V.p.cù — Q.ç.wsaO, ou P.p=Q.qf

comme on l'a trouvé plus haut.

Pour le moufle, il est visible que, si la résistance P (fig. 58) descend d'une quantité e, le cordon qui enveloppe les poulies s'allongera de n.e, n étant le nombre de cordons aboutissant à la chape mobile, et il viendra

Q/î£ — Pe := 0 , d'où P = tiQ.

Dans le treuil (fig. 59], en imprimant à la machine un mouvement de rotation très petit cù autour de l'axe, la corde de P s'enroulera sur l'arbre de rayon r d'une quantité c^r, la corde de Q se déroulera de ojR^ et il viendra comme au N'' 79,

Q.Rw— Pr« = 0, d'où QR = P.r.

Pour trouver les conditions d'équilibre d'un corps appuyé par un de ses points C sur le plan incliné (fig. 68), menons par le point C un nxe quelconque qui vienne rencontrer la force P et imprimons

un mouvement virtuel autour de cette droite. Le moment virtuel de P sera nul, et comme la somme des moments virtuels de P et de Q est égale à zéro^ le moment de Q devra aussi être nul, ce qui ne peut arriver que si tous les axes qui rencontrent P rencontrent aussi la force Q, ce qui exige que les deux forces et le point 0 soient renfermés dans un même plan. En second lieu, de Tun des points de la force Q abaissons une normale sur le plan AB, et imprimons un déplacement virtuel autour de celte normale. Il en résultera un glissement du point d'appui G sur le plan, et comme le moment virtuel de Q est nul, celui de P devra Tétre également, ce qui exige que P soit rencontré par cette normale, et par conséquent, que les forces P et Q soient renfermées dans un plan normal au plan AB, plan qui, comme on Ta déjà vu, doit passer par G. En troisième lieu, si au point G on élève sur le plan AB une normale jusqu'à la force Q, que par le point de rencontre D on mène une droite perpendiculaire au plan qui contient P, Q et G, et que Ton imprime au système un mouvement de rotation autour de cette perpendiculaire, le moment virtuel de Q sera nul, et par conséquent celui de P qui ne pourra ni avancer ni reculer, .ce qui exige que P rencontre Taxe de rotation et vienne passer par le point D, d'où il résulte que le point de rencontre des deux forces doit se trouver dans la normale élevée au point d'appui sur le plan incliné. En quatrième lieu, si l'on communique au système un mouvement virtuel autour du point G dans le plan QDP, en désignant par (ù le déplacement angulaire et par p ei q les perpendiculaires Cp et Gg, Q avancera de ^.(o, P reculera de p.co, et l'équation générale devient

Q.9.G1) — P.p.G) = 0, d'où Q,qf = P.p,

qui est la quatrième condition d'équilibre.

Enfin , si dans la vis (fig. 72) on fait faire k l'écrou une fraction G de révolution^ le point G décrira une portion 6 de la circonférence qui a pour rayon oG ou /, c'est-à-dire, que la force P avancera de âTT.Gf, l'écrou montera d'une portion 0 d'un pas de vis, c'est-à-dire que le poids Q reculera de Gp, et le principe général donne

P.SttG./ — Q.G.p = 0, d'où P:Q = p:27rZ.

9G. Applications à la recherche de quelques courbes d'équilibre. — Appliquons encore le principe des vitesses virtuelles à la solution du

problème suivant : aux deux extrémités d'un fil inextensible PÂQ passant sur une poulie A (fig. 79) sont attachés des poids P et Q. L'un des deux P est assujetti d glisser sur une courbe donnée BC. On demande quelle doit être la courbe DE pour que le poids Q glissant sur celle-ci fasse constamment équilibre à P.

En désignant par p et q les distances Pp et Qq des deux poids à une horizontale HH' passant par â, la condition d'équilibre sera

PSp -^ Qiq = 0.

Comme cette équation doit exister pour toutes les positions des poids ou pour toutes les valeurs successives de Sp et iq^ on pourra considérer son premier membre comme une différentielle qui est constamment nulle, et en intégrant on aura

Si Ton désigne par r et r^ les rayons vecteurs AP et AQ des deux courbes, par t eilf les angles PAH et QAH' et par / la longueur totale PAQ du cordon, on aura visiblement

p = rsin(, q^^r^slofy r-t-r'^s/; réqualion d'équilibre devient donc

P{l — f^) sin ( -+- Qf^ sin «' = C , OU; si ( == (pr est l'équation polaire de BC,

P(/— r') sin (p (/ — r') -f- Q/sin f = C.

Cette relation entre r' et (' représente l'équation polaire finie de la courbe DE. La constante arbitraire C dépend de la valeur de la verti-

cale AD, c'est-à-dire de la valeur de r' correspondant à f =- tt.

Si la courbe BC est un arc de cercle ayant son centre en 0, et ayant OA =3 a pour rayon, l'équation polaire ( = cpr prend la forme

X =3 arc sin — - ; 2a

/ — r' la fonction cp {/ — r') devient donc arc sin — ^ — » et on trouve pour

STATIQUE. i39

Inéquation finie de la courbe DE,

Quand on déte^mine la constante C de manière que AD soit nul, et qu'on fait / égal à a (/ï et - égal à [/2^ il vient

r'=^fl — o^sin t' j = 2a /â (i — sin f),

qui est, comme on peut s'en assurer, l'équation de Tépicycloîde engendrée par un point du cercle du rayon a ^2 roulant sur un auti*e cercle de même grandeur.

Ce problème trouve son application dans la théorie de la construction des ponts-levis. Le cercle AB est celui que décrit rextrcmité P d'un pont-levis OP (fig. 80), à laquelle est attachée une chaîne PAQ passant sur une poulie A, et tirée par un contre-poids Q glissant sur l'épicycloîde AE qui est connue sous le nom de sùiusoïde. Le poids P représente la composante du poids R du pont mobile, appliqué au centre de gravité G, et décomposé en deux autres appliqués en P et en 0. Cette dernière est détruite par la résistance du point fixe O.

