X -+- Xy -*- X'z 4- XV H — =sCsin[r -¥■ t^—ia -h Xa'n
x -H X,y-*- X/z-*- X/V-H«--=C'sin[r'-t- %y — (a h- X,o' )]
ce que l'on reconnaît en développant le sinus du binôme r + ( |/ Si Ton résout les p équations linéaires précédentes par rapport aux p variables, on est conduit à des valeurs de la forme
x=pisin(r-f- (|/^-f-î/sin(r'-H ti/Vj-^ 7rsin(r"+ «j/P)-+-etc.
t/=^'sin (r -+- f |/A)-t-y'sin (»''-»- i|/Â^-+-7r'sin(r"-4- (j/fc^)4- etc.
2 = etc.
dans lesquelles fx, r, fx', r'... sont des constantes qui dépendent du mode d'ébranlement initial et qu'on détermine en résolvant les équations suivantes :
Xo = fx sin r -♦- j/ sin r' -4- TT sin r" -4- • • • . yo = iJf sinr h- y'sinr' -4- Ti'sinr" h
t?o == fjL (//: cos r -H vl/Fcosr' -h 7r^/Pcosr''H
t?o' = yf |/Tco8 r -t- / j/T'cos r' -*- tu' j/Â^cos r" -♦- ••••
dans lesquelles Xo, t/o,... sont les valeurs connues dcx^ t/.... correspondant à ^=0 cti7o,Vo'..« les vitesses -=-» -p •••• imprimées aux
différents poinls suivant les axes quand le temps t est nul. Pour démontrer le principe de la superposition ou de la coexistence
DYNAMIQUE. v4G5
des petites oscillations, reprenons les p intégrales (iO) et leurs dérivées par rapport au temps. En y faisant (^=0 et remplaçant
X, y, J2, x.«--7-> -^ .... par Xojj/o, ^o.... l'o, Vo...., on trouve pour les constantes A et B, A' et B'... les valeurs
Quand on les aura substituées dans (10), celles-ci donneront à chaque instant la position des différents points du système, à la suite d'un ébranlement primitif déterminé par les valeurs de (xo, f/o , Zo), (x^.... Vo9 vj.,,.)0r si Ton y fait successivement nulles toutes ces quantités moins une, on aura les valeurs de (x, y, z), (x'...) à l'époque f, quand le système n'éprouve qu'une seule perturbation primitive et on reconnaîtra, comme on l'a fait pour les corps flottants, que les valeurs, pour le cas d'une perturbation primitive multiple, sont égales aux sommes des x, t/, z.... dûs à chaque perturbation isolée. On peut donc affirmer qu'd un instant quelconque^ les écarts (x, y, z...) de chaque point de sa position d^équilibre^ d la suite de plusieurs ébranlements primitifs simultanés^ sont égaux aux sommes des écarts qui seraient dits à chaque mode d'ébranlement existant isolément et que les vitesses des différents points sont les résultantes des vitesses particulières.
227. Applications au prisme triangulaire^ au parallélipipède et au prisme à base parabolique. — Pour appliquer les formules du N" 225 au prisme triangulaire à base isocèle, pour lequel les conditions de stabilité ont été trouvées au N" 222 , on remarquera que le plan mené par le centre de gravité du prisme perpendiculairement aux arêtes latérales et le plan mené par le centre de gravité et par l'arétc plongée dans le liquide, divisent le prisme en deux parties symétriques ; d'où on conclut que la verticale, intersection de ces deux plans, est un axe d'inertie principal, ainsi que la parallèle aux arêtes latérales menée par le centre de gravité de la base et la droite horizontale perpendiculaire à cette parallèle. En conservant les désignations du N® 221, et en représentant en outre par 6 la base du triangle isocèle et par h sa hauteur, on trouve pour les moments d'inertie du prisme par rapport à ces deux derniers axes.
On a aussi
2 p i2pl *2V p 3 V V P/
et après avoir fait dans les formules (5) de la page 458,
Ton trouve pour les durées des oscillalions verticales du centre de gravité et des oscillations transversales et longitudinales autour de ce point :
^ \^rg\/}' \v/ *'' [^'' " **'^ \^r *'*]
S*il s'agit d'un parallélipipède rectangle ayant a et 6 pour arêtes horizontales et c pour arête verticale, il faudra faire dans les mêmes formules (5),
« = 0, 6 = 0, c = 0. rf=|(*-^')' A=^P^(6«-HC»),
B==f^/(a«.c«). V=«6c£:, i2)t*=^. ÛA'«=^^
et les durées des oscillalions verticales, transversales et longitudinales seront
V ff V p y 9 i^y -*- 6c'pp' — 6cY*)
^ / pp^c(a> -f- c») ~
Quand 1 épaisseur verticale du parallélipipède est très petite relativement aux deux autres dimensions, comme cela a lieu pour une planche.
les durées des trois oscillalions sont sensiblement égales entre elles et
font dans le même temps qu'une oscillation d'un pendule d'une longueur égale à c^' Enfin s'il s'agit du prisme à base parabolique dont
P on s'est occupé h la fin du N"" 221, en supposant vertical l'axe de la
parabole, on trouve
et les durées des oscillations des trois espèces ont pour valeurs
-(SfsM' W'''^'-W
La condition de stabilité est
Si l'on considère le même corps flottant dans la position d'équilibre inclinée, on trouve
Cette valeur étant négative, on en conclut que celte position d'équilibre n'est pas stable et que par conséquent les oscillations sont impossibles, du moins autour de l'axe parallèle aux génératrices du cylindre.
