LX -4- MY -*- NZ

est satisfaite par ces valeurs de Z, L et M; il y a donc une résultante, pourvu que X et Y ne soient pas nuls (N"" 55), et l'équation de cette résultante est de la forme (commencement du N"" 55)

59. Conditions d'équilibre d'un système de forces. — Pour qu'il y ait équilibre dans un système de forme invariable, il faut et il suffît que la force unique et le couple soient nuls séparément (fin du N'' 52); il faut donc et il suffit que l'on ait

X« -^ Y« -4- Z« = 0 , L« -^ M« -^ N* == 0 , <^^ ^ui ne peut avoir lieu à moins que l'on n'ait les six équations

P ^^ojs premières expriment que les sommes des composantes des

^^^ suivant trois axes rectangulaires sont nulles, et les trois dernières

que les sommes des moments des forces par rapport à ces axes sont aussi nulles. Il résulte aussi visiblement du théorème énoncé à la fin du N"* 55, qu'une des conditions d'équilibre du système de forces est que le centre des moyennes dislances des points d'application des forces et le centre de leurs extrémités se confondent.

Quand toutes les forces sont renfermées dans le plan des (X^ Y), comme Z, L, M sont nuls d'eux-mêmes, il suffît pour s'assurer de l'équilibre de vérifier les trois équations de condition

c'est-à-dire que les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un système de forces renfermées dans un même plan soit en équilibre, sont l"* que la somme des composantes suivant deux axes rectangulaires soit nulle , et â° que la somme des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan soit nulle.

Composantes d'une forée appliquée à un point qui ne peut que glisser sur une surface. — Equilibre d*un point matériel sur une surface. — Composantes d*une force appliquée à un point qui ne peut que glisser sur une courbe. — Équilibre d*un point sur une courbe. — Equilibre d*un système rigide ayant un point fixe. Pression sur ce point. — Équilibre d'un système rigide traversé par un axe fixe. Pressions supportées par cet axe. — Pressions supportées par deux points fixes. — Équilibre d*un corps traversé par un point fixe. — Équilibre d*un corps ap* puyé sur un plan par un ou par deux de ses points. — Équilibre d*un corps appuyé sur un plan par trois points. — Pression que supporte chaque point d*appui. — Équilibre d*un corps ayant des points d*appui contre plusieurs surfaces.

40. Composantes d'une force appliquée à un point qui ne peut que glisser sur une surface, — Supposons le point matériel auquel est appliqué une force R astreint à demeurer sur une surface donnée. Si Ton décompose la force R en deux autres, Tune dirigée suivant la normale à la surface et Tautre renfermée dans le plan tangent, il est évident que la première composante sera détruite par la résistance de la surface et mesurera la pression qu'elle supporte. La seconde fera glisser le point sur la surface. Proposons-nous d'évaluer ces deux composantes et de fixer leur direction. Soit

réquation de la surface ; une normale en un point (x, y, z) fait avec trois axes rectangulaires des angles f g, h tels que Ton a

dF d¥ dF dF

dx dx dy dz

cos/-^ . ,, .—-==.-^^ cos9 = — , cosfc = —

//c/F\« /r/FV f^^\

RsinX = Rj/

en prenant le signe plus pour cette normale prolongée dans un sens et le signe moins pour la même normale prolongée dans l'autre sens. Si donc on représente par a, 6, c, X les angles que fait la force R avec les axes positifs et avec la normale à la surface , on aura , en désignant par (X, Y, Z) les trois composantes de R ,

R = j/X* -*- Y* -+- Z*, cos a = — j cos 6 = — > cos c = - >

dF dF dF X— -4- Y— -+- Z— ^ r , , dx dif dz ,

cos A = cos a cos / -+- cos b cos o-h cos c cos h = . ' >

' ^ dbRV

la composante normale est donc exprimée par

dF dF dF

„ . dx dy dz

R cos A = 7-^ 1

db V

et il vient pour la seconde composante ,

./fx^-Yl^Y^^Z^--X^Y-.fY^-zl^Y

=Ri/i-cosn= V \ ^y ^^/ \ ^^ ^v \ ^^ ^y/ .

Pour avoir les angles {S, 5', ô") que fait cette seconde composante avec les axes, angles qui fixent la direction suivant laquelle le point tend à glisser sur la surface y remarquons que si Ton décompose la composante normale RcosX et cette dernière R sin X suivant les trois axes, on doit retrouver des forces équivalentes aux composantes (X, Y, Z) de R; on doit donc avoir

d'où

X e= R cos X . cos /" -*- R sin X . cos 5 ,

dF dF dF X — -hY — -hZ — X dx dy^ dz dF

. R RV« dx

cos 0 == : — ;

sin A \ dy dxjdy \ dx dzj dz

.,r /TT^F « àF\* / dF ^d¥\* /^dF ,dF\*

54 CHAPITRE y.

On trouvera de même

cos

/y — - Z -^— -/"x- - Y — ^— \ dz dyjdz \ dy dxj dx

dF\*