Le pont-levis OA (fig. 81) peut aussi être maintenu en équilibre au moyen d'un parallélogramme à charnières RCOD dont un côté BD prolongé d'une quantité DQ égale à DO porte à son extrémité un contre* poids Q glissant contre la culée OQ du pont. La condition d'équilibre

Rrfr — Qdç = 0

conduit, comme plus haut, à l'intégrale

Rr ^ Qqr = C ,

parce que l'équilibre doit subsister dans toutes les positions, et cette équation se réduit à

Rr — Q<jf = 0,

parce que, quand le tablier est horizontal, r et 9, c'est-à-dire GU et OQ, sont visiblement nuls. Le triangle GHO donne, en désignant GO par { et l'angle GOH par 6 y

r= / sinG.

i40 CHAPITRE IX.

Le triangle isocèle ODQ donne, en désignant OD ou BC par a, et en remarquant que Tangle DOQ égal à DQO est complémentaire de OaQ lequel est égal à GOH ou 6 ,

g == OQ == 20rf = 2o sin 6.

L'équation d'équilibre devient en substituant,

R 2a R/ sin 9 = Q. 2a sin 9, ou — = --,

qui en effet est satisfaite indépendamment de toute valeur de 9. Remarquons que, puisque dans le triangle rectangle aOQ les distances DQ et DO sont égales, il faut que aD soit aussi égal à ces droites. La longueur de Qa est donc invariable et égale à 2a, ce qui apprend que le point a de la tringle BQ reste constamment dans une droite horizontale Oa.

97. Méthode analytique pour appliquer d'une manière générale le principe des vitesses virtuelles. — Les conditions d'équilibre d'un système de forces de forme quelconque se déduisent de l'équation des vitesses virtuelles d'une manière analytique très générale. Remplaçons P par ses composantes X, Y, Z parallèles à trois axes fixes; si x,yi z sont les coordonnées du point d'application de P, un déplacement virtuel de ce point fera prendre à x, y, z les accroissements $Xf Sy^ Szy les moments virtuels de X, Y, Z seront Xdxy Ydy^ Z^z, et l'équation des vitesses virtuelles prendra la forme suivante :

2 {XSx -t- Ydy -4- ZSz) -t- lT$t = 0,

le signe 2 désignant une somme de même nature, étendue à toutes les

forces P> P', P" Les variations (îx, dy^ dz^ Sx'.,.. $ty $f.... ne sont

assujetties dans cette équation qu'à la seule condition d'être compatibles avec les conditions de liaisons des différents points du système. Ces conditions sont en général exprimées par des équations

les unes de la forme

STATIQUE. i4i

et exprimant que les distances /... des points (.x,y, z) et (x',y', xf) etc., sont invariables, ou que la distance des points (jr, t/, z) et (x", y'', js'') est égale au cordon élastique ( etc., d'autres de la forme

/•(x,y,iï)=0, fV,i/,zf)^0

exprimant que certains points (x, y^ z], {x\ y', £) doivent glisser

sur des surfaces données, etc. Les déplacements des différents points d'application , pour être compatibles avec les conditions des liaisons, devront donc satisfaire aux équations

dh ^ dL ^ dL ^ dh ^ ,

-r-OX -I- j-Oy -^ -r-OZ -^ T-7OX H- CtC. = 0,

dx dy ^ dz dsf

rfM. dM.

-r- OX -h -T-OV ■*- etc. s= 0 ,

dx dy ^

dx dy ^ dz

t5t = (x — x") {Sx - (îx") -^{y — y") ($y — $y") -h (z-zf') [Sz^dzf')

que Ton obtient en donnant à x, y, z^ ^9 y' y s',.... f, t'.... dansL, M.... les accroissements dx, 5y, Sz,... St, c'est-à-dire, en prenant les différentielles de

avec la caractéristique $. Si l'on remplace les dt en fonction de Sxydxf',,., et qu'on élimine le plus grand nombre possible de variations dx, $yy dz, dx'.... entre ces dernières équations différentielles et l'équation des vitesses virtuelles, celle-ci prendra la forme

Qdx -4- R$y -4- SSz -f- etc. = 0,

dans laquelle les variations restantes dx, dy, dz, dx' etc. ne seront plus soumises à aucune condition, et seront par conséquent arbitraires. Il résulte de là que les coefficients Q, R, S... devront être nuls séparément, puisqu'on pourra supposer successivement toutes ces variations nulles à l'exception d'une seule dx, et qu'alors le produit Qdx ne pourra être nul que par le fait de Q. Les conditions d'équilibre seront donc

i42 CHAPITRE IX.

Ces équations expriment des relations nécessaires pour l'équilibre

entre les coordonnées, les forces X, Y, Z et les tensions T, T'

A ces équations il faut en joindre d'autres de la forme

exprimant la loi qui lie la tension du ressort à son allongement, loi qui doit être donnée. On aura ainsi toutes les équations nécessaires pour déterminer les coordonnées en fonction des forces, ou pour fixer la forme d'équilibre du système.

Comme cette méthode générale trouve ses principales applications en dynamique 9 nous nous bornerons à l'appliquer & la solution du problème suivant : un poids P est suspendu par quatre fils obliques ^ f, t", t!" attachés à des points fixes A, B, C, D de l'espace; on demande la position d'équilibre du poids P, sachant que ces fils sont élastiques et connaissant leur loi d'élasticité.

Prenons le point A pour origine des coordonnées et désignons par (aVcf), (a"6V'), (a'^W"), [xyz) les coordonnées des points B, C, D et P, par T, T', T", T'" les tensions des quatre cordons et par ^ t\ t", t'" leurs longueurs. L'équation des vitesses virtuelles donne en prenant Taxe des Z vertical ,

P^z -«- Tdt -^ Tôf -f. T"5t" -4- r"dr =0;

à cette équation il faut joindre les équations de condition

t'î = (x — a')« -^ (y — by -4- (z — (/)% r« == (a: - ay -^ {y - Vf +■ (z - c")S r« = (x — a"7 + (y - Vy 4- (z - d'y, qui donnent en différenciant,

tSt = x$x -t- y$y -f- z(îz,.... (i)

t'àt' == (a; — aO^a? -H (y — V)$y -^ (z — </) $z,

r(ît"=-(x — a'')$x H- (y — W) Sy-^-iz — (f')dzy

t!"$t!" = (x — a'") (îx -4- (y - 6'") ây-i-{z — c'") $z.