Equation générale du mouvement d^une masse fluide. Pression en un point. — Hypothèse du parallélisme des tranches. — Loi de Técoulcment hors d^un vase constamment plein. — Pression contre la paroi du réservoir. — Vitesse d*écoalement hors d^un réservoir qui commence à couler. — Écoulement hors d*un réservoir qui se vide. — Pression contre la paroi du réservoir qui se vide. — Cas où le réservoir n*est pas évasé. — Ecoulement hors d*un vase cylindrique qui se vide. — Contraction de la veine fluide. — Ecoulement d*un fluide élastique par un orifice. — Hypothèse du parallélisme des tranches. Cas où le réservoir est dans un état permanent. — Cas où Télat du vase varie à chaque instant. — Résistance des fluides. — Action d^une veine fluide sur un plan. — Résistance d'un fluide indéfini. — Résistance opposée par un corps de révolution. — Autre théorie de la résistance des fluides.
228. Équation générale du mouvement d'une masse fluide. Pression en un point. — On a vu (^° 209] que dans une masse fluide incompressible en équilibre, dont toutes les molécules sont animées des forces accélératrices (XYZ), la différence de pression en deux points est donnée par l'intégrale p/(Xc?x-4-Ydy-*-Zdz) prise entre cesdeux points. Considérons maintenant la même masse fluide en mouvement. L'inertie de la matière fail nailrc une force nouvelle dont les composantes sont pour Funité
de masse, — -r-j » — -j-^ > — -^ > et comme d'après le principe
de d'Alembert il y a à chaque instant équilibre entre les forces motrices et les forces d'inertie, les liens devant être considérés comme inextensibles à cause de l'incompressibilité du fluide, la différence de pression p et p' en deux points de la masse dans l'état de mouvement sera donnée par la formule précédente, en y rempla-
rf*j: d*y d*z
cant X, Y, Z par X — -r^r > Y — -j--» Z — --r— ; oq a donc
'^ dt^ al* dt*
P-p' = Pf{^àx-^Ydy^Zdz)--pU-^dx-i^-^dy^-^Jz\
les deux inlëgrales ayaat pour limites les deux points de la masse fluide et {dx^ dy^ dz) représentant les accroissements des coordonnées (x, y, z) d'une même molécule pendant le temps dt.
Supposons le fluide soumis à la seule action de la pesanteur; en prenant Taxe des Z vertical et dirigé vers le bas, les forces X et Y seront nulles, Z sera égal à ^ et Ton aura, h étant la différence de niveau des deux points.
ou bien
p=^j/+gph-p^(^dx-i-^dy+^dz^
Si Ton désigne par v la vitesse de la molécule qui, à Tépoque f, a pour coordonnées (xyz), on sait qu'on a
dx* dfi* dz* d«* dt* dl*
et en désignant par {dv) ou par ( t" ) ^^ l'accroissement de vitesse d'une même molécule pendant le temps dt^ il viendra
\dtj dt\dtjdl\dt)dt \dij
et par conséquent ,
P—P'^?9h - p U (-£) dt, dans laquelle \ ^ ( y ) ^^ ^^^ 1& somme des produits des vitesses de
chaque molécule par la vitesse [dv) ou [ — \dl qu'elle gagne dans
l'intervalle d<, cette intégrale étant prise depuis le point p jusqu'au point p'.
468 CHAPITRE XXIJI.
11 importe de remarquer que ce que nous avons désigné par
diffère essentiellement de la dérivée partielle de v par rapport à ty
dv que nous représentons par-j- • Dans cette dernière, le dv qui ne se
rapporte qu'au temps, et pour lequel les coordonnées ne changent pas,
est l'accroissement de vitesse en un même point de la masse fluide,
ou la différence de vitesse des deux molécules qui passent successive -
/dv\ ment par un même point, tandis que dans ( -7- ) > Ig dv est Taccrois-
sement de vitesse d'une même molécule pendant le temps dt et considérée dans ses deux positions successives.
229. Hypothèse du parallélisme des tranches. — Cette équation fait connaître la différence de pression en deux points d'un fluide en mouvement et par suite, comme on va le voir, toutes les circonstances de
ce cas est jusqu'aujourd'hui le seul qui ait été traité d'une manière complète et générale. Cette circonstance se présente sensiblement quand on se propose de déterminer les lois de l'écoulement d'un liquide pesant par un orifice pratiqué dans la paroi d'un vase ; en effet adoptons pour abréger les calculs, l'hypothèse suivante sur la manière dont les molécules fluides se déplacent dans un réservoir qui se vide : tandis que le fluide s'écoule du vase, toutes les molécules composant une même tranche horizontale ont une même vitesse verticale, ce qui suppose qu'à chaque instant ces couches horizontales sont formées des mêmes molécules. Cette hypothèse est connue sous le nom d*hypothèse du parallélisme des tranches. Comme le fluide est incompressible et que par conséquent les quantités de fluide qui passent dans un même temps par différentes sections horizontales faites dans le vase, doivent être égales, il est visible que les vitesses avec lesquelles le fluide traverse deux sections, sont dans le rapport inverse des aires de ces sections et l'on aura en comparant une section d'une étendue s pour laquelle la vitesse est t;, à la section a de l'orifice d'écoulement pour laquelle la vitesse est u ,
u:v = s:cij d'où «v = aw.
