V = 0) X OM

Le point M s’abaisse au-dessous de OM, et perpendiculairement à cette ligne, d’une quantité mtd X OM, pendant le temps td, en vertu de la rotation autour de l’axe 0 ; il s’élève en môme

5Î LIVRE I. — CINÉMATIQUE.

temps, suivant la même direction, d’une quantité vdt, en vertu de la translation : ces deux quantités étant égales, d’après la manière dont le point M a été choisi, il en résulte que ce point M reste immobile. On conclut immédiatement de là que le mouvement résultant du solide est une rotation, autour d’un axe mené par le point M, parallèlement à l’axe 0 de la rotation composante. Pour trouver la vitesse angulaire avec laquelle s’effectue cette rotation résultante, nous observerons que le point O se déplace, pendant le temps tU, d’une quantité vdt, en vertu de la translation, et qu’il ne se déplace pas du tout en vertu de la rotation composante ; son déplacement total est donc vdt, et si nous le regardons comme dû à la rotation résultante, il nous suffira de le diviser par ÜM, pour avoir l’angle décrit pendant le temps dl en vertu de cette rotation : le quotient

Vftt

ÜM

étan> égal à d’après la relation qui nous a servi à déterminer OM, il s’ensuit que la vitesse angulaire, dans la rotation résultante, est égale à u. Le sens de cette rotation résultante est d’ailleurs indiqué par la flèche c, c’est-à-dire qu’il est le même que celui de la rotation composante.

Dans le cas oû l’on aura un solide animé à la fois d’une translation et d’une rotation autour d’un axe non perpendiculaire à la direction de la translation, on décomposera la translation en deux composantes (§§ 52 et 45), dont l’une soit parallèle à l’axe de la rotation, et dont l’autre lui soit perpendiculaire. On composera la seconde de ces translations composantes avec la rotation, ce qui donnera une rotation égale autour d’un axe parallèle au premier. Il restera alors une rotation, et une translation dirigée suivant l’axe de cette rotation, dont la coexistence équivaut à un mouvement héliçoïdal, tel que le mouvement d’une vis qui pénètre dans son écrou (§ 31).

Le mouvement héliçoïdal élémentaire d’un solide pouvant être regardé comme résultant de la composition d’une rotation autour de l’axe instantané de rotation et de glissement du solide, et

MOUVEMENTS COMPOSÉS

d’une translation le long de cet axe, il est facile d’en conclure l’expression de la vitesse d’un point quelconque du solide mobile. Si l’on désigne par v la vitesse de la translation, par w la vitesse angulaire de la rotation, et par r la distance du point que l’on considère à l’axe instantané de rotation et de glissement, on aura

V et o>r

pour les deux composantes de la vitesse du point ; et comme ces deux composantes sont dirigées à angle droit l’une sur l’autre, la vitesse résultante a pour valeur

On voit par là que la vitesse d’un point du solide mobile est d’autant plus grande que ce point est plus éloigné de l’axe instantané de rotation et de glissement, et que cet axe est le lieu des points du solide dont la vitesse est minimum.

§ 54. Composition des rota- Fig. 3S.

tiens autour d’axes parallèles. — / a

Supposons qu’un solide soit animé

à la fois de deux rotations autour o. m •

de deux axes parallèles projetés en O, O', fig. 32, dans le sens des flèches a, a', et avec des vitesses angulaires m, <o'. Prenons, sur la ligne 00', un point M tel que l’on ait

M XOM = w' xO’M.

En vertu de la rotation oxft autour de l’axe 0, le point M s'abaisse au-dessous de 00' d’une quantité u>dt X OM ; en vertu de la rotation mldt autour de l’axe 0', ce point M s’élève au-dessus de 00' d’une quantité uidt X O'M : ces deux déplacements simultanés étant égaux et directement opposés, il s’ensuit que le point M reste immobile. Donc le mouvement résultant est une rotation autour d’un axe qui passe par le point M, et qui est parallèle aux axes des rotations composantes. Cet axe de la rotation résultante, situé dans le plan des axes des rotations composantes, et entre ces deux axes, divise la dis-

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tance 00" qui les sépare en deux parties OM, OM', inversement proportionnelles aux vitesses angulaires «>, co'. Le déplacement total 00, du point 0 est dû uniquement à la rotation autour de l’axe 0', et est égal à w'rft X 00'; si l’on regarde ce déplacement total comme dû û la rotation résultante autour de l’axe M, l’angle décrit pendant le temps dt, dans cette rotation résultante, sera