Si dans l'équation des vitesses virtuelles on remplace St^ Sf, Si"j St^" par leur valeur, et qu'on égale à zéro les coefficients des trois variations indéterminées dx, dy, dz, on sera conduit aux équations suivantes :

rp rrtf n^ff rpf//

^ + (X a') + ^ (X - a") -»- -js; (X - a'") = 0,....(2)

rp fp/ nnff ip/;/

jy+i-(y-6') + i^(y-6")-»--p;^(t,-n=0.

Aux sept équations (i) et (2) joignons les quatre équations qui expriment la loi de l'élasticité des fils, savoir

t = (pT, «' = cp'TS (" = cf/'T", r = (p"T'" (3)

et l'on disposera de 4i équations pour déterminer les valeurs des 41 inconnues ac, y, z, (, «', t\ ('", T, T'> T", T'".

En admettant que les allongements des fils soient proportionnels à leur tension^ et en désignant par /, /', f, T' leurs longueurs avant qu'ils ne soient tendus, on devra poser

e=/(i-hGT), «'=i'(i-«-eT), t"=r(i-4-9"T"), t'"=r(i-4-e'"T'"),

Si l'on suppose l'élasticité proportionnelle à la longueur des fils,- on posera

Dans ce dernier cas on trouve pour x, y, z, les valeurs suivantes :

o'G' -H a"e" -4- o'"G'" Wj^^V^V^j^^^y^

^= 0^0' + 9"^ G'" ' 2^=^ 0-hG'-^G"-^G'" '

Il est remarquable que, quel que soit le nombre de fils et la loi de leur élasticité, le problème dont on vient de s'occuper est entièrement déterminé, pourvu que les fils soient élastiques, tandis que si les fils avaient été inextensibles, le nombre d'équations aurait été insuffisant

i44 CHAPITRE IX.

et le problème aurait été indéterminé. Celte question est visiblement de la même nature que celle des pressions sur les points fixes, dont on s'est occupé au N** 50.

98. Maximum et minimum dans les positions d'équilibre. Conditions d^équilibre dans les machines à poids. — Lorsque dans l'équation des vitesses' virtuelles

l{XSx + Ydy -4- Z$z) -f- lT3t = 0,

la somme {Xdx -+- Y$y -+- ZSz) -+- (X'Jx' -*- ¥%'-♦- Z'dxf] -h etc. est une

différentielle exacte d'une fonction cp (x, y^ z^ a/, y, z' ) des

variables (xt/z), {x^y'z') etc. considérées comme indépendantes, Téquation des vitesses virtuelles sera une différentielle totale exacte, puisque les tensions T sont toujours des fonctions des longueurs ( des liens élastiques, et l'égalité à zéro de cette différentielle exprime que la somme de fonctions

est un maximum ou un minimum , c'est-à-dire que les valeurs des coordonnées (x, y, z), etc. dans la position d'équilibre du système correspondent au maximum ou au minimum de cette somme de fonctions. On voit par là comment une question d'équilibre peut se transformer en une question de maximum et réciproquement.

Lorsque toutes les forces du système se réduisent à des poids pouvant s'appuyer sur des surfaces inflexibles, et que les liens sont privés d'élasticité, en prenant l'axe des Z vertical l'équation des vitesses virtuelles devient

2mgSz = 0 , ou g2mSz = 0.

Comme ImSz est la différentielle exacte de Imz correspondant à un déplacement quelconque, cette équation exprime que 2mz est, dans la position d'équilibre, un maximum ou un minimum relativement à toutes les positions voisines ; or si l'on désigne par z, l'ordonnée du centre de gravité des masses m, m',.... on sait que l'on a

Imz

l'équilibre dans cette machine à poids a donc lieu lorsque z^ est maximum ou minimum, c'est-à-dire, lorsque le centre de gravité des

poids est le plus haut ou le plus bas possible. Ainsi un corps pesant de forme quelconque, dépourvu d'élasticité et appuyé sur une ou plusieurs surfaces, est en équilibre, lorsque de quelque manière qu'on le mette en mouvement dans tous les sens^ le centre de gravité ne fait que monter ou ne fait que descendre. Si le corps ou les surfaces qui servent d'appui étaient élastiques, cette proposition ne serait plus généralement vraie.

On dit qu'un équilibre est stable ou instable, lorsqu'on dérangeant le système de la position d'équilibre, celui-ci tend à y revenir ou à s'en éloigner indéfiniment. Il suit de là qu'en général le maximum correspond à un état d'équilibre stable et le minimum à un état d'équilibre non slable, car si z^ est maximum, c'est-à-dire si le centre de gravité des poids est le plus bas possible d'une part, ou si d'autre part, il est le plus haut possible, on peut admettre qu'une légère perturbation fera descendre indéfiniment le centre de gravité s'il est le plus haut possible, et n'imprimera au système que de légères oscillations si le centre est le plus bas possible.

Gomme toute force, quelle que soit sa cause, peut être remplacée par des poids, au moyen de poulies de renvoi, il en résulte que Ton peut dire d'une manière générale que l'équilibre est stable ou instable

suivant que 9 (x, y, z, a/ ) -+- 2^f est maximum ou minimum.

Nous reviendrons du reste, en dynamique, sur ce principe, pour le démontrer d'une manière plus rigoureuse.

Allraction d^une couche sphérique homogène sur un point extérieur. Attraction d'une sphère sur une sphère. — Attraction d^unc couche sphérique sur un point placé dans Tintérieur. — Attraction de deux corps quelconques.