D'un autre côlé, z étant la profondeur de la section s sous l'origine
dz des coordonnées, -7- sera la vitesse verticale v des molécules qui 7
sont contenues, c'est-à-dire que
dz
-psav, ou dz = vdtj
dt
et l'intégrale 1 *^ ( ;j- ) ^^ prendra la forme suivante :
ds Tt
dz
du Les facteurs •-=- et u sortent du signe d'intégration parce qu'ils se dt
rapportent à une tranche particulière et qu'ils sont par conséquent des
facteurs communs k tous les termes représentés par les intégrales. Or
Jdz — représente la somme des épaisseurs dz de chaque tranche divisée
par sa surface s prise depuis le point p' jusqu'au point p. Gomme s est une fonction de Zy cette intégrale, que nous désignerons par fx, est connue des que l'on connaît la forme du vase. Pour ce qui est de
remarquons que s n'est pas connu en fonction de % mais bien en fonc-
ds tion de z, lequel est fonction de t; la dérivée j- e§t donc donnée par
ds dz
y- -7-* Il vient alors en désignant par 9> la section du vase placée au
niveau du point p\
^« - , ds dz . r ds .
dz al I dz
au
470 CHAPITRE XXUI.
parce que riolégrale doit être prise depuis la traoche correspondant à p' jusqu'à celle qui correspond à p. L'équation générale devient en substituant;
, . du a«tiVi i\
p-p' = i,pA-p«^-^p— (^--^j.
250. Loi de V écoulement hors d'un vase constamment plein. — Pour interpréter cette équation, nous distinguerons deux cas; i® celui où le vase est entretenu constamment plein, et est arrivé à un état permanent; 2* celui où le vase n'étant pas alimenté, se vide par l'orifice. Dans le premier cas, la vitesse d'écoulement u est uniforme et constante, le coelBcient différentiel -7- est nul et l'équation du numéro
dt
précédent devient
. a^uWi \\
Cette équation va nous servir d'abord à déterminer la vitesse d'écoulement du fluide par un orifice placé au fond du vase; en effet, en plaçant les deux points auxquels correspondent les pressions p et p', savoir, l'un à l'orifice d'écoulement et l'autre à la surface libre du fluide et en désignant par tù cette surface libre et par h la hauteur totale du fluide dans le vase, ces pressions p et p' représenteront les pressions dans ces deux points, pressions qui sont égales à celles de l'atmosphère, si l'écoulement a lieu dans l'air; elles seront par conséquent sensiblement égales et l'équation donnera pour la vitesse u d'écoulement,
valeur qui se réduit à
u = Y/lgh,
si l'orifice a d'écoulement est fort petit relativement à la surface libre a> du fluide. On voit que la vitesse d'écoulement est alors égale à celle qui serait acquise par un corps pesant, tombant librement d'une hauteur égale à celle du niveau du fluide au-dessus de l'orifice. Comme ui est la longueur de la veine fluide qui s'est écoulée dans
le temps t, aut est le volume de cette veine ou le volume d'eau écoulée; on trouve donc
iixt =
ou, si a est très petit,
uat =8 ai i/^2gh.
251 . Pression contre la paroi du réservoir. — On déduit de l'expression générale de p — p', la valeur de la pression exercée par le liquide en un point quelconque de la paroi du réservoir; en effet, en prenant pour p' la pression à la surface (ù du liquide et pourp la pression en un point placé à une profondeur h! au-dessous de ce niveau et correspondant à une section Sj Tequation générale du numéro précédent devient
P = P' + pgh' -*- 2p«'«' [p - ^)
et si Ton remplace la vitesse u d'écoulement par sa valeur obtenue plus haut, on trouve
p == p' -i- pjf/i' — pgh —
dans laquelle p' est la pression atmosphérique et pgh' la pression hydrostatique due h la profondeur hf du point p au-dessous du niveau du liquide.
Si le vase éprouve la pression de l'air à l'intérieur et h l'extérieur, celle-ci se trouve détruite, tout se passe comme si l'air atmosphérique n'existait pas et il faut supprimer p'.
252. Vitesse d'écoulement hors d'un réservoir qui commence à couler. — Si le réservoir est entretenu constamment plein, et que la vitesse d'écoulement n'ait pas encore atteint l'uniformité, comme cela a lieu pendant quelques instants après qu'on a ouvert Torifice, en comparant dans l'équation générale du N^ 229, les pressions p' et p au niveau du liquide et à l'orifice du réservoir, s et s' deviendront a et (ùj la différence de niveau h sera constante ainsi que la
section supérieure &) et Tiotégrale p., puisque le niveau supérieur est constant et que cette intégrale devra s'étendre au vase entier; les pressions p et p' seront égales comme représentant la pression due à Fair atmosphérique et on déterminera la vitesse d'écoulement u à une époque quelconque t^ en intégrant l'équation différentielle de la fin du N* 229 depuis le commencement de l'écoulement ou depuis ( = 0.
On trouve, en représentant 1 par i*,
dt
^aixdu
d'où l'on tire
Celle valeur nous apprend que la vitesse d'écoulement ne sera jamais rigoureusement uniforme. Cependant comme au bout d'un temps
très court, rexponenlielle e est négligible devant e ,
la valeur de u converge rapidement vers la suivante
qui est, comme on sait, la vitesse dans l'clat permanent. La quantité de fluide écoulé à la fin du temps t est évidemment
^ , l/2^ f e""2«^ -e"" 2af* fuadi^ot. ^ ^ I — =: 7=:-d^
a}] yyW^ ^^
et en prenant l'inlégrale depuis I = 0, on trouve pour la dépense
^»ogtp- ^e
AU bout d*uD certain temps très court, on pourra encore négliger la seconde exponentielle, et la dépense devient
* ce
Le premier terme proportionnel au temps, est la dépense qui aurait lieu si, dès le premier instant, la vitesse était uniforme.
253. Écoulement hors (Tun réservoir qui se vide. — Si le niveau supérieur est variable, ou si le vase se vide, h cessera d'être constant ainsi que u et /ix; Téquation à intégrer contiendra donc cinq variables t/, (, h, |u(.. Cl). Or si Ton transporte l'origine des coordonnées à l'orifice
d'écoulement. la vitesse de la tranche supérieure sera ^.et comme
ai
rincompressibijité du liquide exige que les vitesses dans les différentes sections soient réciproquement proportionnelles aux aires de ces sections, on a
dh ,, , ,^ (ùdh
: u =3 a : oj, d ou at =
dt au
En éliminant dt de l'équation générale (à la fin du N* 229) et plaçant les points p et }/ à la surface libre et à l'orifice^ cette équation devient, attendu que p et p' se réduisent à la pression atmosphérique,
a^LLudu X* .
