IS
qui a pour intégrale
y/^-vBsia«y/-
A cosfl / -z:?--+- Bsin (% / -—-
et si Ton détermine les deux constantes par la condition que la valeur initiale de £ ou gg^ soit égale à e, et que la vitesse initiale soit nulle, on trouve
g = c cos (
vf-
d'où Ton conclut, comme à la page 478, que le centre de gravité G effectue une suite indéfinie d'oscillations isochrones verticales dont
l'amplitude est 2e et dont la durée est
-y/wg
^^^' Oscillations autour du centre de gravité, — Passons au mouvement du corps flottant autour de son centre de gravité considéré
comme fixe, et supposons d'abord sa forme telle que Tua des trois axes d'inertie principaux relatifs au centre de gravité soit dirigé suivant l'axe primitif GG^ et que le plan vertical AFB passant par l'axe primitif divise le corps en deux parties symétriques. Alors une perpendiculaire h AFB élevée au centre de gravité G(fig. iâ4) sera un axe d'inertie principal. Admettons encore que le corps ne prenne un mouvement de rotation qu'autour de cet axe, ou en d'autres termes, admettons que le corps flottant ait un mouvement de tangage sans roulis. En représentant par p la vitesse angulaire autour de cet axe et par A le moment d'inertie, l'équation du mouvement de rotation sera
A^ = 2(yZ-zY),
dans laquelle le second membre représente la somme des moments des forces motrices par rapport à cet axe principal. Les forces qui agissent sur le corps sont verticales et elles se réduisent à la pression du liquide, puisque le poids du corps étant appliqué au centre de gravité fixe G (fig. 424] n'a pas d'influence sur la rotation. Cette pression est égale et opposée au poids de aF6, c'est-à-dire au poids de AFB et au poids de aAB6; si donc on suppose que la figure i24 représente la section symétrique du corps flottant à une époque quelconque t, le moment de la force par rapport à cet axe sera égal et de signe contraire au moment du poids de AFB augmenté du moment de aABb. Le moment de AFB est \pg multiplié par GA. Pour avoir le moment de aAB6, on le décomposera , comme au JS"* 222, en éléments cocd' dont le volume est (ùrriy le poids pgoarin et le moment par rapport à l'axe X, pgcùm [V — r), en désignant par V la distance DC. Le moment de aABb est donc
/ gptùrri [V — r) = pgnV / rw — pgy\ f r«w ,
les deux intégrales étant prises dans toute l'étendue de AB. Le moment de aFb est par conséquent représenté par
ypg . GA 4- pg-fïVf rtù — pgri f «r« ; mais on a
GA = GO sin GOA = d • sin rî = y)d ; ce moment est donc
ygprid 4- pgyiVfrco — pgm f r«co.
454 CHAPITRE XXU.
La première intégrale est le momeat de l'aire AB par rapport à D , c'est-à-dire ùl; la seconde est le moment d'inertie de ÂB par rapport à l'intersection D, que nous savons (N*» 147) être égal à ûfc* -♦- HP. Le moment de àFb devient ainsi
qui se réduit à
si l'on suppose égales les distances en général peu différentes DC et Dg, Si le point 0 était placé au-dessus du point G, le signe de d changerait et le moment deviendrait
gpYi (— \d — Qi») ;
le moment de la pression sur a¥b est donc en général représenté par
-^gpYi{Q.k*zpWd)y
dy et l'équation de rotation, en remplaçant p par -— » prend la forme
ut
En représentant par (i la valeur initiale de yj, c'est-à-dire en supposant la droite GO primitivement écartée de la verticale d'une quantité angulaire |x autour de l'axe A, si le corps est ensuite abandonné à lui-même sans vitesse initiale, l'intégrale obtenue comme au N*" 225, sera
^ , pg {Qk* qp Yd) yî = /xcos«\/ i-^-^ 131 ij
qui apprend que le mouvement de rotation du corps flottant autour de l'axe d'inertie principal A est oscillatoire et que la durée des
oscillations est .
pg (ÛA« zp Vd)
Si le binôme ûft* zp Vd était négatif, l'intégrale au lieu d'être circulaire, aurait une forme exponentielle, qui n'indiquerait plus un mouvement oscillatoire, mais avertirait que le corps s'écarte indéûniment de la position d'équilibre. La condition de stabilité trouvée plus haut se trouve ainsi vérifiée.