99. Attraction d'une couche sphérique homogène sur un point extérieur. Attraction d'une sphère sur une sphère. — On a besoin de connaître en dynamique les actions que deux corps exercent l'un sur Taulre par leurs attractions mutuelles; admettons donc par anticipation que toutes les molécules d'un corps sont attirées par les molécules d'un autre corps, et que l'intensité de cette force attractive est inversement proportionnelle au carré des distances et directement proportionnelle aux masses des molécules attirantes. En désignant par k l'intensité de l'attraction de deux points matériels d'une masse égale k l'unité et placés k l'unité de distance, l'attraction d'un point matériel d'une masse m sur l'unité de masse sera par conséquent km et l'attraction de m sur un point d'une masse m' k l'unité de distance sera kmm\

kttlfn

qui deviendra — j^ lorsqu'ils seront placés k la distance l. Cela posé,

proposons-nous de déterminer l'attraction qu'exerce une couche sphérique homogène d'une épaisseur très petite et uniforme ABA'C (fig.82) sur un point matériel M d'une masse M placée à l'extérieur. Divisons la couche en tranches circulaires AA' d'une largeur infiniment petite dx perpendiculaire k la droite MO que l'on prend pour axe des X.

STATIQUE. i47

/ étant la distance MA , raltraction d'un clément dm de cet anneau

kMldm . . . „ IV

sur M est — j^ et sa composante suivant 1 axe des X,

kMdm MD kMdm x __kMxdm ~ir' ' MA "^ /« ' 7 /»

La composante de Tattraclion de Tanneau entier s'obtient visiblement

en additionnant toutes les valeurs précédentes relatives i tous les

i^Mx éléments dm du même anneau; elle est donc — ,-— 2dm^ Or en

désignant par p la densité de la couche, par £ son épaisseur, par y

l'ordonnée AD, par a la distance MO, par r le rayon OC, et par ds

la portion de l'arc de cercle BAC comprise dans la largeur de Tau-

neau A A', sa longueur sera ârrt/, l'aire de sa section, ids et sa masse

ou ^dmy ^pizyeds, La composante de l'attraction devient donc

^pnkMxyeds ^ lm-^ j/r* — (x — o)* ds

'' (2ax -h r' — a*)*

ou, en remplaçant ds par sa valeur tirée de l'équation du cercle BAC,

xdx 2p7r*Mr£ ^^ ^ (I)

(2ax-+-r« — a«)*

Pour ce qui est des composantes de l'attraction perpendiculaires à

Taxe des X, la symétrie de l'anneau autour de cet axe fait que ces

composantes s'entredétruisent et que par conséquent il ne faut pas y

avoir égard* L'attraction de la couche sphérique entière s'obtient en

prenant la somme des valeurs précédentes depuis le point B jusqu'au

point C, c'est-à-dire en l'intégrant depuis x = a —r jusqu'à X'= a-v-r;

on trouve ainsi

4p7rfcMr*£

En désignant par M' la masse de la couche sphérique, on a

M's= 4p7rr'£, ce qui fait prendre à la valeur de l'attraction la forme

qui se confond avec celle qu'exercerait un point d'une masse M' sur une masse M placée à la distance a. D'où Ton conclut que Vatlraetion d'une couche sphérique homogène sur un point matériel M extérieur est la même que si sa masse W était concentrée dans son centre.

Il résulte de là que, si une sphère est composée de couches concentriques et homogènes^ son attraction sur un point matériel extérieur est la même que si la masse de la sphère était concentrée dans son centre y quelle que soit du reste la loi suivant laquelle varient les densités des couches.

Comme le produit — — représente à la fois l'attraction de la masse m

sur m' et l'attraction de m' sur fit^ il est visible que les théorèmes précédents régissent aussi l'attraction qu'exerce un point matériel sur une sphère. On voit aussi que si deux sphères de masse M et M' composées de couches homogènes s'attirent mutuellement, chaque clément de M est attiré par l'autre sphère comme si la masse M' était concentrée dans son centre, et comme le point matériel W placé au centre attire aussi la sphère M de la même manière que si sa masse M était concentrée dans son centre, on est conduit à ce théorème général : deux sphères homogènes ou composées de couches homogènes s'attirent mutuellement de la même manière que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres,

iOO. Attraction d'une couche sphérique sur un point placé dans l'intérieur, — L'attraction d'une couche sphérique homogène sur un point matériel prend une valeur remarquable lorsque ce point est placé dans l'intérieur de la couche, en m par exemple; en prenant alors l'intégrale de l'âtlraclion élémentaire précédente (i), d'abord depuis l'origine des coordonnées m jusqu'à C, c'csl-à-dire depuis x=0 jusqu'à x = a -f- r, et ensuite depuis m jusqu'à B, c'est-à-dire depuis X = 0 jusqu'à x= — (r — a), on aura d'une part l'attraction exercée sur m par les tranches qui composent la portion aACAV de la couche sphérique, et d'autre part l'attraction de la partie aBa'. Or on trouve que ces intégrales sont égales et de signes contraires; les attractions exercées par les éléments de la couche sphérique sur m s'entredct misent donc, et l'on est conduit à ce théorème : un point matériel placé dans IHniérieur d'une couche sphérique homogène n'éprouve aucune attraction de la part de cette couche,

11 est visible que ce théorème subsiste quelle que soit l'épaisseur uniforme de la couche sphérique, pourvu qu'elle se compose de

couches homogènes superposées, puisque aucune de ces dernières n'exerce d'action sur le point matériel. On conclut aussi de ce théorème qu'un point placé dans l'intérieur d'une sphère pleine, composée de couches homogènes, n'éprouve aucune attraction de la part des couches supérieures ou placées entre le point et la surface; il est donc attiré vers le centre de la même manière que si ces couches étaient supprimées et que le reste de la sphère fût concentré dans son centre. Le théorème énoncé plus haut peut être démontré sans calcul par des considérations géométriques très élémentaires, qui permettent de l'étendre à une couche ellipsoïdale uniformément épaisse et de grandeur quelconque; en effet si par le point M (fig. 83) on fait passer un cône infiniment mince , celui-ci interceptera deux portions infiniment petites abcd et a'h'dd! de la couche, dont les attractions sur m sont égales et opposées; car en désignant par m et m' leurs masses et par r

et r les distances Ma et Mo , ces attractions sont — r— et — rr-i or

il résulte d'une propriété connue des ellipsoïdes concentriques , semhlables et semblablement disposés, que les longueurs ac et aV interceptées sont égales; les masses élémentaires m et m' de forme cylindrique ont donc la même longueur; d'un autre côté, les aires des sections de ces éléments sont visiblement proportionnelles aux carrés des distances Ma et Ma^ parce que dans des cônes semblables les aires des bases sont entre elles comme les carrés des distances au sommet; on voit donc que les masses m et m' sont dans le rapport de r* à r'*, c'est-à-dire que

m in!