^ (ùdh 2
Comme on connaît la forme du réservoir, s est donné en fonc-
J^dz — en fonction de h. Si l'on
substitue ces valeurs dans celte équation, celle-ci ne contiendra plus que les variables u et h.
Quand l'orifice a est très petit, cette équation se réduit sensiblement à la suivante
giA— — tt^^O ou u= ^
GO
comme pour le cas où le vase est entretenu constamment plein, et il vient
(ùdh au
/ g» dk ^ /^ " dh
qui étant intégrée, après qu'on aura remplacé oi> par sa valeur en A, donnera h en fonction de t. Qu*il s'agisse, par exemple, de déterminer la vitesse de Técoulement par Torifice EF (fig. 427) ou a d*un entonnoir conique qui se vide; en supposant que BG soit le niveau du fluide à répoquc (, on fera
«• i*" dz
AD = A, aireBC = «, aireEF-=a, A«=il -, a=l — •
Comme le rayon de la section circulaire a est donné par \ / -» si Ton
désigne par a la tangente de Tangle BGD, la hauteur GÂ de la partie
1 /a du cône enlevée est égale i- \ / - ' et l'on trouve
O y TT
= ttBD* = TT fah -*- %/ - j
dz
aAl/oTT -*- a
l'équation différentielle à intégrer est donc
[ah i/tt + |A)» ^'* \ (afc /tt ^ ^/ay/ ^
L'intégrale fera connaître la vitesse d'écoulement u en fonction de la hauteur h. En remplaçant ensuite u par sa valeur dans
, (ùdh di = ,
OLU
trouvée plus haut, et effectuant une nouvelle inlégralion, on connaîtra t en fonction de A, et par suite h en fonction de t, c*est-à«dirc qu'on connaîtra h chaque instant la hauteur du fluide dans le vase. Pour a très petit, on a, comme on Ta vu plus haut,
et par conséquent ,
ou plutôt, parce que a est très petit,
Tia^h^dh dt = z=:->
a 1/29 et en désignant par H la valeur initiale de h,
Le temps nécessaire pour vider l'entonnoir ou pour rendre h nul est donc
234. Pression contre ta paroi du réservoir qui se vide. — La valeur générale de p — p' fait aussi connaître la pression exercée en un point de la paroi placé à une profondeur A' au-dessous du niveau ; en effet, p étant cette pression, s la section placée à son niveau, /jt l'intégrale \ -^ prise depuis la surface libre (ù du liquide jusqu'à la section Sy p' la pression i la surface libre, on a (Gn du N^ :229),
., du paV/1 i\
cl comme on connaît les valeurs de u cl de -;- en fonction du temps, la
476 cHAPune xxiii.
valeur de p sera déterminée pour chaque instant. II est visible que p' est la pression atmosphérique. Si Torifice a est fort peltt^ la valeur
de u ne varie que par degrés insensibles et — est nul comme pour
Uv
le cas où l'écoulement est dans un état permanent; la valeur précédente se réduit alors à la suivante
p = p'H-p3A'lp«v(i-l)
OU bien, en remplaçant u par sa valeur,
P = p' -^ pjA' — pgh — ^ .
235. Cas où le réservoir n^estpas évasé. — Nous avons supposé dans ce qui prcccde, que chaque tranche horizontale ne différait de la précédente que d'une différentielle, c'est-à-dire qu'il n'y avait pas de changement brusque de grandeur dans l'étendue des tranches horizontales successives et par conséquent dans les vitesses qui leur correspondent, puisque jusqu'ici les accroissements de vitesse ont été représentés parla différentielle dv. Cette circonstance s'exprime en disant que le réservoir était évasé; cela n'aurait plus lieu s'il était terminé par une surface plane et horizontale AB (fig. 128] percée d'une petite ouverture oo'; la différence de vitesse entre la tranche AB et la tranche suivante o& qui sort du vase, ne serait plus alors une différentielle; cependant comme la valeur générale
P— P' = PSA-Pj^r^) dty
de la différence de pression en oo' et en CD contient la somme des vdv pour toutes les tranches, il faudra prendre la somme des vdv au moyen du calcul intégral depuis la tranche supérieure jusqu'à la tranche AB, et pour compléter la somme des vdv^ on ajoutera à cette intégrale le vdv qui correspond à la tranche oo\ c'est-i-dire le produit de sa vitesse par l'accroissement de vitesse qu'elle a pris dans le temps dt. En représentant par o la section AB et par t/ la vitesse dans cette section, il suffira pour avoir l'intégrale prise depuis CD
jusqu*à AB, de changer a en o et t^ en 1/ dans la valeur de rinlégralc du N** 229, qui deviendra
que l'on peut transformer en
du 1 , ,/l 4\
en observant que rincompressibilité du fluide donne
du dvf ocu = ot/ d'où a -r = 0 -7- •
dl dt
Quant au iMv correspondant à la dernière tranche 00', remarquons que comme v' est la vitesse de la tranche AB, et u celle de la même tranche quand elle s'écoule en oo\ l'accroissement de vitesse est u — t/ et le terme à ajouter est u{u — v') ou bien, comme r'o est
égal à aw, au*( j> c'est-à-dire qu'il faut prendre pour
I V ( -T- j d< la valeur suivante
du a^u^/i i 2 2\ du «Vf! 1 /l iVl
''''li'^^\J-^^-^I^-âo)'=^''^dî'^
et l'équation générale devient
dont on fera usage comme au N"^ 250, pour déterminer la vitesse d'écoulement quand je vase reste constamment plein. On trouve ainsi, lorsque a est très petit,
u = ^ ^ 5 ou plutôt u = \/gfh
et en remplaçant u par cette valeur dans dt = donnée au N*23d,
478 COAPITRE XXlll.
on est conduit h une équalion différentielle en A et ( qu'il faudra intégrer. Quand a reste quelconque» on remplacera dt par sa valeur
(tu
dans réquatlon ci-dessus et il vient
p-p'^pgh -4- p«V^-ip«» [l -^, + (l -^J].
