OA

puis décrivons deux circonférences de cercle, des points 0,0'

comme centres, avec OA et O'A pour rayons : ces deux circonférences se nomment les circonférences primi.

tives de l’engrenage.

L’arc décrit pendant le temps rfr, par un point' de la circonférence OA , est égal à wrffxOA; l’arc décrit dans le même temps par un point de la circonférence O'A est égal àuwffxO'A : donc ces deux arcs sont égaux, d’après la position que le point A occupe sur la ligne 00'. Ainsi l’engrenage doit être construit de manière qu’il passe en même temps des arcs égaux des deux circonférences primitives par la ligne des centres. On en conclut facilement que, pendant le mouvement des deux roues, les circonférences primitives roulent l’une sur l’autre (§63).

On adopte pour surfaces des dents des roues, des surfaces cylindriques ayant leurs génératrices parallèles aux axes des arbres ; on n’a donc qu’à déterminer la forme des bases de ces

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MOÜVEMENTS COMPOSÉS.

surfaces cylindriques, c’est-à-dire les profils des dents. Le profil des dents de l’une des deux roues peut être pris arbitrairement; celui des dents de l’autre roue s’en déduira par la condition que, le mouvement se transmettant par l’intermédiaire de ces dents, les circonférences primitives de l’engrenage roulent l’une sur l’autre.

Soit AB le profil d’une dent de la roue O'. Si l’on fait tourner les deux roues indépendamment l’une de l’autre, en leur donnant les vitesses angulaires <>>,u', le profil de la dent correspondante de la roue O devra rester constamment tangent à la courbe AB, tant que ces deux dents se trouveront dans des conditions convenables pour être en prise l’une avec l’autre, eu égard à leur longueur. Il en sera encore de même si, outre les mouvements de rotation isolés dont nous venons de parler, on donne à l’ensemble des deux roues un mouvement commun de rotation égal et contraire au mouvement de la roue O, afin de réduire cette roue O à l’état de repos, et de donner à la roue O' un mouvement absolu qui soit précisément le mouvement relatif qu’elle avait par rapport à la roue O (§62). Le mouvement que prendra ainsi la roue O' sera évidemment un roulement de la circonférence primitive C'A, sur la circonférence OA supposée immobile. Donc le profil ADM, que l’on doit donner à la dent de la roue O, est Venveloppe des positions successives que prend la courbe AB, lorsqu’elle est entraînée par le cercle O'A, roulant sur le cercle OA.

Le cercle O'A, roulant, comme nous venons de le dire, sur le cercle O.A qui reste immobile, et étant venu dans une position quelconque O', A, de manière à toucher le cercle OA en G, on obtient le point où la position correspondante A, B, de la courbe AB touche son enveloppe, en abaissant du point G la normale CD sur A, B,. Gar le cercle mobile, en continuant à rouler, tourne d’abord d’une quantité infiniment petite autour du centre instantané G. Soit DGD' l’angle dont il tourne ainsi : l’arc DD', de la courbe A, B, peut être regardé comme un arc de cercle décrit du point G comme centre, avec GD pour rayon. Après la rotation infiniment petite dont nous parlons, le point D' de la

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courbe A,ü, sera donc venu en D ; et par suite, le point D est situé à la fois sur la courbe A, B, et sur la position infiniment voisine qu’elle va prendre en tournant autour du point C ; donc enfin le point D appartient à l’enveloppe, qui est le lieu géométrique des intersections successives de la courbe mobile AB.

Le profil des dents de la roue O ôtant déduit, comme nous venons de le dire, du profil adopté arbitrairement pour les dents de la roue O', considérons ces deux roues dans une position telle

que les deux profils se touchent en un point quelconque M, fig. 41.

D’après ce qui a été dit, la ligne AM est la normale commune aux deux profils en M. Le mouvement relatif de la roue O' par rapport à la roue O étant un mouvement de roulement du cercle O'A, sur le cercle OA, le mouvement relatif élémentaire de cette roue O' sera une rotation infiniment petite autourdu point A; dans ce mouvement élémentaire le profil EF adapté à la roue O' glisse d’une certaine quantité sur le profil GH adapté à la roue O : nous allons *'• déterminer la valeur de ce glisse-

ment. La roue O tourne avec une vitesse angulaire u, et la roue G avec une vitesse angulaire <<>'; lorsque nous donnons à l’ensemble des deux roues un mouvement égal et contraire au mouvement de la roue O, pour ramener celle-ci h l’état de repos, et faire prendre à la roue O' un mouvement absolu égal au mouvement relatif qu’elle avait d’abord, cette roue O' se trouve animée H la fois d'une vitesse angulaire <■> autour de l'axe O, et d’une vitesse angulaire ù>' de même sens que la précédente, autour de l’axe O' : ces deux rotations simultanées de la roue O', considérées pendant l’élément de temps dt, équivalent à une rotation unique autour d’un axe parallèle aux axes O, G, mené par