et que par conséquent les deux attractions sont égales. Gomme il en est de même des attractions des éléments placés dans deux directions opposées quelconques, on en conclut que la couche entière n'exerce aucune action sur le point M.

iOi. Attraction de deux corps quelconques. — Quand deux corps sont placés à des distances très grandes relalivement à leurs dimensions , ils s'attirent sensiblement de la même manière que si leurs masses étaient concentrées dans leurs centres de gravité; en effet, si par le centre de gravité G de l'un des corps on fait passer trois axes rectangulaires, l'attraction d'un point |ul (fig. 84) de l'autre corps

iaO CHAPITRE X.

sur un point m du premier ayant une masse dm sera -^ — ou bien

en désignant par (a, 6, c) et (oc, y, z) les coordonnées des points fx

et m y

kfidm

et les composantes suivant les trois axes seront, en multipliant par a — X b — y c — z

ku.dm

-j^ — 5 kadm — ^~- > kiidm —j^ — » ou kiidm [a — x) /""', etc.

En représentant (jlG ou ^/a'-4-6*-+-c* par R et i/iG ou |/x*-»-y*-+-z* par r, on a

/* = (a — x)« -^ (6 — y)« -f- (c — «)« = R' — 2ax — 26y — 2cz -+- r*,

ou simplement

/«== R« — 2(ax -^ 6y -+- cz) ,

parce que r est, par hypothèse, petit relativement à R. On tire de là,

vn élevant les deux membres à la puissance — --et se bornant aux

x y z termes de première puissance en ^ 9 ^> — > attendu que ces coor-

données sont des quantités petites relativement à R,

Les composantes de l'attraction du point ^ deviennent donc

ku j , . /. ^ ax -i- by -^ cz\

^ dm (a — x) I i + 3 ~ j > etc. etc.,

cl en négligeant x^y^z devant o, 6, c, dans a — x, 6 — y, c — z, -^o^dm -t- -— j (a'x -*- o6y -♦- acz) rfm, etc., etc.

Les composantes de l'attraction du point M sur le corps G entier sont donc

—-fdni H- -:^{a^f'X:dm -4- abfydm -4- ac/zdm)^ etc. etc. R* R

STATIQUE. i'il

En désignant par M la masse du corps G entier au f dm^ et en remarquant que les intégrales ou les sommes de moments fxdniy fydm, fzdm sont nulles, parce que les axes passent par le centre de gravité G, ces composantes deviennent

A'Maa /;M|!xb A:Mp.c et leur résultante a pour valeur

et fait avec les axes des angles ayant pour cosinus

abc

|/a«Hh6M^ (/a*-^6--+-c« (/a*H-6«H-c*

d'où Ton conclut que l'attraction du point matériel /x sur le corps G entier, et par conséquent l'attraction du corps sur le point |ul est la même que si le corps avait sa masse concentrée dans son centre de gravité G. Comme il en est de même de l'attraction exercée sur tous les éléments |x du deuxième corps, il est visible que le théorème se trouve complètement démontré. On arrive au même résultat en remarquant que, puisqi^e les deux corps sont placés à des distances très grandes relativement à leurs dimensions , les droites menées d'un point u d'un des corps à tous les points matériels m de l'aulre sont sensiblement parallèles et égales; d'où il résulte que les intensités des attractions sont aussi sensiblement égales, comme pour les attractions des points d'un corps par le centre de la terre^ auxquelles on peut les assimiler. Elles peuvent donc être remplacées par une attraction unique dirigée suivant |:xG et l'on peut concentrer en G toute la masse M. On reconnaît de la môme manière que l'attraction de M placé en G sur le corps p entier a lieu de la même manière que si toute la masse du corps frétait aussi concentrée dans son centre de gravité.

Moiivemenl. Temps. Mouvement uniforme. Vitesse. — Inertie de la matière. Force d^inertic ou de réaction. Sa loi. — Masse des corps. Mesure de Tinertie. Quantité de mouvement. — Egalité de Faction et de la réaction. Proportionnalité des forces et des vitesses qu*elles engendrent dans un même instant. Parallélogramme des vitesses. Vitesses uniformément accélérées ou retardées. Chute des corps graves.

— Pression. Sa mesure. Mesure d^une masse en kilogrammes. Unité de masse.

— Forces continues. Forces instantanées ou de percussion. Leur mesure.

102. Mouvement. Temps. Mouvement uniforme. Vitesse. — La dynamique est la partie de la mécanique qui traite du mouvement des corps. Un corps est dit en mouvement quand il occupe successivement différentes positions. Cette succession de positions entraîne Tidéc du temps comme conséquence de la non simultanéité. Pour le mesurer, il est nécessaire de convenir de ce qu'on entend par temps égaux; nous considérerons donc comme égaux les temps employés par un même corps ou par deux corps identiques et placés dans les mêmes circonstances, pour parcourir des espaces égaux. De là résulte la notion de rapport entre deux temps ; car si Tespace parcouru dans les mêmes circonstances est double, le temps sera double etc. Pour reconnaître le mouvement d*un corps, on rapporte sa position » d*autres corps considérés comme fixes. S'ils le sont en effet, le mouvement observé est dit absolu; s'ils sont eux-mêmes en mouvement, le

premier corps n'aura qu'un mouvement relatifs ou du moins son mouvement relatif sera seul appréciable.

Pour simplifier les Idées, et ne pas devoir tenir compte de la forme du corps 9 nous le supposerons d*abord réduit à un point matériel dans lequel toute la matière sera concentrée.

On dit que le mouvement absolu ou relatif d'un point matériel est uniforme y si ce mouvement reste identiquement le même & chaque instant; dans le cas contraire, il est dit varié. Il résulte de là que dans le mouvement uniforme les espaces parcourus sont proportionnels aux temps employés à les parcourir. Le mouvement uniforme peut donc servir de mesure au temps.