équation différentielle en h et ti. Quant à la dépense du vase en un
temps (9 elle est visiblement donnée par fcLudi = a/i/^dt, l'intégrale étant prise depuis t^=o jusqu'à (.
Quand l'orifice a est pratiqué dans la paroi latérale du réservoir, on peut sans erreur sensible considérer l'orifice comme placé au fond d'un vase limité inférieurement par la section horizontale qui passe par le centre de l'ouverture, pourvu que celle-ci soit très petilc', attendu que le liquide au-dessous de ce plan reste immobile malgré l'écoulement. La formule précédente est donc applicable à ce cas, et h est la profondeur du centre de l'orifice sous le niveau supérieur du liquide. Si au contraire l'orifice de la paroi latérale avait une grandeur finie, on considérerait le grand orifice comme composé de petits orifices da placés à des hauteurs h différentes, et le volume d'eau écoulé dans le temps t, se composerait de la somme des volumes auxquels chaque orifice dx livre passage.
256. Ecoulement hors d'un vase cylindrique qui se vide. — Si le vase CABD est cylindrique cl que l'écoulement ait lieu dans l'air, les pressions p et p', représentant les pressions atmosphériques sur la surface supérieure du fluide et à l'orifice d'écoulement, seront sensiblement égales et (ù étant l'aire de la base du cylindre, on fera
'^dz h p=^p'y 0 = û), iJ.
L'équation précédente devient en substituant, et en représentant par
n le rapport- > a
f h udu ^ /. i\
gJi -*-— -77-— mM^ 1 = ^5
^ »* dh \ nj
et l'on trouve en intégrant et en représentant par H la hauteur primitive du fluide dans le vase, correspondant à l'instant où la vitesse
DYNAMIQOE. 479
était nulle,
Celte équation fait connaître la vitesse d'écoulement correspondant à une hauteur h du fluide. Pour avoir la valeur de h en fonction du temps, on fera usage de l'équation
, (ù dh
di = »
et il viendra
dh
dt^ — (/2n' — 2n — 1
Cette différentielle n'est pas inlégrable sous forme finie pour une valeur quelconque du rapport -ou n. Si l'on suppose l'orifice a très petit
relativement à co, l'exposant de —sera un très grand nombre et comme
— est inférieur à l'unité, ce terme sera négligeable; on pourra donc H
poser
y- dh
dt==— |/2/i« — 2/1 — 1
l/^gh d'où l'on tire
^^V2>.«-2n-</,x^xj et hUn^ -J^M=-y.
En substituant cette valeur dans la première intégrale réduite i
|/2n*— 2n — 1 on trouve
480 CHAPÎTHE XXIII.
qu'on peut réduire à la valeur suivante
parce que n étant très grand, 2n* — 2n — 1 diffère peu de 2n*. Le temps t nécessaire pour vider le vase est donné par
Jaudt = Hci) »
qui exprime que le volume du liquide écoulé est égal à la capacité du vase. On tire de 1& en remplaçant u par la valeur précédente et intégrant,
valeur à laquelle on est encore conduit en faisant h nul dans l'intégrale du haut de la page.
257. Contraction de la veine fluide. — Les formules fournies par cette théorie ne donnent pas toujours des résultats conformes à l'expérience. On a reconnu que si l'ouverture est évasée vers l'intérieur, c'est-à-dire si le vase se trouve dans le cas prévu aux N°' 229 à 254, la théorie s'accorde assez exactement avec l'expérience; mais si, comme dans le N° 255, l'oriOce oo' est percé dans une surface plane AB, la quantité d'eau écoulée ou la dépense pratique ne forme plus qu'une fraction de celle que donne la théorie; la première n'est souvent que les 0,62 de celle-ci* Cette différence s'explique par la circonstance que dans ce qui précède l'on a supposé parallèles les vitesses des molécules au sortir du vase, tandis que l'expérience, d'accord en cela avec le raisonnement, fait voir qu'elles sont convergentes vers l'orifice, et cette convergence fait que la veine fluide ne forme pas comme dans le premier cas, un jet cylindrique d'une section égale à celle del'orifice d'écoulement, mais un jet contracté ctcouique dontla section n'est qu'une fraction n de l'orifice. Ce phénomène est connu sous le nom de contraction de la veine fluide. En remplaçant dans les formules l'orifice d'écoulement a par la section de la veine contractée na^ la dépense théorique se rapproche beaucoup de la dépense pratique. Le facteur n se nomme coefficient de la contraction de la veine fluide^ et doit être déterminé par expérience.
258. Écoulement d'un fluide élastique par un orifice. — Lorsque le fluide est élastique, on a vu (N"* 210) que si les forces accélëratrices qui agissent sur lui se font équilibre, la différence de pression en deux points du vase est donnée par
p — p' = /p(Xdx ^ Yrfy + Zrfz),
la somme étant prise entre les deux points. Or, si l'on suppose le fluide
en mouvement, on sait qu'aux forces accélératrices (X, Y, Z] il faut
ajouter les forces d'inertie et les forces d'élasticité intérieures; la
pression est donc alors encore donnée par la formule précédente,
d'x d'v rf*z
pourvu qu'on remplace X, Y, Z par X — -7-^, Y t-|> Z — — ;
et qu'on ajoute f ppdl^ A étant la distance entre deux éléments de la masse ; on a donc
p-p'=4-/p(Xdx-i-Ydy+Zrfz)-Jp^-^dx+-^dy4-^rfzW
les intégrales étant prises depuis le point p' jusqu'au point p.
