CHAPITRE IV

ACCÉLÉRATION DANS LE MOUVEMENT I)’uN POINT.

§ 69. Accélération dan* le moncement rectiligne nnirormément varié. — Considérons un point se mouvant en ligne droite, d’un mouvement uniformément accéléré (§ 11). L’équation de ce mouvement est de la forme

* = a + if + ,

et la vitesse est donnée à un instant quelconque par la relation

w •= 6 + 2ct.

■\insi que nous l’avons déjà remarqué, dans un pareil mouvement, la vitesse v s’accroît proportionnellement au temps t ; et 2c est la quantité dont elle s’accroît dans l’unité de temps.

On peut dire que 2c sert de mesure au degré plus ou moins grand de rapidité ou de lenteur avec lequel s’effectue l’accroissement de la vitesse dans le mouvement particulier dont on s’occupe. Cette quantité 2c est désignée sous le nom A' accélération. On voit qu’elle joue, relativement à la variation de la vitesse, dans le mouvement rectiligne uniformément accéléré, le rôle que joue la vitesse relativement à la variation de l’arc de trajectoire qui sépare le point mobile d’un point fixe de cette trajectoire, dans le mouvement uniforme (§ 6). Cette définition de l’accélération, établie en admettant implicitement que 6 et c sont tous deux positifs, s’applique, en général, quels que soient les signes de b oie ; c’est-à-dire que, dans le mouvement rectiligne uni-

UVllK I. — CINEMATIQUE.

forméinent varié quelconque, représenté également par l’équation ci-dessus, on désigne toujours 2c sous le nom d’accélération. On voit que l’accélération est positive ou négative en même temps que c.

Pendant un intervalle de temps infiniment petit dt, la vitesse y s’accroît de ’îcdt : c’est ce que nous nommerons Vélément de vitesse acquise, ou la vitesse acquise élémentaire, corresponilant à ce temps infiniment petit. Il suffit, comme on voit, de diviser la vitesse acquise élémentaire par dt, pour avoir l’accélération.

§ 70. Accélération «lana le mouvement rectiligne varié en général. — Nous avons vu (§8) par quelles considérations on est autorisé à regarder un mouvement varié quelconque comme étant la succession d’une infinité de mouvements uniformes dont chacun a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit. Des considérations entièrement analogues, appliquées au cas d’un mouvement rectiligne dans lequel la vitesse varie d’une manière quelconque d’un instant à un autre, nous permettront également de regarder le mouvement rectiligne varié en général, comme étant la succession d’une infinité de mouvements rectilignes uniformément variés, tous de même direction, dont chacun a lieu pendant un intervalle de temps infiniment petit.

Cela posé, on nomme accélération à un instant quelconque, dans un mouvement rectiligne varié, l’accélération du mouvement rectiligne uniformément varié qui forme un des éléments (In mouvement rectiligne varié à l’instant que l’on considère.

Soit V la vitesse du mobile à la fin du temps è, et y -(- dv ce que devient cette vitesse à la fin du temps t -)- dt, do est la vitesse acquise par le mobile pendant l’élément du temps dt. Si nous regardons le mouvement comme uniformément varié pendant cet élément du temps, conformément à ce que nous venons de dire, nous n’aurons qu’à diviser la vitesse acquise élémentaire do par le temps dt, pour avoir l’accélération à la fin du temps/; en sorte que, si nous désignons cette accélération par j, nous aurons

ACCÉLÉRATION DANS LË MOUVEMENT D’uN POINT.

SI

dv

^=Tt

Si le mouvement rectiligne varié a pour équation

on en déduit

et par suite

§71. La loi de variation de la vitesse du mobile, dans le mouvement rectiligne varié, peut être représentée par une ligne courbe, de même que précédemment nous avons - représenté par une courbe la loi de variation de la distance qui sépare le mobile d’un point fixe de sa trajectoire (§ 5). Il suffit en effet, pour cela, de représenter un temps quelconque t par une certaine ligne dont la longueur lui soit proportionnelle, et de regarder cette ligne et celle qui représente la vitesse correspondante V du mobile, comme étant l’abscisse et l’ordonnée d’un point, rapportées à un système d’axes coordonnés rectangulaires. La forme de la courbe, dont les différents points correspondent ainsi aux divers systèmes de valeurs de t et de v, donnera une idée nette de la manière dont la vitesse du mobile varie avec le temps.