225. Théorie générale des oscillations d'un corps flottant. — Nous Tenons de supposer que le corps flottant ne prend un mouvement de rotation qu'autour d*un seul des trois axes d'inertie principaux du centre de gravité. Reprenons maintenant le même problème en lui laissant une plus grande généralité et bornons-nous à supposer que Taxe primitif est un axe d'inertie principal pour le centre de gravité. La figure 124 représentant encore le corps flottant à un instant quelconque tf par le centre de gravité G faisons passer deux systèmes d'axes rectangulaires, l'un (X, Y, Z) représenté par les axes d'inertie principaux dans leur position actuelle, l'autre (X', Y', Z') représenté par les mêmes droites dans la position d'équilibre du corps flottant; l'équation du plan ab rapporté aux premiers axes est de la forme
zt=3ax -^ by -^ Cj
et si l'on désigne par 6 et 6 les distances CE et GG, par rf et ri les inclinaisons des traces du plan ab sur X et Y dans les plans XZ et YZ^ cette équation deviendra
z=>x lang vf -H y lang yj -*- e 4- 5 ,
ou plutôt, les angles /} et y]' restant très petits,
z = /l'x -*- Tjy -*- e -♦- 6.
Le volume du cylindre élémentaire &>g)' est (ù{z — 6); le volume de aAB6 = V est donc f(>i{z — 6) ou y{ f wx h- /) / «y -h ûe, les intégrales étant étendues au plan de flottaison AB entier. Les moments du prisme élémentaire uo)' par rapport aux trois plans coordonnés sont
w (z — b)xy(ù{z — 6) y , M (z — 6) — — • et les sommes des moments de tous les prismes qui composent aAB6 sont données par fiù (z — 6) X = 'f{ f (ùx'^ -*- nf(ùxy -i- e y «x, /w (z — b) y^ri'foixy ■^nftùy'^ -4- e/wy,
i/o) (z' -. 6*) «|yfV«^* + ^^V«y' + iû-:«-4-y3y)y(oxy
•+ zrf ftùx -4- eyjy^wy-*- brl f tùX -h bri/cùy -f-ûôe. 11 suit de là que les valeurs des coordonnées {x,yfZ,) du centre de
gravité de ce volume sont
vî'yttMc*-»- riftùxy-^ zftùx
' r{ f(ùX'{-r\f(ùy'\-tQ.
yj' y wx -♦- yj y wy -4- eu
^ , ^ yf*f(ôx* -*■ y)V6)y* -f- Qe' -4- "Mftùxy -i- 2 (s + h)Y{f(ùx + 2 (e h- 6) V^ay -^ ^flt-:
2 (yj'y* ûm: -♦- y) y wy -f- ils)
Il résulte aussi de la forme de l'équation du plan a6, que l'axe des Z' qui lui est perpendiculaire fait avec les axes (X, Y, Z) des angles qui ont pour cosinus
r{ ri i
l/l -♦- /)« -♦- y/» |/i -+. 73» + y,'« |/1 -t- yj» -h 7]'»
expressions qui se réduisent à r\\ /] et i, & cause des valeurs très petites de y) et rf. En considérant donc le poids de aÂ66 comme une force verticale appliquée au centre de gravité, les composantes de cette force suivant les axes (X, Y, Z) seront — Jpvyj', — Sp^yj, — gfpv» et par conséquent les moments de ce poids par rapport aux axes seront, d'après une formule de la page 4i,
99^ (— y, -+. z,7î), gçv (— z,r{ + x,), gfpu (— a:,yi -♦- y^yjO, c'est-à-dire
Sfp ( â'î'j'*/"^* -♦- s*'''/"i/* -H -iîe*/) -4- rMf(ùxy + (£-*- b)Yirff(ùX
H- (s -♦- 6) yjV^y -♦- Û6yj£ — rffcùxy — y)/û)y* — e/wy j > / 1 i 4
— ^ir/^J'^xy — (e -*- 6) /]'• y wx — (e -4- 6) m^ /(^y — iî6£// j ,
gp(;ri^f(ùxy -*- m'/mj^ + vflftùy — Yirfffùx^ — y/*/wxy — tfi/tùx).
