AE

Si le point matériel éprouvait en glissant le long de Toblique AB une résistance due au frottement, il faudrait de la force motrice provenant de la pesanteur, retrancher celle qui provient du frottement. L'expérience apprend que cette force est toujours représentée par une portion invariable de la pression, c'est-à-dire qu'elle lui est proportionnelle; on a donc^ en désignant par /* /e coefficitnt du frottement,

d*x m -r-j = mg sin a. — mfg cos a

dont les intégrales font connaître toutes les circonstances du mouvement.

Si, outre le frottement, on avait égard à la résistance de l'air atmosphérique, que l'expérience a prouvé être proportionnelle au carré de la vitesse, il faudrait de la force motrice précédente, retrancher un terme de la forme nv^, n étant un coefficient constant qui ne dépend que de la nature de l'air, de sa densité que nous supposerons constante et de la forme du point matériel ; l'équation diffé-

renttelle du mouvement serait donc

ut

Pour intégrer, on la met sous la forme

— =m(3sina — /ijfcosa) — nv% d'où d^ == - (A»— v«) '

en posant

m (5 sin a — /jf cos a) = nfc*.

L'intégration donne, en faisant la constante arbitraire égale à zéro pour que la vitesse soit nulle avec le temps ,

knt knt

ik -H V „ , , . , ,.. dx e « — e «

' = 2fai*'^rr-v' ^'^"^' c'est-à-dire -^ = *— ^ ..

et en intégrant une seconde fois en faisant commencer x avec «,

X ==— log-( e "• -i- e •* j'

Cette équation donne l'espace parcouru à une époque quelconque t. On peut aussi obtenir l'expression de la vitesse en fonction de Tespacc parcouru; il suffit pour cela de remplacer t par sa valeur en v dans la dernière équation , et il vient

x==— log — % d'où t;* = fc'(4 — e~"»)'

Tandis que l'espace parcouru x augmente, le terme e "» ou — iiiT"^*'*

e "* en diminuant, et finit par être négligeable devant l'unité; l'expression

j L j j 1 1 j # /(osina — /ifcosa)m de t? approche donc de plus en plus de « ou % / -^ '-^ — 5

c'est-à-dire que la vitesse tend continuellement vers l'uniformité.

DYNAMIQUE. i69

Si Ton fait ol égal è--dans les formules précédentes, ce qui donne

k = \/ —} et qu'on fasse ensuite n nul, on doit retrouver pour x

et V les valeurs obtenues plus haut pour le cas de la chute des corps graves dans le vide. C'est en effet ce qui arrive quand on développe en

2«i Lut int ■/"* l/"^

séries les exponentielles c"*,c"*ete"*,ouc "«ete "*,

ainsi que les logarithmes. La dernière valeur de v, par exemple, devient alors

/ma /S/îx