LIVRE I. — CINÉMATIQUE

autour d’un certain axe et d'un glissement le long de cet axe.

La ligne droite autour de laquelle le solide tourne et le long de laquelle il glisse, dans chacun de ses mouvements élémentaires successifs, change généralement de position dans l’espace d’un instant à un autre. C’est pour cela qu’on lui donne le nom d’axe instantané de rotation et de glissement du solide.

Si l’on se fonde sur la première manière que nous avons indiquée pour amener un solide d’une quelconque de ses positions à une autre (§ 28), on peut dire encore que tout mouvement élémentaire du solide est dû à la coexistence d’une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire d’un de ses points, et d'une rotation autour d’un axe passant par ce point.

§ 32. Soit t la quantité infiniment petite dont le solide glisse le long de son axe instantané de rotation et de glissement, pendant le temps intiniment petit dt. Il est clair que les déplacements correspondants des différents points du solide sont tels que leurs projections sur cet axe sont toutes égales à £. La vitesse d’un point quelconque s’obtient en divisant son déplacement pendant le temps dt, par ce temps; la projection de cette vitesse sur l’axe instantané de rotation et de glissement s’obtiendra donc en divisant s par dt. Donc les vitesses dont tous les points du solide sont animés simultanément, à un instant quelconque, sont telles que leurs projections sur l’axe instantané de rotation et de glissement relatif à cet instant, sont toutes égales entre elles.

Il résulte de là que, si l’on mène, à partir d’un môme point O de l’espace, des lignes droites égales et parallèles aux vitesses dont lès divers points du solide sont animés à un même instant, les extrémités de ces lignes droites seront toutes dans un môme plan perpendiculaire à l’axe instantané de rotation et de glissement ; en sorte que, si l’on abaisse du point O une perpendiculaire sur ce plan, cette perpendiculaire sera parallèle à l’axe instantané. Or, pour déterminer le plan dont il s’agit, il sutGt d’en connaître trois points non en ligne droite; il suffit donc aussi d’avoir mené par le point 0 trois lignes droites

MOUVEMENT D'uN SOLIDE OU SYSTÈME INVARIABLE. 31

égales et parallèles aux vitesses simultanées de trois points du solide, avec la condition que ces trois vitesses ne soient pas parallèles à un même plan.

§ 33. Mouvement continu d*ane Usure plane dans son plan. — Pour arriver à nous représenter nettement le mouvement continu d’une figure plane dans son plan, nous commencerons par considérer le cas suivant.

Supposons que la figure mobile tourne d’abord d’un angle a autour d’un pointO,/Î5'.17,puisd’unanglea' autour d’un second point Cf, ensuite d’un angle a" autour du point O", etc. Prenons lafigure àl’instantoù elle va commencer sa rotation autour du point O, et traçons-y la droite 00', égale à 00', et faisant avec celle-ci un angle a. ; après avoir mené par 0', la droite 0',M, telle que l’angle 00', M soit égal à l’angle OCfO", traçons la droite 0',0",, égale en longueur à CfO", et faisant avecO', M un angle a'; construisons de même l’angle 0',0", N égal à l’angle 0'0"0'", puis menons la, ligne 0",0'"„ égale à 0"0'", et faisant un angle a" avec 0",N ; et ainsi de suite. Lorsque la ligure mobile aura tourné de l’angle a autour du point 0, le point 0'„ entraîné par elle, sera venu en Cf, etO',M aura pris la direction CfO". La figure tournant alors d’un angle ot' autour de 0', la droite 0',0", viendra coïncider avec 00", et le point 0", tombera en 0'. La troisième rotation de cette figure amènera le point 0" , en 0'", et ainsi de suite : en sorte que, pendant le mouvement de la figure mobile, lepolygoneOO',0,"0'",... roulera sur le polygone 00'0"0'".... ; ou bien encore, si le premier polygone roule sur le second, en entraînant avec lui la figure mobile, il donnera à cette figure précisément le mouvement que nous lui avions supposé.

§ 34. Passons maintenant au cas où une figure plane se meut d’une manière quelconque dans son plan. Cette figure est animée d’une rotation infiniment petite autour d’un centre instan-

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tané, pendant chaque élément du temps (§ 22). Ce centre instantané de rotation occupe généralement des positions différente.s sur le plan, d’un instant à un autre; généralement aussi il coïncide successivement avec divers points de la figure mobile. Supposons que l’on cherche : 1° le lieu géométrique des positions successives de ce centre instantané sur le plan ; 2“ le lieu géométrique des points de la figure mobile avec lesquels il coïncide successivement. Il est clair qu’on pourra regarder le mouvement de cette ligne comme dû au roulement du second lieu géométrique sur le premier.

Dans le premier des trois exemples que nous avons donnés dans le § 24, la diagonale OC, fig. 13, est toujours égale à AB : donc le lieu géométrique des positions successives du centre instantané C sur le plan YOX est une circonférence de cercle ayant le point O pour centre et la ligne AB pour rayon. D’un autre côté, l’angle BCA étant toujours droit, le lieu géométrique des points de la figure mobile avec lesquels coïncide successivement le centre instantané de rotation, est une circonférenci^ de cercle décrite sur AB comme diamètre. Le mouvement de la ligne AB dont les extrémités glissent surj les axes OX,OY, peut donc être produit par le roulement de la seconde de ces deux circonférences à l’intérieur de la première.

§ 35. Mouvement continu d*un «ollde dont un point reste Immobile. — On peut étendre immédiatement ce qui vient d’être dit du mouvement continu d’une figure plane dans son plan, au mouvement continu d’un solide dont un point reste immobile.

Les positions que l’axe instantané de rotation du solide prend successivement dans l’espace, forment un cône ayant pour sommet le point qui reste immobile. Les positions que cet axe instantané occupe successivement à l’intérieur du corps forment un second cône ayant le même sommet que le premier. Le mouvement continu du solide peut être regardé comme dû au roulement du second cône sur le premier.

§ 36. Mouvement continu d*nu solide qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace. —

MOUVEMENT d’uN SOLIDE OU SYSTÈME INVARIABLE. 3}

Nous pouvoDs considérer ce mouvement de deux manières différentes.

Tout mouvement élémentaire d’un solide peut être regardé comme dû à la coexistence d’une translation égale et parallèle au mouvement élémentaire d’un des points du solide, et d’une rotation autour d’un axe passant par ce point (§ 31). Si l’on prend toujours le môme point du solide pour appliquer cette considération dans les divers éléments du temps qui se succèdent, on arrive au résultat suivant : tout mouvement continu d’un solide peut être attribué au roulement d’un cône lié au solide, sur un cône qui est animé en même temps d’un mouvement de translation dans l’espace.

D’un autre côté, si l’on considère l’axe instantané de .rotation et de glissement du solide relatif à chaque élément du temps, on voit que les positions que cet axe occupe successivement dans l’espace forment une surface réglée ; et que les positions qu’il occupe successivement à l’intérieur du solide forment une autre surface réglée. Le mouvement du solide peut être regardé comme dû au roulement de la seconde de ces deux surfaces sur la première, accompagné d’un glissement le long de la génératrice suivant laquelle les deux surfaces se touchent.