On reconnaît de la même manière 4"" que les trois composantes du poids Vpy de la carène, appliqué en 0 sont — Vpjyj', — Vpgfy), — Vpy, 2*» que les coordonnées du point 0 sont o^o^ — d et 5*" que les moments de ce
DYNAHIQOE, 457
poids par rapport aux axes (XYZ) sont — Vp^yjd, Wçgrld^ zéro; si donc on représente par (A, B, G) les trois moincnls d'inertie principaux du centre de gravité, et par (p, g, r) les vitesses de rotation autour de ces axes à une époque quelconque, les équations du mouvement du corps autour du centre de gravité seront (N* i65], en observant que les forces motrices sont ici le poids de la carène et le poids de aAB6, pris tous deux en sens inverse ,
A^ — (B — C) r7 = — jfp r^yi/j'V"^' ■+- etc. j -4- Vpflfy)d, B-i — (C — A) pr = — yp (y}'/wx« h- etc.) — Vpgfy/d,
C^ — (A — B) py => — yp W^ftùxij H- etc.).
11 est à observer que le second membre de la 5"'' équation est sensiblement nul, puisqu'il ne contient que des termes très-petits du second ordre en y), y/ et e. Le produit pq est aussi négligeable ordinairement, parce que les vitesses de rotation p et g sont généralement
dr très petites. 11 suit de là que -j- est nul et que r est constant; si donc
on n'imprime au corps aucune vitesse do rotation autour de l'axe vertical; cette vitesse r sera constamment nulle. D'un autre côté les vitesses p et ûT sont représentées par — tt ®' "j7 • ^® signe négatif de -=-
dt ut dt
provenant de ce que la valeur positive de p répond à une rotation dans le sens ZX, ce qui correspond à une diminution de l'angle y}. En négligeant dans les seconds membres les termes très-petits du 2°^'^ et du 5iDe ordre, et mettant d= d pour embrasser le cas où le point 0 serait au-dessus de G^ les deux premières équations deviennent
d^Yl A^= — yp (/î'/wJftf -^ yj/wy* -*- s/wy IF V/îrf),
B ^ = — jfp (y] /wxy -*->)'/ «x* -4- e/wx ip Yrfd).
A ces équations du mouvement de rotation il faut joindre celle du mouvement vertical du centre de gravité G, qui est en désignant GC" par j:',
M-^ = — p5f(V -*.»)-*- Mjf,
4I>8 CHAPITRE XXll.