Si la gravité est la seule force qui agit sur le fluide, on pourra, comme on l'a fait pour les fluides incompressibles, donner à celte expression générale la forme suivante
p — p'=5f/pdz — Jpv^^jd«-^/ppdi,
ou bien, en remarquant que d'après la loi de Mariottc, la densité p
peut être remplacée par tP» k étant un coefficient qui dépend de la
nature du fluide et de la température,
En différenliant par rapport aux coordonnées du point p, p' reste constant, et comme les deux intégrales se rapportent à ces coordonnées, il vient
gdz — " ( ■j" ) <^* "*" pd^'
A étant infiniment petit, pdXeat négligeable, et si l'on suppose la
température uniforme , k sera constant, et on aura en intégrant depuis le point où la pression estp jusqu'à celui où la pression est}/, h étant la différence de niveau,
klos^,^ gh^^v^\t, et klos^ = gh-/v{dv),
dans laquelle {dv) est raccroissement de vitesse de chaque molécule dans le temps dt^ c'est-à-dire, l'accroissement que prend v quand ( augmente de dt et que (x, t/, z) qui entrent dans t?, croissent de
(rfx, dy, dz), ou plutôt de -rrd', n^^' ïïï^** attendu que (x, y, z)
sont fonctions du temps.
259. Hypothèse du parallélisme des tranches. Cas où le réservoir est dans un état permanent. — Si l'on adopte l'hypothèse du parallélisme des tranches, v sera la vitesse d'une certaine tranche et comme celle-ci change avec le temps et avec la position, (dv) est la différentielle de V prise par rapport au temps et par rapport à l'ordonnée z, tandis que l'intégrale se rapporte à l'ordonnée z seulement;
on ne peut donc ici comme au N^ 228, prendre en général -- pour
l'intégrale de v (dr)» à moins que le fluide ne soit arrivé dans le vase à un état permanent^ c'est-à-dire, à moins que les vitesses ne restent constamment les mêmes dans chaque endroit; car dans ce cas v ne changera plus avec le temps et ne sera fonction que de z. En représentant par u et v! les vitesses des tranches passant par les points où les pressions sont p et p'y et en supposant le réservoir et le tuyau évasés, (dv) sera une différentielle prise par rapport à l'ordonnée z, et il viendra
Comme par hypothèse, le réservoir est arrivé à un état permanent, la quantité de fluide qui passe par une section quelconque dans un même temps doit être partout la même. Or o) et &)' étant les aires des sections placées aux points où les vitesses sont u et u', les volumes de fluide qui s'écoulent pendant l'unité de temps sont tùUy &)V et les masses sont ptùUy p'coV; on a donc partout
pwti = pVu',
OU bien, attendu que les densités sont proportionnelles aux pressions,
pcùu = pVu',
En remplaçant u' par sa valeur dans l'intégrale trouvée plus haut, celle-ci devient
Cette équation fait connaître la vitesse d'écoulement u d'un fluide élastique qui sort d'un réservoir R (fig. 429) par un orifice  dont la section est &>; car si l'on place p' en fiC et p en A, et qu'on représente par &)' la surface du piston fiC, p* sera sa charge pour l'unité de surface y compris la pression de Tair, p la pression en A qui ordinairement se réduit h celle de l'air atmosphérique et h la différence de niveau entre BC et A. On trouve pour la vitesse d'écoulement
î2(//i-2fclog^,
valeur qu'on peut réduire à
2fc log^ p'«û>'*
parce que 2gh est le plus souvent très petit relativement au second terme.
240. Cas où Vélat du réservoir varie à chaque instant. — Si le réservoir n'était pas dans un état permanent, la vitesse v d'une même tranche changerait avec le temps et avec l'ordonnée z, de sorte que le
{dv) se composerait des deux différentielles partielles -y dt-^—j-dz^ et
dt az
l'équation qui termine le N"* 238 deviendrait
484 cHAPiTae xxiii.
ou bien
parce que vdt est l'espace dz parcouru par la (rauche et que
dv , 1
Vj-dz est la différentielle de - (i?* — v") prise par rapport à z, A celte
équation doit en être jointe une seconde dite de continuité du fluide, et qui s'obtient de cette manière : o) étant Taire d'une section du réservoir placée à une profondeur Zy la masse de fluide qui y passe dans le temps dt est pvtùdt, La section placée à une distance dz de la pre* roière livre passage à la même masse augmentée de sa différentielle
par rapport à 2 ou pv(ùdt h — ^ — -dz.dt; on voit donc que la tranche
de l'épaisseur dz perd en passant par ces deux sections, c'est-à-dirC|
dans le temps dt, une masse égale h--^. — dzdt, ou en divisant par
dz
le volume (ùdz, une densité égale à " ^ dt; mais cet accroissement
de densité est aussi exprimé par -r-dt; on a donc à chaque instant et dans toutes les tranches
dp d{pv(ù)
dt (ùdz
ou, en remplaçant kp par p,
dp d{pv(ù) dp dv dp vp d(ù dt (ùdz dt '^ dz dz (ù dz
Cette équation jointe à la précédente , après qu'on l'a dérivée par rapport à z, en négligeant le poids du gaz, qui est en effet sans influence, c'est-à-dirCi après qu'on lui a donné la forme
k dp dv dv
p dz dt dz
* suflit pour déterminer p et v en fonction de z etde (, quand on
connaîtra a> et -j- en fonction de z\ la solution complète de la question
dz
dépend donc de Tintégration d'un système de deux équations linéaires simultanées, aux dérivées partielles. On pourra séparer les variables p et V en les éliminant entre ces équations et leurs équations dérivées ; il restera alors h intégrer deux équations aux dérivées partielles d'une seule variable dépendante chacune. Si le réservoir est dans un état permanent, ou si la pression, la vitesse et la densité restent constamihent les mêmes dans chaque section , les dérivées par rapport au
suivantes
^ log~ =: gh — - (v* — i?'*) , (ùpv = const.
ce qui s'accorde avec ce qu'on a vu plus haut.