On appelle vitesse^ dans les mouvements uniformes , le rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, ou plus exactement, l'espace parcouru divisé par le nombre d'unités de temps employées à le parcourir; en désignant donc par v, e, ( la vitesse, l'espace et le temps, on a

que l'on écrit pour abréger de cette manière :

Si ( était égal ii l'unité, il viendrait v = e\ on voit donc que, dans les mouvements uniformes^ la vitesse est aussi V espace parcouru pendant V unité de temps»

Nous prendrons dorénavant pour, unité de temps la seconde sexagésimale et pour unité de longueur le mètre.

On conclut de l'équation précédente que l'espace parcouru par un point matériel est égal au produit de la vitesse par le temps employé à le parcourir ou plutôt, par le nombre d'unités de temps. Si avant de compter le temps ty le point matériel avait déjà parcouru l'espace a, on aurait évidemment

e =» a + Vf .

Comme dans l'équation t?:^ — 9 l'espace e est quelconque, la vitesse

est aussi représentée par la limite du rapport de l'espace parcouru au temps employé à le parcourir, ou en d'autres termes ^ en désignant

par de l'espace iofiolment polit parcouru dans un temps dt infiniment

petit, on a aussi

de v = — .

. dt

Si le mouvement était varié, le rapport- ne ferait plus connaître que

la vitesse moyenne pendant le temps t; mais si cette vitesse varie d'une manière continue, on peut, suivant l'esprit du calcul différentiel, considérer l'espace parcouru comme composé d'éléments inégaux

de parcourus pendant un même intervalle de temps dtj et le rapport—

sera l'expression de la vitesse avec laquelle l'espace de a été parcouru,

et par conséquent la vitesse du point matériel à l'époque marquée ty de sorte que l'on aura dans tous les mouvements possibles continus^

de dt

i05. Inertie de ta matière. Force dHnertie ou de réaction. Sa loi. — La mécanique est fondée sur deux propriétés générales de la matière, savoir : Vinertie de la matière et Végalité de faction et de la réaction. Occupons-nous d'abord de la première.

L'expérience journalière nous apprend qu'un corps en mouvement tend k conserver sans altération la vitesse dont il est animé, ainsi que la direction rectiligne de cette vitesse, et qu'il ne peut changer de lui-même son état de repos ou de mouvement. Ainsi un corps étant en repos, l'intervention d'une cause extérieure, c'est-à-dire d'une force, est indispensable pour le mettre en mouvement, et s'il est en mouvement^ il faut une cause étrangère à la matière ou une force pour accélérer, retarder ou modifier d'une manière quelconque ce mouvement. C'est dans cette propriété que consiste Vinertie de la matière.

Les propositions suivantes sont des conséquences immédiates de cette propriété : l"* Si le mouvement d'un corps est varié, soit dans sa vitesse, soit dans sa direction, une cause extérieure agit nécessairement sur lui; 2"* si cette cause extérieure cesse tout à coup d'agir, le corps devra prendre, à partir de cet instant, un mouvement uniforme et rectiligne; 5® si ces causes extérieures font décrire avec une vitesse quelconque une courbe au point matériel, et

qu'elles cessent tout à coup d'agir, ce point devra suivre d*un mouvement uniforme la tangente à la courbe au point où il se trouvait lorsqu'il a été soustrait à ces actions étrangères, puisque le dernier clément de la courbe représente la direction de la vitesse au moment où ces actions ont cessé leur effet.

L'inertie des corps se manifeste par la résistance qu'ils opposent à tout cbangement d'état. Cette résistance, qui s'évanouit aussitôt que le cbangement est produit, a été nommée force d^ inertie ou plu là t, réaction due à l'inertie.

La loi suivant laquelle se développe cette résistance ou celte réaction n'est guère susceptible de démonstration d priori^ on est forcé d'admettre une bypothèse dont l'exactitude ne tarde pas, du reste, à devenir aussi incontestable que les axiomes qui servent de fondement aux mathématiques pures, à cause de la facilité avec laquelle elle rend compte de toutes circonstances qui accompagnent le mouvement des corps et surtout de l'accord parfait que l'on a constamment remarqué entre les résultats des observations et ceux déduits de cette hypothèse par le calcul. Celle-ci consiste en ce que toute vitesse dv communiquée pendant un temps dt à un corps en repos ou en mouvement dans une direction quelconque y fait naître instantanément une réaction opposée ou force d'inertie proportionnelle à cette vtlesse dv et indépendante de Vétat actuel de mouvement du corps, c'est-à-dire que la réaction d'un corps est à chaque instant proportionnelle à la vitesse dv engendrée pendant un élément de temps dt^ quel que soit l'état de mouvement antérieur du corps.

i04. Masse des corps. Mesure de l'inertie. Quantité de mouvement. — Tous les corps n'opposent pas la même résistance à un changement d'état même identique, c'est-à-dire que la résistance due à l'inertie n'est pas la même dans tous les corps. Cette circonstance ne peut provenir que de ce qu'ils ne renferment pas la même quantité de matière inerte que nous appellerons masse. Il existe donc une dépendance entre la masse d'un corps et la réaction instantanée qu'il oppose à tout changement d'état. Comme nous n'avons aucun moyen pour apprécier la masse absolue des corps et que les différences entre les masses ne se manifestent à nos sens que par ce plus ou moins de résistance, il est naturel de regarder deux masses comme égales, lorsque les réactions instantanées qu'elles opposent à un même accroissement de vitesse sont elles-mêmes égales. Il suit de là qu'une masse double opposera une réaction double, puisqu'on pourra consi-

dërer cette masse double comme composée de deux masses identiques Juxta-posëes. En général les réactions instantanées que deux points matériels opposent à un même accroissement de vitesse sont proportionnelles aux masses de ces points.