OU bien, en remplaçant la masse M du corps flottant par Vp et en re* marquant que Ton a
z' = GE cos ZGZ' == GE = e H- 6,
Telles sont les trois équations d'où dépendent toutes les circonstances du mouvement. Quand le point d'intersection G de Taxe primitif et du plan de flottaison est le centre de gravité de AB et que des parallèles à X et Y menées par G forment les axes d'inertie principaux de ce plan, les intégrales yodo:, f(»>yyf(ùxy que nous désignons par ûa, i26, Q.e sont nulles, et si le corps ne prend un mouvementde rotation qu'autour de l'axe A, les équations se réduisent aux suivantes, en désignant par Q,k^ et ûfc'* les moments d'inertie y «x* et f^y^ du plan AB,
qui sont celles qui ont été trouvées plus haut. Quand ces conditions ne sont pas remplies, il faut intégrer les équations (i) et (2) qui forment visiblement un système d'équations linéaires simultanées i coefficients constants. On les mettra pour cela sous la forme
dl
ta f I \
dt* B
7-^ = — -^ 6/] -H a/j' -*- e I = — gf (f'/î -«- m"/]' -♦- n"z),
puis on multipliera les deux dernières par des facteurs indéterminés X et X'; en additionnant ensuite, il vient
d^ dV d(« ■*" dt^
DYNASIlQUe. 459
Si l'oD détermine les facteurs X et a' par les conditions m -4- W -H y^m'^ n -f- Xn' H- X'n" .,
l'équation différentielle de\ient, en représentant par 9 le trinôme yj + Xyj' H- X'g,
^ — s, (f + ?/ + xr) ?,
que l'on intégrera comme au N" 225, et qui donnera
9 ou yî H- Wh- X'e = A cos t [/g {/-*-)/-#- /7") -4- B sin t [/g (/-*- X/'h- XT), ou plutôt, s'il n'y a pas de vitesses primitives,
y, ^ lyf ^ )/c = A cos e (/gf(/-HX/'+ XT).... (5).
Les équations qui servent à déterminer les valeurs de X et X' donnent pour ces facteurs trois valeurs ; l'équation précédente est donc triple et en résolvant celles-ci par rapport à 77, y)', s, on trouvera des valcurs^ de la forme
Yi=sy.cost j/ôj H- y cos i i/^g -*- ttcos t j/yj,
yj' =a pi' cos e j/ôj -*- y' cos 'j/Psf -H tu' cos t {/yg, .6)
g = z' — 6 = |:a" cos t l/ag 4- y" cos t [/^g h- tu" cos t [/yg^
qui donnent la solution complète de la question.
226. Oscillations des différents points d'un système de forme variabte. Principe de la superposition des petites oscillations. — Les valeurs qu'on vient de trouver pour y;, n', £ font connaître une propriété remarquable du triple mouvement oscillatoire des corps flottants. Désignons par (X, X,, X„), (X', X/, X'„) les trois valeurs deX et X' tirées des équations (4) et par /)o> riJi £0 les valeurs initiales de y}, '/f^ î. Les trois équations (5) qui correspondent aux trois racines de (4) seront
/) -t- X/î' -*- X'e = A cos t y" g {l -+- X/' -♦- XT),
yj ^ i^y/ ^ l/s = A' cos t [/g {l -t- X/ + X//"). (7)
n -4- \,r/ 4- X'„£ = A" cos t i/g (l + \,l' -+- X'/')i et en faisant t = 0, on trouve pour les constantes arbitraires A, A', A",
A=y:o-»-Xy;o'-t-X'ee„ A'=y;o -4-X//;o'-+-X/£o, A"=» /j^ 4- X„yjo' -i-X'„£o....(8)