241. Résistance des fluides. Action d'une veine fluide sur un plan. — On appelle résistance d'un fluide , Teffort nécessaire pour mettre un corps en mouvement dans un fluide en repos ou, ce qui est la même chose, l'effort nécessaire pour maintenir en repos un corps exposé à l'action d'un fluide en mouvement. Supposons le fluide incompressible et réduit d'abord à une veine fluide ABGD (fig. 150) qui s'écoule par un orifice AB, et à laquelle on oppose un plan indéfiui en tout sens £F, incliné d'une manière quelconque sur l'axe de la veine. Considérons la masse fluide incompressible qui dans l'unité de temps est venue à une époque quelconque frapper la surface. On sait qu'il doit à chaque instant y avoir équilibre dans cette masse entre les forces motrices extérieures, les forces d'inertie et les forces intérieures. Gqs dernières disparaissent de l'équation quand le fluide est incompressible, et si on le suppose sans pesanteur, les forces motrices extérieures se réduisent à la résistance du plan incliné, et la force d'inertie est (N° 104) mesurée par la quantité de mouvement perdue ou gagnée pendant l'unité de temps. Puisque ces forces se font équilibre, les composantes estimées suivant une même droite, suivant la normale au plan, par exemple, doivent être égales. Soient R la résistance du plan, v la vitesse d'écoulement, a la section de la veine, n le coefficient de la contraction et e l'inclinaison de la veine sur le plan ; la masse liquide qui vient frapper la surface pendant l'unité de temps est npav, sa quantité de mouvement quand elle atteint le plan est npai;^, ou plutôt npai;(t? -*- 1/), en désignant par 1/ la vitesse acquise par une molécule
486 CHAPÏTllB XXIII.
de la veine depuis sa sortie de roriûcc jusqu'au moment où elle frappe le plan. En désignant par h la hauteur du liquide dans le vase et par h' la différence de niveau de Torifice et du point du plan où s'opère le cboc, cette quantité de mouvement est aussi représentée par
^ngpoi{h-^]/hh^) et sa composante normale au plan est npav(t;+v')sin s
ou 2ngpa{h + y^hh') sin e. Pour avoir la force d'inertie ou la quantité de mouvement perdue normalement au plan , il faut retrancher de cette dernière quantité la composante suivant la normale » de la quantité de mouvement qui reste à cette même masse après que la veine a frappé le plan, composante qui ici est nulle, parce qu'on suppose le plan suffisamment grand pour que la veine après l'avoir atteint, se disperse tangentiellement en tout sens en formant une nappe d'eau ab qui ne conserve aucune vitesse normale au plan; on a donc
R = np(xv{v -H i/) sin g = ^ngpa. [h -h j/AA') sin e.
Gomme le liquide est pesant, il faut aux composantes des forces motrices provenant du chue de la veine, joindre la composante normale du poids p de la nappe liquide ab qui presse le plan et qui dépend de son étendue et de sa forme. Celte composante est p cos d, $ étant l'inclinaison du plan sur l'horizon; la résistance est donc
R *= npav {v -*- 1?') sin e -*- p cos S.
Quand le plan est placé normalement à la direction de la veine fluide,
cette force se réduit à npav(v-*-t?'), wpai;(vH-v')-*-p, npai?(v-Ht/j — p
suivant que Ton a(î=-tr, 3 = 0, (î = 7r, c'est-à-dire suivant que la
direction de la veine est horizontale, verticale et dirigée vers le bas, ou verticale et dirigée vers le haut. Si la distance entre le plan et l'orifice est peu considérable, ces valeurs se réduisent sensiblement à np<xv^, npav'-*-p, /ipay*— p. Ces différents résultats sont confirmés par l'expérience.
242. Résistance d'un liquide indéfini. — Cherchons maintenant la résistance qu'opposé une surface de forme et de grandeur données, au déplacement d'un liquide indéfini dont toutes les molécules se meuvent parallèlement à une droite donnée que nous supposerons horizontale. Pour cela on considérera la masse liquide comme composée de filets infiniment minces , parallèles entre eux. Chacun pro-
DYNÂHIQDE. 487
duira son action sur la surface, et la résistance cherchée sera égale à la résultante de toutes ces actions. Or si Ton prend Taxe des Z parallèle au courant de l'eau, un des filets aura pour section le rectangle dxdy, et y étant Tangle formé par sa direction avec la normale h la surface au point où le filet la rencontre, la résistance normale opposée par l'élément superficiel correspondant sera, en faisant 7} = i parce qu'ici il n'y a pas de contraction,
pdxdyv^ sin (i** — y) == pdxdyv^ cos y, dont les trois composantes suivant les axes sont
pdxdyv^ cos a cos y, pdxdyv^ cos y cos (3, pdxdyv'* cos* y,
a, |3, y étant les angles formés par la normale à la surface avec les axes; les trois composantes de la résistance totale de la surface sont donc
pv^ ff cos a cos ydxdy^ pv' /J*cos y cos jSrfxrfy , pr'yy cos* ydxdy,
ou plutôt, en remplaçant cos a, cos |3 et cos y par leurs valeurs connues (N» 107 du Traité de calcul différentiel) y
pdxdy ÇÇ qdxdy (Ç dxdy
-KjJ-fip^- -^r^f?" 4i
Les valeurs de p et o, ou -7- et -7- sont tirées de l'équation donnée
'^ ^ dx dy
de la surface et les intégrales doivent être étendues à la surface entière qui oppose la résistance, surface qui évidemment est limitée par un cylindre enveloppe dont les génératrices sont parallèles au courant. La résultante de ces trois forces^ donnée par la théorie des moments, sera la résistance cherchée.