En rapprochant cette proportion de Thypothcse admise plus haut, on voit que les réactions R et R' de deux points matériels de masses m et m', dont les vitesses augmentent de dv et dt/ dans un instant dt, isont proportionnelles aux produits des masses par les accroissements des vitesses, c'est-à-dire que Ton a

R : R' =: mdv : m'dt/,

ou plutôt, en divisant par dt pour n'avoir à considérer que des

quantités finies ,

„, dv ,d%f

les réactions de deux points matériels sont donc à chaque instant

proportionnelles aux produits des masses par les dérivées des vitesses

prises par rapport au temps.

Si l'on choisit pour terme de comparaison un point matériel idéal

ayant une masse m' égale à l'unité et acquérant dans chaque unité de

dt/ temps un accroissement de vitesse égal à l'unité, --r- sera cette

unité, R' sera l'unité de réaction, et la proportion précédente deviendra

dy R m dt T"~T 1

que pour abréger nous écrirons de cette manière :

dt

On peut donc dire qu'une réaction se mesure par le produit de la masse par la dérivée de la vitesse prise par rapport au temps, pourvu que Ton entende par là que le nombre d'unités de réaction est représenté par le nombre d'unités contenues dans la masse, multiplié par le nombre d'unités de vitesse contenues dans -j •

Si le mouvement de m était tel que -j- fût constant, ou que la

vitesse v prit des accroissements égaux dans chaque intervalle dt,

dv la dérivée-r- exprimerait évidemment la vitesse gagnée dans Tunité

de temps, que nous désignerons par t?, et il viendrait

c'est-à-dire qu'alors la réaction se mesure par le produit de la masse par la vitesse acquise pendant l'unité de temps.

Le produit d'une masse par sa vitesse se nomme quantité de mou* vement. On voit donc qu'une réaction se mesure dans ce dernier cas par la quantité de mouvement communiquée j)endant l'unité de temps.

On a vu plus haut que la vitesse v est représentée par la dérivée

■j y il suit de là que la force de réaction est aussi exprimée par

d^e du

m—, et que par conséquent la dérivée du second ordre -r-j mesure la

réaction d'une portion de la masse égale à Vunité,

i05. Égalité de l'action et de la réaction. Proportionnalité des forces et des vitesses qu'elles engendrent dans un même instant. Parallélogramme des vitesses. — La seconde propriété générale qui sert de fondement à la mécanique, ou te principe de l'égalité de l'action et de la réaction^ consiste en ce que la réaction due à l'inertie est toujours égale et opposée à la force qui a produit le changement d'état. C'est encore l'expérience confirmée par l'accord parfait des données du calcul fondé sur ce principe et des résultats des observations, qui légitime l'adoption de cette loi générale.

Il résulte de ces deux principes combinés, qu'une force motrice comme

une force d'inertie se mesure par le produit m-j-y ou, si la force

at

est constante, par le produit mv de la masse du point matériel sur lequel elle agit par la vitesse qu'elle engendre dans l'unité de temps, et que par conséquent deux forces sont proportionnelles aux vitesses qu'elles communiquent à un même point matériel pendant l'unité de temps ou plus généralement, pendant un même instant dt.

On conclut de là qu'on peut appliquer à ces vitesses les principes de la composition et de la décomposition des forces, puisque celles-ci pourront être représentées par les vitesses qu'elles engendrent. Ainsi si un point matériel est soumis à l'action de deux forces simultanées P et P' formant un angle a, et capables de lui communiquer chacune

iaS CHAPITRE XI.

séparément les vitesses v et t?' en agissant pendant Tunité de temps, ce point matériel prendra une vitesse qui sera représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parallélogramme construit sur les (Jeux vitesses composantes v et t/. C'est en cela que consiste le principe du parallélogramme des vitesses. De même si plusieurs forces agissent ensemble ou successivement sur un point matériel suivant la même droite, la vitesse finale sera égale à la somme des vitesses qu'auraient engendrées ces forces, si elles avaient agi successivement; et si Ton décompose une force suivant trois axes rectangulaires, la composante suivant chaque axe n'aura aucune influence sur la vitesse du point matériel parallèlement à chacun des deux autres axes, de sorte que le mouvement parallèlement à chacun d'eux sera le même que si le point était mû par chaque composante séparément.

106. Vitesses uniformément accélérées ou retardées. Chute des corps graves. — Il résulte aussi de ce qui précède, qu'une force constante agissant d'une manière continue doit engendrer une vi' tesse uniformément accélérée^ c'est-à-dire, qui augmente proportionnellement au temps ; en effet, si 6 est la vitesse engendrée pendant la première unité de temps^ 6 sera aussi la vitesse engendrée pendant la seconde unité et la vitesse totale sera 26; elle sera de même

56, 46 à la fin de la troisième, de la quatrième unité, et enfin

après un nombre t d'unités ou de fractions d'unité, c'est-à-dire après un temps t, cette vitesse v sera v^=bt proportionnelle au temps. Si un point matériel animé d'une vitesse uniforme a est tout à coup soumis à l'action d'une force constante dirigée dans le sens de la vitesse ou dans un sens directement opposé, et qu'on représente par 6 la vitesse que cette force engendre dans l'unité de temps, la vitesse v du point matériel sera au bout du temps t dans l'un ou Tautre cas,

v^^a-^-bt ou vs=a — ht.

Dans le second cas, la vitesse est dite uniformément retardée.

Réciproquement, si l'on s'est assuré qu'un point matériel est animé d'une vitesse uniformément accélérée, on doit en conclure que la force qui agit est constante, puisque dans chaque unité ou portion d'unité la vitesse engendrée sera la même et qu'il n'y a que les forces constantes qui engendrent dans chaque instant des vitesses égales. Lorsque la force motrice est constante, si l'on désigne par u la vitesse engendrée pendant l'unité de temps^ mu sera la mesure de la réaction de la masse m, et par conséquent représentera la valeur de la force motrice»

DYNAMIQUE. i59

La chute des corps en vertu de l'action de la pesanteur offre un exemple d'un mouvement uniformément accéléré. On reconnaît par expérience que les vitesses croissent proportionnellement au temps; d'où l'on conclut que l'action qu'exerce la terre sur un corps est une force sensiblement constante pendant la durée du mouvement. On trouve à Paris 6 = 9"*,809, que l'on représente par g. En supposant le corps lancé de bas en haut avec une vitesse initiale a, on aura à une époque quelconque t du mouvement,