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le point A, et la vitesse angulaire de cette rotation résultante est égale à w-|-a)' (§54). L’angle décrit par la roue O', pendant le temps dl, en vertu de son mouvement relatif, est donc (w-f-o)') dt; et si nous désignons par p la longueur de la normale AM, nous aurons

;> (fc) -|-

pour le déplacement relatif élémentaire du point M pris sur le profil EF, c’est-à-dire pour ce que nous nommons le glissement élémentaire {§ 65). Si nous désignons par ds l’arc infiniment petit de chacune des circonférences primitives qui passe par la ligne des centres pendant le temps dt, et par r,r', les rayons 0a,0'A de ces circonférences, nous aurons

J, ds ,, ds

üMz/ = — ) (i)at = -^5

et par suite l’expression du glissement élémentaire deviendra

§•68. Engrenages coniques. — Dans le cas où les axes de rotation des deux arbres concourent ve rs un même point S, fig. 42, on détermine la forme des dents des roues qui doivent transmettre le mouvement de rotation de l’un de ces deux arbres à l’autre, par des considérations analogues à celles que nous venons de présenter pour le cas où les axes des deux arbres sont parallèles.

Soit encore «O la vitesse angulaire de l’arbre qui tourne autour de l’axe SN, et w' celle de l’autre arbre, qui tourne autour de

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LIVHE I. — CINEMATIOUE.

SN'. Prenons, dans le plan NSN', un point A tel que les distances 0A,0'A de ce point aux axes SN,SN' satisfassent à la condition

OA to ^

puis décrivons, des points 0,0', comme centres, dans des plans respectivement perpendiculaires aux axes SN,SN' des circonférences de cercle ayant OA et O’A pour rayons. L’intersection des plans de ces deux cercles passe par le point A ; elle est perpendiculaire au plan NSN', et par conséquent aux deux lignes 0A,0'A : donc cette intersection est une tangente commune aux deux cercles en A. Si nous regardons les deux circonférences 0A,0'A comme les bases de deux cônes ayant tous deux le point S pour sommet, ces deux cônes qui se touchent le long de la génétratrice AS, se nomment les cône$ primitifs Ae l’engrenage.

Pendant le mouvement des deux arbres, les deux circonférences OA.O'A roulent l’une sur l’autre ; on le reconnaît exactement de la même manière que dans le cas des engrenages cylindriques. Les deux cônes primitifs roulent également l’un sur l’autre.

On prend pour surfaces des dents des deux roues des surfaces coniques ayant le point S pour sommet commun. Si l’on donne arbitrairement la surface des dents de l’une des deux roues, on détermine celle des dents de l’autre roue, en faisant rouler le cône primitif de la première roue sur le cône primitif de la seconde : la surface cherchée n’est autre chose que Venveloppe des positions successives que prend la surface donnée, en vertu de ce roulement. Il est aisé de voir, en outre, que le plan qui passe à un instant quelconque par la ligne de contact des deux cônes primitifs et par la ligne de contact des surfaces coniques de deux dents, appartenant l’une à la première roue, l’autre à la seconde roue, est dirigé normalement à ces dernières surfaces, tout le long de leur ligne de contact.

Si l’on veut, à un instant quelconque, déterminer le glisse-

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ment élémentaire des dents l’une l’autre, en un point M pris sur leur ligne de contact, on y arrivera encore comme dans le cas des engrenages cylindriques. Pour trouver le mouvement relatif élémentaire de la roue (y, par rapport à la roue O, pendant le temps dt, compté à partir de l’instant que l’on considère, appliquons à l’ensemble des deux roues O, (y, un m, uvemeiit commun égal et contraire au mouvement de la roue O ; cette roue O sera réduite au repos, et la roue (y sera animée à la fois d’une vitesse angulaire u autour de l’axe SN, et d’une vitesse angulaire u>' autour de l’axe SN'. Mais ces deux rotations simultanées de la roue O équivalent à une rotation unique (§55), autour d’un axe que l’on reconnaîtra sans peine être dirigé suivant la ligne de contact SA des deux cônes primitifs ;et la vitesse angulaire Q de cette rotation résultante sera représentée par la diagonale SH du parallélogramme SFGH, si les côtés SF,SG sont pris de manière à représenter les vitesses angulaires composantes 0), w'. Si l’on désigne l’angle OSA par a, et l’angle tySA par a, on a

SH = SF cos * -h SG cos a’ ;

un aura donc au.ssi

U = bi C08 a -+- w' COi a' .

D'après cela, l’angle décrit par la roue (X, dans sou mouvement relatif élémentaire autour de l’axe SA, sera égal à

(m coa O •+ m' cos »') <H ;

et si l’on désigne par p la longueur de la perpendiculaire abaissée du point M dont on veut évaluer le glissement, sur l’axe de rotation instantané S.\, on aura

./)((U COS a -t- w’ cos a') (It

pour le glissement élémentaire de ce point M. Désignons encore par ds l’arc infiniment petit de chacune des circonférences