pour fixer Taxe qui représente la droite de la plus grande somme de moments passant par un point donné, il suffit de remplacer toutes les forces par un couple et par une force passant par le point donné et d'abaisser une perpendiculaire sur le plan du couple. En second lieu si dans l'expression de U on remplace cos a, cos 6,

cos c par > etc., c'est-à-dire si l'on prend pour axe

des moments la force unique passant par l'origine, il vient

,, LX -*- MY -*- NZ

|/x«Ty«Tz«

on voit par là que la somme des moments des forces par rapport à fune des forces uniques auxquelles le système est réductible est égale au moment du couple principal. Comme celui-ci est indépendant de la direction des axes coordonnés, sa valeur doit être invariable, bien

q6e les quantités (X, Y, Z], (L, M, N) qui y entrent changent de grandeur avee la position des axes coordonnés. La somme des moments des forces d'un système par rapport à l'une des forces uniques auxquelles le système est réductible est donc invariable. On sait que toutes ces forces sont parallèles entre elles. Comme les valeurs de (L, M, N) changent avec la position de Tori-

ginCy le moment minimum ou maximum |/L* -+- M* -4- N* change aussi avec la position de l'origine par laquelle Taxe des moments doit passer. Proposons-nous de trouver le point de l'espace où doit se trouver Torigine pour que ce moment maximum soit le plus grand ou le plus petit possible, ce qui fera connaître Taxe du plus grand moment absolu. Si l'on transporte les axes coordonnés parallèlement k euxmêmes en un point ayant pour coordonnées (x,, y,, z,), les couples (L, M, N), relatifs à la première origine, deviendront (L^ M', N') ayant pour valeurs (N*» 34)

V= L -♦- Yz,— Zy„ M'= M H- Zx,— Xz„ N'= N -+- Xy,— Yx,.

La question se réduit donc k trouver les valeurs de (^m Vm ^^V^^î ^^^^

dent maximum ou minimum la quantité yV* -+■ M'* -♦- N'*. La théorie des maxlma ou minima conduit aux équations de condition

(L -4- Yz,— Zy,) Y — (M -4- Zx, - Xz,) X = 0, (N + Xy, - Yx,) X - (L + Yz,-Zy,) Z = 0, (M ^ Zx, — Xz,) Z — (N -4- Xy,— Yx,) Y = 0,

qui, en éliminant de chaque équation une des trois coordonnées, deviennent

. ^ XL -4- YM -+. ZN Zy,— Yz,= L — X yt^Y^-i-Z» ' ^^^'' ®'^'

Ces trois équations sont les mêmes que celles que nous avons trouvées au N"* 54. L'une d'elles est comprise dans les deux autres; la position de la nouvelle origine n'est donc pas déterminée par ces équations qui représentent une droite renfermant tous les points par lesquels passe Taxe qui donne un maximum ou un minimum absolu; elles sont donc les équations de l'axe lui-même qui se confond ainsi avec la force unique principale du N" 34. La valeur du moment devient alors

LX ^ MY -4- NZ

Le calcul différentiel apprend que celte valeur répond h un minimum. Ce moment minimum se confond avec le couple principal du N" 54.

57. Propriété d'un système composé d'une force unique et d'un couple ou de deux forces non renfermées dans le même plan. — Gomme la force et le couple perpendiculaire qu'on substitue à un système de

. , LX-^ MY 4- NZ /zrz — ■-- — -

forces sont uniques, les quantités — et j/X* h- y* -+- Z*

sont invariables pour un même système, quelle que soit la direction des axes coordonnés; le produit LX + MY + NZ est donc aussi invariable pour toute direction des axes, bien que X, Y, Z, L, M et N changent de valeurs. Il suit de là que, de quelque manière que Ton transforme un système de forces en un couple W et une force unique R, le produit du moment du couple par la projection de la force sur Taxe

du couple est une quantité invariable; car |/X* -t- Y* -+- Z* sin $ est

cette projection, (/L*-hM*-+-N* est le moment du couple, et il résulte de la valeur de sin S trouvée au commencement du N" 54, que Ton a

j/L* h- m* -f- N* i/X* + Y« -4- Z* sin (î = XL + YM + ZN

dont le second membre est invariable comme on vient de le voir.

On conclut aussi de là que tous les systèmes de deux forces auxquels est réductible un système donné (N° 52, 4"*) forment les arêtes opposées de tétraèdres équivalents; en effet il résulte de la propriété qu'on vient de démontrer que si AD (fig. 50) est la force unique et ABC le couple triangulaire auxquels le système est réductible, en construisant le tétraèdre DABC, son volume sera constant , puisque la projection de la force AD sur Taxe du couple n'est autre chose que la hauteur Do du tétraèdre et que le produit invariable de l'aire ABC par la projection Do représente le triple du volume. Or, si l'on détermine d'une part In résultante AF ou R de AD et de CA == AE = P" et d'autre part, celle de BC et de AB = BG = P, c'est-à-dire BH ou R', tout le système se trouvera réduit aux deux forces AF et BH, et il est visible que si l'on construit le tétraèdre ayant ces droites pour arêtes opposées, son volume sera le même que celui de DABC, puisqu'il aura pour base le triangle AHB équivalent à ACB comme ayant même base AB et des hauteurs égales et qu'il aura pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point F sur le plan ABC, perpendiculaire qui est égale à celle qui est abaissée du point D, puisque DF parallèle à A£ Test aussi au plan ABC.

On démontre encore très facilement le théorème suivant : un

KO CBAPITRE IV.

système de deux forces peut être remplacé par une force unique et un système triangulaire^ la force étant représentée par le double de la droite qui joint les milieux des distances des deux points d^ application et des deux extrémités de ces forces et le système triangulaire étant représenté par la moitié du triangle formé par deux parallèles à ces deux distances menées par un même point.

58. Composition de forces renfermées dans un même plan. — Lorsque toutes les forces sont renfermées dans un même plan , en prenant celui-ci pour plan des (X, Y), les angles (y, /, /') seront

droits, les coordonnées (z, z^^ zf^) seront nulles, les angles a et |3,

a' et (3^, a'^ et (3".... seront complémentaires deux à deux, et les valeurs de (X, Y, Z), {L, M, N) deviendront

X = Pcos a -♦- P'cos a' etc. , Y == Psin a -*- P'sin af -4- etc.

N = P (x sin a — y cos a) 4- P'(a/ sin a' — y cos </) -*- etc.

Le couple N, qui est la somme des moments des forces par rapport à Taxe des Z, représente visiblement ici la somme des moments des forces par rapport à l'origine des coordonnées. La condition pour qu'il y ait une résultante, savoir :