V = a — gt.

i07. Pression. Sa mesure. Mesure d'une masse en kilogrammes. Unité de masse. Lorsqu'une force, que nous supposerons constante, agit sur un point matériel retenu par un obstacle fixe, elle détermine dans cet obstacle une réaction appelée pression^ et qui est évidemment proportionnelle à la force comprimante, et par conséquent à la quantité de mouvement que celle-ci engendrerait dans l'unité de temps si le point était libre; de sorte que^ si P et P' sont deux pressions exercées par des masses m et m' soumises à l'action de forces constantes qui engendreraient les vitesses t? et t/ dans l'unité de temps si ces points étaient libres, on aura la proportion

P mv

qui devient^ en prenant pour unité de pression F celle qui est exercée par l'unité de masse m' animée d'une force qui ferait prendre l'unité de vitesse r' dans l'unité de temps,

7=—7> ou Pz=tnv,

et qui signifie que le nombre d'unités de pression est égal au nombre d'unités comprises dans la masse, multiplié par le nombre d'unités de vitesse que la force engendrerait dans l'unité de temps.

Cette équation permet de mesurer le nombre d'unités de masse contenues dans un corps; en effet, si l'on suppose que la pression provienne de la pesanteur, pression qui prend alors le nom particulier de poidSj V sera, comme on l'a vu (N® 104], égal à ^ et en prenant pour unité de pression celle qu'exerce un décimètre cube d'eau distillée et amenée à son plus grand degré de condensation, c'est-à-dire le kilogramme, P sera exprimé en kilogrammes et donné par les balances, et il viendra :

c'est-à-dire que le nombre d'anités de masse qui entre dans un corps est égal & son poids exprimé en kilogrammes, divisé par 9,809.

Pour ce qui est de l'unité de masse p qui maintenant cesse d'être arbitraire, on la détermine en remarquant que, d'une part, l'unité de pression est celle que produit l'unité de masse soumise à une force capable d'engendrer l'unité de vitesse dans l'unité de temps, c'est-àdire qu'elle est égale à p.i% et que, d'un autre côté, l'unité de pression est aussi le kilogramme ou la pression produite par la masse ûL d'un décimètre cube d'eau soumise à l'action de la pesanteur ou d'une force qui engendre une vitesse g dans l'unité de temps, c'est-àdire que cette unité de pression est aussi égale à a, g; on a donc, en égalant ces deux valeurs de l'unité de pression ,

a.gf = fA.l% d'où fjis=!a^>

c'est-à-dire que l'unité de masse est représentée par la masse d'un décimètre cube d'eau prise 9,809 fois.

108. Forces continues. Forces instantanées ou de percussion. Leur mesure, — Les géomètres, trompés par certaines apparences, ont longtemps admis l'existence de deux espèces de forces, les unes n'agissant que pendant un instant et produisant instantanément une quantité de mouvement finie, les autres agissant pendant un temps plus ou moins long et ne produisant une vitesse finie que dans un temps fini. Les forces provenant des percussions étaient rangées dans la première catégorie ; la pesanteur et les forces d'attraction l'étaient dans la seconde. Plus tard, lorsqu'on s'est formé une idée plus juste .du principe de continuité, on a reconnu que cette distinction n'était pas fondée : qu'il était impossible qu'une force quelconque, à moins qu'elle ne fût infiniment grande, produisit une quantité de mouvement finie dans un temps infiniment petit ou dans un instant : que la quantité de mouvement obtenue au moyen d'une percussion, considérée à tort autrefois comme engendrée instantanément, est en réalité engendrée dans un temps qui, sans être infiniment peCit, est cependant trop minime pour être facilement appréciable, et enfin que pendant ce temps, les deux corps, quelque durs qu'on les suppose, se compriment plus ou moins en s'applatissant, et se transmettent de l'un à l'autre et d'une manière continue une partie de leur vitesse jusqu'à ce que la compression soit terminée, ce qui arrive lorsque les deux corps ont pris des vitesses égales dans le sens de la percussion.

Il est donc plus exact de considérer les forces dites instantanées comme Réagissant que pendant un temps extrêmement court, qui leur suffit cependant pour produire des quantités de mouvement finies, parce que les forces de cette nature sont incomparablement plus grandes que celles qui proviennent des attractions , etc. Comme on ne compare que des objets de même ordre de grandeur , on ne peut établir de rapports entre ces deux espèces de forces. On se borne à comparer entre elles les forces provenant de percussions, et dans Timpossibilité où Ton est d'apprécier avec un peu d*exactitude la durée du phénomène, on prend pour leur mesure et pour mesure de Tinertie, le produit de la masse du point matériel sur lequel agit cette force par la vitesse engendrée pendant la durée de la compression, quelle que soit celte durée, que Ton suppose la même dans toutes les percussions.

Théorie du mouvement rectiligne d^uii point matériel. Équation différentielle du mouvement. Force accélératrice. — Lois de la chute des corps pesants. — Problèmes.

i09. Théorie du mouvement rectiligne d'un point matériel. Équation différentielle du mouvement. Force accélératrice. ^ Pour qu'un point matériel décrive une Jigne droite, il faut que la force qui agit sur lui, ou plutôt la résultante des forces auxquelles il est soumis, soit dirigée constamment suivant celte droite. La théorie du mouvement rectiligne consiste à déterminer à chaque instant la position du point matériel sur cette droite et les circonstances de son mouvement, connaissant la force qui le fait mouvoir, ou à trouver cette dernière, connaissant les circonstances du mouvement. Soient x la distance, au bout du temps t, du point matériel m à un point fixe pris sur la

droite qu'il décrit, et 9 la force motrice; comme m— est Texpression

générale de la force d'inertie qui, d'après ce qu'on a vu (N*» i04), est égale à la forée motrice, on a

dv

dt ^

Cette équation, qui exprime la loi suivant laquelle s'engendre la vitesse, est dite Véquation différentielle du mouvement. Commet? est

dx donné par-^-» on peut la mettre sous la forme dt