245. Résistance opposée par un corps de révolution. — Si la surface est de révolution autour d'une droite parallèle au courant ou à l'axe des Z, les deux premières intégrales devront évidemment être nulles à cause de la symétrie de la surface autour de l'axe des Z et la résistance totale sera parallèle à cet axe et se réduira à la troisième intégrale. On donne à celle-ci une forme plus simple en remarquant que si
est réqoalion de la courbe génératrice, le cosinus de Tangle formé par une normale avec Taxe des Z est représenté par
c*cst-h-dire que Ton a
D'un autre côté, au lieu de prendre dxdy pour la section d'une veine fluide, on peut prendre dsdr^ ds étant un arc infiniment petit du cercle décrit autour de Taxe par le point de la courbe génératrice sur lequel agît la veine, et dr étant l'accroissement du rayon r de ce cercle. La résistance du corps de révolution devient alors
d&dr , . ». i j û
puisque l'intégrale par rapport à $ doit être étendue à la circonférence entière qui a pour rayon r, et que par conséquent l'intégrale dec/s est 27rr. Quant à l'intégrale par rapport à r, elle doit être prise depuis r =3 0 jusqu'à la plus grande valeur de r. Si le corps de révolution est un cylindre horizontal terminé par un cercle de rayon a, l'équation de la droite génératrice sera
r = const., d'où t-=0 et R==p7raV.
Si la surface est une sphère du rayon a, on aura pour équation du cercle générateur,
dz
Jr
et la résistance totale devient
- pTra'i?'.
On voit qu'elle est la moitié de celle qu'opposerait un grand cercle de cette sphère, c'est-à-dire une surface plane égale à ra^. Si la surface
résistante est un cône de révolution ayant pour base un cercle de rayon a, l'équation de la droite génératrice sera
z = r tang a,
dans laquelle a est Tangle au sommet du cône et il viendra
R =3 pTTV^a* cos' a.
244. Autre théorie de la résistance des liquides. — Cette tjbéorie de la résistance des liquides indéfinis, due à Newton, conduit à des valeurs numériques essentiellement différentes de celles que donne Texpérience. Le seul résultat que celle-ci confirme est la proportionnalité de la résistance au carré de la vitesse. Ces divergences qui vont quelquefois jusqu'à la moitié de la valeur, doivent provenir de ce qu'on a supposé que chaque filet liquide produit son action indépendamment des filets voisins et comme s'il était isolé, hypothèse qui en effet est inadmissible. Pour établir cette théorie d'une manière plus rigoureuse, il faudrait connaître toutes les modifications que subit le mouvement des différents filets au moment de leur rencontre avec le corps et tenir compte du frottement qu'ils exercent contre sa surface et du choc qui s'exerce entre eux; mais ces modifications sont trop compliquées pour qu'on puisse les analyser et les soumettre au calcul ; on préfère se fonder sur une autre hypothèse qui paraît plus conforme à la réalité que la première et qui consiste en ce que, si un corps de révolution CÂBÂ'C (fig. 131) est frappé par un liquide se mouvant dans le sens de l'axe BO , le cylindre de liquide DËD'E', après avoir agi sur la surface ABA', continue son mouvement avec la même vitesse et en formant une nappe conique EFET' dont l'inclinaison sur l'axe BO change avec la nature de la courbe génératrice BA. Soient $ cet angle correspondant à une courbe donnée BA, et R la résistance du corps dirigée évidemment dans le prolongement de OB. Isolons par la pensée la masse liquide DED'E' qui vient frapper le corps pendant l'unité de temps. Puisqu'il y a équilibre à chaque instant entre la résistance R et la force d'inertie de ce liquide mesurée par la quantité de mouvement perdue par elle pendant l'unité de temps, il faudra égaler R à cette quantité de mouveçient estimée dans le sens OB. Or, la vitesse étant V et la section AA' du cylindre étant cd, la masse qui htleint le corps pendant l'unité de temps est p(ùv, et la quantité de mouvement, pck)V^. La vitesse et par conséquent la quantité de mouvement reste la
490 CHAPITRE XXIll.
même par hypothèse après le choc; mais comme la direction des filets est inclinée de Tangle d sur OB, sa composante dans le sens OB est pGi>v^cosd et la perte de quantité de mouvement dans ce sens est pwu* — pwu' cos 3; on a par conséquent
R s=3 pwv* (1 — cos $) = nptùv^y
ce qui apprend que cette résistance est représentée par pcov* multiplié par un certain facteur inconnu i — cosà^^^n dont la valeur dépend de la nature de la surface de révolution et qu'il faudra déterminer par des expériences directes.
Si le corps n'était pas de révolution, les différents filets dont se compose le cylindre liquide EF£'F' formeraient encore une nappe conoïdale, mais elle ne serait plus de révolution et par conséquent rincliuaison S ne serait plus la même pour chaque filet. On conçoit qu'il faudra dans ce cas remplacer $ par une certaine inclinaison 9 comprise entre la plus grande et la plus petite, et l'on aura encore
R s= pwt?' (1 — cos 9) s=» npwv*,
71 étant un coeiScient inconnu dont la valeur devra être donnée par expérience.
