OM ~ OM

En observant que 00' = 0M-|-0'M, et tenant compte de la relation qui a servi à déOnir le point M, on trouvera que cet angle décrit pendant le temps d i, dans la rotation résultante, est égal à

(to (i>^) dt f

donc la vitesse angulaire, dans le mouvement résultant, est c’est-à-dire la somme des vitesses angulaires dans les mouvements composants. La rotation résultante, autour de l’axe M, s’effectue d’ailleurs dans le sens de la flèche è, c’est-à-dire dans le même sens que chacune des rotations composantes.

En raisonnant absolument de la même manière, dans le cas où un solide serait animé de deux rotations de sens contraires, autour d’axes parallèles, avec des vitesses angulaires «>, &>', et supposante» >.«)', on arrive au résultat suivant. Le mouvement résultant est une rotation autour d’un axe parallèle aux axes des rotations composantes, situé dans le plan de ces deux axes, en dehors de la portion du plan qu’ils comprennent entre eux, et du côté de l’axe correspondant à la plus grande vitesse angulaire <» ; les distances de cet axe de la rotation résultante aux axes des rotations composantes, sont inversement proportionnelles aux vitesses angulaires correspondantes u, u ; la rotation résultante a lieu dans le sens de la rotation composante dont la vitesse est m, et la vitesse angulaire de cette rotation résultante est égale à &> — u'.

Dans le cas particulier où les deux rotations composantes

MOUVEMENTS COMPOSÉS. 5

autour d’axes parallèles, s’effectuent en sens contraires et avec des vitesses angulaires égales, il résulte de ce qui vient d’étre dit que le mouvement absolu du solide est une rotation autour d’un axe situé à l’inSni, dans le plan des axes des rotations composantes, et que cette rotation s’effectue avec une vitesse angulaire nulle ; c’est-à-dire que le mouvement résultant doit être une translation dirigée perpendiculairement au pian des axes des rotations composantes. On peut le reconnaître directement de la manière suivante. Soient O, O', fg. 33, les axes des rotations composantes, et u leur pig. 33.

vitesse angulaire commune. ^ ^

Pendant le temps rfr, un point

quelconque M pris entre les *’ m •

deux axes, et dans leur plan, s’élève une quantité X OM, perpendiculairement à ce plan, en vertu de la rotation autour de l’axe O ; il s’élève, suivant la même direction, d’une quantité ladt X O'M, en vertu de la rotation autour de l’axe O' : son déplacement total est donc u>dt X (MO -f- O'M), ou ce qui est la même chose ladt x 00', c’est-à-dire qu’il est indépendant de la position du point M sur le plan des deux axes 0,0', et entre ces deux axes. De môme un point quelconque M', pris sur le plan des axes 0,0' en dehors de ces axes, s’élève de u>dt X OM', pendant le temps dt, en vertu de la rotation autour de l’axe 0 ; il s’abaisse en même temps de «orfr x O'M', en vertu de la rotation autour de l’axe 0': son déplacement total est donc ladt X OM' — bidt X O'M', ou encore tadl x 00', comme pour le point M. Il suit de là que l’existence simultanée de deux rotations égales et de sens contraires, autour d’axes parallèles, ce qui constitue, suivant l’expression admise, un couple de rotations, équivaut à une translation dirigée perpendiculairement au plan des axes des deux rotations, ou au plan du couple ; et que la vitesse de cette translation s’obtient en multipliant la vitesse angulaire commune des deux rotations, par la distance des axes autour desquels ces rotations s’effectuent (w X 00').

Si un solide est animé à la fois d’un nombre quelconque de rotations de môme sens autour d’axes parallèles, on trouvera faci-

&6 LIVRE I. — CINÉMATIQUE,

lement son mouvement résultant, en composant d’abord deux de ces rotations en une seule, comme nous l’avons dit au commencement de ce paragraphe ; composant ensuite la rotation résultante ainsi obtenue avec une troisième des rotations dont il s’agit ; puis cette seconde rotation résultante avec une quatrième des rotations données, et ainsi de suite. Le mouvement résultant définitif sera donc une rotation, de même sens que les rotations composantes données, autour d’un axe parallèle aux axes de ces rotations composantes ; et la vitesse angulaire résultante sera la somme des vitesses angulaires composantes. Dans le cas où un solide sera animé à la fois d’un nombre quelconque de rotations autour d’axes parallèles, les unes dans un sens, les autres dans un sens opposé, on trouvera le mouvement résultant de la manière suivante : on composera d’abord en une seule toutes les rotations qui ont lieu dans un sens, puis on en fera autant des autres rotations qui ont lieu èn' sens contraire ; enfin, on composera entre elles les deux rotations résultantes partielles ainsi obtenues, ce qui donnera, pour le mouvement résultant du solide, une translation ou une rotation, suivant que les vitesses angulaires de ces deux rotations résultantes partielles seront égales ou inégales.

§ 55. Composition des rotations autour d'axes concourants. — Considérons un solide animé de deux rotations élémentaires simultanées autour de deux axes, AB, CD, qui passent par un même point E, fig. 34, et représentons par w, u, les vitesses angulaires correspondant à chacune d’elles. Le point E ne se déplaçant en vertu d’aucune de ces deux rotations, il est clair que le mouvement résultant sera une rotation autour d’un axe passant par le point E (§ 27). Pour trouver cet axe, imaginons que nous portions sur les directions AB, CD, et, à partir de leur point de rencontre E, des longueurs EF, EG, proportionnelles aux vitesses

MOUVEMENTS COMPOSÉS

angulaires co, w' ; supposons en outre que ces longueurs soient portées dans un sens tel, qu’en mettant son œil au point E, et regardant, soit dans la direction EF, soit dans la direction EG, on voie la rotation correspondante s’effectuer dans le sens dans lequel nous voyons habituellement tourner les aiguilles sur le cadran d’une horloge ou d’une montre. Cela fait, construisons un parallélogramme EFGH, sur les deux lignes EF, EG ; nous allons voir que la diagonale EH de ce parallélogramme est précisément l’axe de la rotation résultante.

En effet, en vertu de la rotation autour de ÂB, et pendant le temps dt, le point H s’élève au-dessus du plan BED, d’une quantité u>dt x HP ; en vertu de la rotation autour de CD et dans le même temps, ce point H s’abaisse au-dessous du plan BED d’une quantité u>dt X HQ. Or, les deux triangles, HFP, GHQ, étant semblables, il s’ensuit qu’on a