LIVRE I. — CINÉMATIQUE

vant AA'; 2° une rotation autour d’un axe JIN passant par A'.

§ 29. Le système de ces deux mouvements que l’on donne au solide peut être varié d’une infinité de manières, tout en produisant le même résultat définitif. Il suffit en effet, pour cela, de faire jouer successivement, à chacun des points que l’on peut imaginer faire partie du solide, le rôle que l'on a fait jouer au point A. Parmi ces divers systèmes de mouvements, il en existe toujours un dans lequel la translation s’effectue parallèlement à l’axe de la rotation.

Menons en effet un plan P perpendiculaire à l’axe MN, et considérons la figure F suivant laquelle ce plan coupe le solide. Dans la translation suivant AA', la figure F se transporte dans un plan F, parallèle au plan P; dans la notation qui s’effectue ensuite autour de MN, cette figure F tourne dans le plan P', et y prend une certaine position F. Mais pour faire passer la figure plane dont il s’agit, de sa première position F à sa dernière position F', on peut d’abord lui donner un mouvement de translation suivant la perpendiculaire qui mesure la distance des plans P, P', puis la faire tourner dans ce dernier plan autour d’un point convenablement choisi : si l’on conçoit que le solide soit entraîné par cette figure, on voit que la succession des deux mouvements qui viennent d’être indiqués l’amènera de la position (ABCD) à la position (A'B'C'D'). Il résulte de là que l’on peut amener un solide mobile, d’une quelconque des positions qu’il occupe successivement, à une autre de ces positions, au moyen d'une translation suivie d’une rotation autour d’un axe de môme direction que la translation.

§ 30. Considérons maintenant un mouvement élémentaire d’un solide qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace. Il résulte de ce qui vient d’être dit que le solide peut être amené de la position qu’il occupe au commencement de ce mouvement à celle qu’il occupe à la fin, par une translation infiniment petite suivie d’une rotation infiniment petite autour d’un axe de même direction que la translation. Mais ce n’est pas dans la succession de ces deux mouvements infiniment petits que consiste le mouvement élémentaire du solide; car, dans ce mouvement élémen-

MÜUVi:.MENT d’un SOLIDE OU SYSTÈME INVARIABLE. i9

taire, chacun des points du solide décrit un élément rectiligne de sa trajectoire ; tandis qu’en vertu de la succession de la translation et de la rotation dont nous venons de parler, chaque point va de sa position initiale à sa position Anale, en parcourant une ligne brisée formée de deux éléments rectilignes perpendicu-' laires l’un à l’autre. Voyons donc par quoi nous pourrons remplacer la succession de la translation et de la rotaüon, pour avoir le mouvement élémentaire tel qu’il se produit en réalité.

Lorsqu’une vis se meut en pénétrant à l’intérieur d’un écrou Axe, chacun des points de 1a vis décrit une hélice : les diverses hélices qui forment ainsi les trajectoires des différents points de la vis sont tracées sur des surfaces cylindriques de même axe, et ont toutes un même pas. Un mouvement de ce genre peut être désigné sous le nom de mouvement héliçoîdal. Dans un mouvement élémentaire de cetle vis, chacun de ses points décrit un élément rectiligne de sa trajectoire hélicoïdale; d’ailleurs la vis pourrait évidemment être amenée de la position qu’elle a au commencement de ce mouvement élémentaire à celle qu’elle occupe à la An, au moyen d’une translation inAniment petite dans la direction de son axe, suivie d’une rotation inAniment petite autour de cet axe.

On conclut facilement de là que le déplacement total d’un solide, dû à la succession d’une translation inAniment petite et d’une rotation inAniment petite autour d’un axe de môme direc- Aon que la translation, peut être produit par un mouvement hélicoïdal inAniment petit autour du môme axe ; et par suite que tout mouvement élémentaire d’un solide qui se déplace d’une manière quelconque dans l’espace est un mouvement héliçoîdal, c’est-à-diie qu’il peut être assimilé au mouvement d’une»vis qui pénètre dans son écrou.

§ 31. Lorsqu’une vis se meut à l’intérieur de son écrou, on la regarde souvent comme animée de deux mouvements existant simultanément : on dit qu’elle glisse le long de son axe, et qu’en même temps elle tourne autour de cet axe. D’après cette manière de voir, un mouvement élémentaire quelconque d’un solide mobile peut être regardé comme dû à la coexistence d’une rotation