Dans le cas du mouvement uniformément varié, la vitesse variant proportionnellement au temps, la courbe qui représente la loi de cette variation de la vitesse se réduit à une ligne droite AB, fig. 43. L’accélération, dans un pareil mouvement, étant la quantité dont la vitesse du mobile s’accroît dans l’unité de temps, on l’obtiendra par une construction analogue à celle qui nous a permis de trouver la vitesse dans le cas du mouvement uniforme dont la loi est également représentée par une ligne droite (§7). On mènera, par un point quelconque G, une ligne CD parallèle à l’axe OT et égale à la ligne que l’on a adoptée

Fig. 43.

81 LIVRE I. — ClNEMATIOl’E.

pour représenter l’unité de temps; puis par le point D, on mènera une parallèle DE à l’axe OV, jusqu’à la rencontre de la

ligne AB, en E : la longueur de la ligne DE fera connaître la quantité dont la vitesse s’accroît dans l’unité de temps, c’est-à-dire l’accélération. Il est à peine nécessaire d’ajouter que la construction que nous venons d’expliquer, en admettant implicitement que la vitesse augmente avec le temps, s’appliquerait égalementdans le cas où la vitesse irait en diminuant, c’est-à-dire où l’accélération serait négative.

Lorsqu’un mouvement rectiligne n’est pas uniformément varié, la ligne qui représente la loi de variation de la vitesse du mobile n’est plus une ligne droite. Il est aisé de voir que la considération sur laquelle nous nous sommes appuyés pour déOnir l’accélération, et qui consiste à regarder le mouvement varié comme formé par la succession d’une infinité de mouvements uniformément variés ayant lieu chacun pendant un intervalle de temps infiniment petit, revient à regarder la courbe qui représente la loi de variation de la vitesse du mobile comme un polygone infinitésimal.

Soit G, pg. 44, le point de cette courbe qui correspond à une valeur quelconque t du temps. Le mouvement uniformément

varié qui forme un des éléments du mouvement varié, à l’instant que nous considérons, est représenté par l’élément de la courbe AB correspondant au point G ; et si ce mouvement uniformément varié se continuait pendant un temps quelconque, il serait représenté par le prolongement rectiligne de l’élément de courbe dont nous venons de parler, c’est-à-dire par la tangente CD. L’accélération dans le

ACCÉLÉHAXION DANS LE MOUVEMENT D’uN POINT. 83

mouvement varié à la fin du temps r, étant précisément l’accélération de ce mouvement uniformément varié (§ 70), nous en trouverons la valeur en opérant sur la tangente CD comme nous avons opéré il n’y a qu’un instant sur la ligne AB de la fig.A3. Traçons la ligne parallèle à OT et égale à la ligne qui représente l’unité de temps ; puis menons par le point £ une parallèle EF à l’axe OV, jusqu’à la rencontre de la tangente CD : la longueur de la ligne EF nous fera connaître l’accélération dans le mouvement varié, à la fin du temps t.

§ 72. Accélération dans le monvement cnrvlll- «ne. — Dans un mouvement rectiligne quelconque, la vitesse acquise élémentaire relative à l’élément de temps dt, n’est autre chose que la vitesse infiniment petite qui, en se composant avec la vitesse du mobile à la fin du temps t, produit la vitesse qu’il possède à la fin du temps t-f-rff; c’est la vitesse qui lui a été communiquée pendant le temps infiniment petit dt. Dans le cas où le mouvement sera curviligne, nous nommerons encore élément de vitesse acquise, ou vitesse acquise élémentaire, la vitesse que le point mobile acquiert pendant le temps infiniment petit dt, c’est-à-dire la vitesse qui, en se composant avec la vitesse du mobile à la fin du temps t, produit celle dont il est animé à la fin du temps t-\-dt.

En outre, nous nommerons accélération du mobile, à la fin du temps t, la vitesse qu’acquerrait ce mobile pendant l’unité de temps, si, dans chacune des portions infiniment petites et égales dans lesquelles on peut concevoir que cette unité de temps soit partagée, il acquérait un élément de vitesse de même grandeur et de même direction que l’élément de vitesse qu’il acquiert réellement pendant le même temps infiniment petit à partir de la fin du temps t. il est clair que l’accélération dans le mouvement rectiligne est comprise, comme cas particulier, dans l’accélération telle que nous la définissons pour le mouvement curviligne. i

Il résulte de cette définition que l’accélération, à un instant quelconque, dans le cas général, est une vitesse finie, dont la direction et le sens sont les mêmes que la direction et le sens