460 CHAPITBB XXII.
D'un autre cdtë, si l'on suppose qu'à l'époque initiale, la variable n a seule une valeur 'no^ les deux autres étant nulles, il est visible que pour f «=» 0 on aura
De même si yf ou £ ont seuls une valeur initiale vfo ou Zo , il faudra faire
A^Xtîo', A'=:A,y;;, A" = X^»
ou bien
Les sommes de ces trois dernières valeurs de A, A', A'' étant égales à la première (8), on en conclut qu'à chaque instant les valeurs de y], rf, £, dans l'hypothèse d'un triple ébranlement initial, sont égales aux sommes des trois valeurs des mêmes variables correspondant chacune à un ébranlement unique. Gela résulte de ce que, si l'on pose les trois équations (7) pour chacune des quatre hypothèses précédentes, en additionnant ces neuf équations trois à trois, on sera conduit à trois équations en tout point semblables aux trois équations (7), si ce n'est que 77, y/, £ se trouveront remplacés par les sommes trois à trois des mêmes variables correspondant aux trois derniers modes d'ébranlement. Celte coexistence sans aucune altération de chacun des trois mouvements oscillatoires distincts, dûs aux trois déplacements primitifs, n'est pas particulière aux corps flottants; elle n'est qu'un cas particulier d'un principe général de mécanique connu sous le nom de principe de la superposition des petites oscillations et qui consiste en ce que si un système de points liés entre eux d'une manière quelconque est écarté très peu, de plusieurs manières et simultanément de ses positions d'équilibre stable, le mouvement oscillatoire que prendra chaque point du système sera à chaque instant la résultante des mouvements particuliers qui seraieut dûs à chaque mode d'ébranlement appliqué isolément. Avant de le démontrer, proposons-nous de déterminer les circonstances du mouvement infiniment petit des différents points d'un système de forme variable en équilibre, que l'on a dérangés infiniment peu en leur imprimant des vitesses très petites. Rapportons ciiaque point du système, par des coordonnées toujours très petites {xyz), (a/yV)...., à des axes rectangulaires fixes et parallèles , passant par chaque point dans sa position d'équilibre. Les n conditions de liaisons, que nous supposerons indépendantes du temps, sont exprimées par des équations entre les coordonnées des
différents points dans leur position d'équilibre et les coordonnées variables (x, ifj z), {x^yy'i xf)... Concevons ces fonctions développées suivant les puissances croissantes des variables, on aura en s'arrétant aux
ternies de première puissance et en désignant par (a, (3, y), (a')
certaines constantes,
ax -H (3y -♦- yz -♦- da/ H- •••• =0
afx -*- P'y H- /z -+- 5'x'-t- •••• = 0 (9)
a"x H- ^'y-^fz -\- (^V -I- ... •= 0.
D'un autre côté, en désignant par (X, Y,Z), (X', Y', Z') les forces
accélératrices qui agissent sur chaque point, les mouvements de ceux-ci résulteront des équations
1^"^^' 1^^^' "5^='^' ■rf?r=-x',etc.
Ces forces que nous supposons aussi indépendantes du temps et qui sont nulles dans la position d'équilibre, ou quand [x^y^z)^ (x', t/', z')... s'évanouissent, sont des fonctions de (x, y,z), (x',y,z'J....; si donc on les conçoit développées suivant les puissances croissantes de ces variables et qu'on s'arrête aux premières puissances, il viendra
(i X d^ii
-P- -s= ax -*- 6 V H- cz -+- ex H , — ;. = a,x -h b,y -*- c,z -4- e/xf h
— = a,^ +6,,y -f- c„z + e„x'-h .., — = o'x +6'y +cfz-^ eV+ ••
etc., etc., etc., dans lesquelles a, 6, c sont des constantes connues.
Si l'on tire des n équations (9) toutes du premier degré, les valeurs de n variables en fonction des autres, pour les substituer dans les équations précédentes du mouvement, celles-ci ne contiendront plus que des variables linéaires, indépendantes entre elles, en nombre p, et en les intégrant comme au numéro précédent, au moyen de facteurs )., X', X".... constants indéterminés, on sera conduit à p intégrales de la forme
XH-Xy-t- X'z -♦- //V ■* = A cos « i/ — (a •+- ).a,-H X'a„-i- ÀVh )
+ B sin ( y — (a -*- Aa,+ ?/a„-H X'Vh — ) dans lesquelles A et B, A' et B'.... sont des constantes arbitraires qui
462 CDAPITRE XXil.
dépendent du mode d'ébranlement initial. Ces p intégrales, qui s'obtiennent en substituant dans la précédente pour X, X', X".... les p systèmes de valeurs tirées des p -— 1 équations de condition
