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dans laquelle — est évidemment Ja force qui, en agissant sur Tunité de
masse, lui communique le même mouvement que la force 9 commu-
cp iiiqne h la masse m. La force -^ rapportée ainsi h Tunité de masse se
nomme force accélératrice ^ pour la distinguer de la force motrice 9
qui agit sur la masse entière m.
Si la force 9 est connue, on déduira de celte équation par deux in-
dx tégrations successives , les valeurs de ^- et de x en fonction de t. Si
dt
au contraire la position du point matériel est connue & chaque instant,
c'est-i-dire si Ton connaît x en fonction du temps, ou x== fty on eu
déduira par deux différentiations successives, la valeur de — » et par
suite la force motrice 9. Dans le premier de ces cas, Tintégrale finale renferme deux constantes arbitraires qu'il faudra déterminer au moyen <]es circonstances initiales du mouvement, comme on le verra dans les applications suivantes.
On tire aussi de l'une des équations précédentes,
mdv = (pdt, et mv — mVa = /(fdt,
l'intégrale devant être prise entre les époques où les vitesses du point mobile sont Vo et v. Dans la mécanique appliquée, (^^dt se nomme impulsion élémentaire de la force 9 et y* (pdt est son impulsion totale pendant le temps compris entre les limites de l'intégrale. Cette équation apprend donc qu'entre deux époques du mouvement d'un point matériel, r accroissement de la quantité de mouvement est égal' d l'impulsion de la force motrice.
110. Lois de la chute des corps pesants. — Proposons-nous de déterminer les circonstances du mouvement d'un corps pesant tombant verticalement dans le vide, x étant la distance verticale du point matériel à un point fixe, et mg la mesure de la pesanteur ou de la force motrice, on a
-, = mg, ou -7;^=»;
d^ù l'un tire en intégrant,
dx ^ Qt-
-— ou v = qt'^C, x=^-f- Ci -f- D.
dt :/ ' 2
164 CHAPITRE XU.
Pour déterminer les constantes C et D, observons qu'en faisant t égal à zéro, V et X se réduisent h ces deux constantes qui représentent par conséquent la vitesse et la distance au point fixe, lorsque le temps t commence à être compté. Si ces valeurs initiales sont nulles, c'est-àdire si le point matériel part du repos et que le temps commence à compter au moment où le point quitte l'origine, il viendra
On voit donc que les vitesses seront alors à chaque instant proportionnelles au temps, et les espaces parcourus, proportionnels aux carrés des temps. En éliminant le temps t entre ces deux équations , on trouve
V* = 2gfx et v = j/2gx
qui donne la vitesse correspondant à chaque hauteur x de la chute. Dans cette équation v s'appelle la vitesse due à la hauteur x de la chute. Cette vitesse est proportionnelle à la racine carrée de la hauteur.
Si le point matériel est lancé de bas en haut, en comptant les x vers le haut à partir d'un point fixe, la force motrice mg agira en sens inverse, et sera négative; on aura donc
rf*x d^x
d'où l'on tire en intégrant,
dx i
v=—=^^gt^C, x=^-jr»-t.C( + D,
dans lesquelles C est la valeur de v correspondant à t = 0, c'est-à-dire la vitesse initiale de projection, et D, la hauteur du point matériel audessus du point fixe à l'instant où le temps t commence à compter. D sera nul si l'on fait coïncider les commencements du temps et de la distance.
On déduit de la première de ces valeurs, la durée du mouvement ascensionnel, car ce mouvement durera jusqu'à ce que l'on ait v = 0, et il vient alors
— ai-f-C = 0 d'où t=-.
DYNAMIQUE. i^^
Quant à la hauteur de l'ascension due à une vitesse de projection C, on l'obtiendra en remplaçant t par la valeur précédente dans l'expression de Xj et il viendra
On a trouvé précédemment pour le cas d'un point matériel pesant qui tombe librement,
v = gt et u* = 2^x , et par conséquent
En rapprochant ces valeurs des précédentes , on voit qu'un point matériel pesant, lancé verticalement de bas en haut, s'élève à la hauteur d'où il devrait tomber pour acquérir une vitesse égale à la vitesse de projection, et la durée de l'élévation est la même que celle de la chute. De plus, en éliminant ( entre les valeurs de t? et de a?, dans le cas de l'ascension , on trouve pour la vitesse correspondant à une hauteur x mesurée de bas en haut,
V = db |/C* — 2gx ,
d'où Ton conclut que, en chaque point de la verticale, la vitesse du mobile est la même en montant et en descendant, car après avoir
atteint la hauteur — 9 sa vitesse en descendant, après avoir parcouru
l'espace a/ égal à :r x, sera
|/2jxS ou /C* — 2gx.
Si le point matériel pesant était assujetti k glisser sans frottement sur une droite inclinée d'un angle a sur l'horizon, il est visible que la force motrice mg se décomposerait à chaque instant en deux forces m^cosa et mg.sinay la première perpendiculaire à la droite, est détruite par sa résistance et mesure une pression, la seconde renfermée dans cette droite, détermine le mouvement; si donc on représente par X la distance & une époque quelconque ( du point matériel
h UD point fixe, comptée sur cette droite, Téqualion différentielle du mouvement sera
»t^ = »wgfsina,
d*où l'on tire en intégrant,
— > ou 17 = jsin a.( -H C, et x =g sîn a- - -+- C( -♦- D.
Kn faisant (=^0 dans ces deux intégrales, on voit que les constantes arbitraires C et D sont encore les valeurs initiales de la vitesse et de la distance x, et si Ton compare ces valeurs k celles qui ont été trouvées pour la chute verticale des corps graves, il est visible que les lois du mouvement sont identiquement les mêmes en changeant la gravité g en g sin a.
Lorsque les valeurs initiales de la vitesse et de la distancée Torigine sont nulles, ces équations se réduisent à
t; = ^(sina et x = 3— sin a ou v* = 2jfx sin a.
Si AE (fîg. 85) est une verticale, AG la direction du mouvement, et. AB l'espace x parcouru pendant le temps t , en abaissant la perpendiculaire BD sur AE et faisant AD == A, on a '
A = AB . sin ABD = x sin a,
et par conséquent
t;« = 2gh ;
or si le point matériel était tombé librement de A en D^ sa vitesse
acquise serait aussi y^gh\ d'où il suit que la vitesse acquise à chaque instant par un point matériel glissant le long d'une oblique, est égale à la vitesse qui serait due à la hauteur de la chute estimée dans le sens vertical. Cette propriété n'est qu'un cas particulier d'une propriété plus générale qui sera démontrée plus loin.
Ou tire aussi de l'une des équations précédentes, pour la durée de la descente de A en B ,
/ 2x y gfsina
et si Ton décrit le demi-cercle ADE ayant son centre dnns la verticale AE, on aura pour la dnrëe de la chute de A en E,
