LIVRE I. — CINÉMATIOÜE

de la vitesse acquise élémentaire relative à cet instant ; et que, de plus, pour avoir la grandeur de cette accélération, il suffit de diviser la vitesse acquise élémentaire par le temps infiniment petit e/r qui lui correspond.

Dans le cas où le mouvement est rectiligne, la vitesse du mobile a toujours la même direction ; la vitesse acquise élémentaire, et, par suite, l’accélération, auront donc aussi toujours la même direction, qui est celle du mouvement. Lorsquele mouvement est curviligne, il n’en est plus de même ; la direction de l’accélération n’est pas connue immédiatement, comme dans lemouvement rectiligne. Aussi a-t-on à déterminer, dans chaque cas particulier, à la fois la grandeur et la direction de l’accélération : c’est ce qu’on fait en déterminant les grandeurs de deux composantes de cette accélération suivant des directions connues, ainsi que nous allons l’indiquer.

§ 73. Accélération (angentlelle, accélération centripète. — Soit AB, fig. 45, la trajectoire du point mobile.

Supposons qu’il setrouveenMàla fin du temps t et en M'à la fin du temps t -{-dt. Par un point quelconqueCmenonsune droite CD égaie et parallèle à la vitesse V du mobile Fig. 45. en M ; puis une

seconde droite GE

égale et parallèle à la vitesse u-j-rfo qu’il possède en M'. La ligne DE est évidemment égale et parallèle à la vitesse qui, en se composant avec la vitesse v du mobile en M, produit la vitesse 0 -f- rfo du mobile enM' ; donc cette ligne DE est égale et parallèle à la vitesse acquise élémentaire correspondant à l’élément du temps que le mobile emploie à aller de M en M'. Il résulte de là que l’accélération du mobile, à la fin du temps /, est dirigée

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suivant une parallèle à DE menée par le point M, et de plus, que la grandeur de cette accélération s’obtiendra en divisant DE par dt.

Si nous abaissons EF perpendiculaire sur CD, et que nous construisions le rectangle DFEG, nous pourrons regarder la vitesse infiniment petite DE comme résultant de la composition des vitesses DF, DG. Nous pouvons donc aussi regarder la vitesse acquise élémentaire du mobile en M, comme résultant de la composition de deux autres vitesses, dont l’une, égale à DF, est dirigée suivant la tangente à la trajectoire en M, et l’autre, égale à DG, est dirigée suivant une perpendiculaire à cette tangente menée dans le plan osculateur de la courbe, c’est-à-dire suivant le rayon de courbure MO. En divisant ces deux composantes de la vitesse acquise élémentaire par dt, on aura les grandeurs des deux composantes de l'accélération suivant les mêmes directions.

La composante de l’accélération du mobile suivant la tangente à la trajectoire se nomme V accélération tangentielle. S.i valeur s’obtient en divisant DF par d^;mais on a

DF = (i -h dv) C08 do — v,

en désignant par da. l’angle infiniment petit que forment entre elles les directions des vitesses o et o-|- du, ou, ce qui revient au même, l’angle des tangentes à la trajectoire menées par les points M, M' ; on a donc pour l’expression de l’accélération tangentielle

DF (b -H dv) C08 do — t' dv 1 do , di~ dt "dl"" 2

quantité qui se réduit simplement à

dv

Tt

fia vitesse v, qui est fournie par la relation (§ 9)

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est positive ou négative, suivant qu’elle est dirigée dans le sens dans lequel on compte les distances positives sur la trajectoire, ou en sens contraire ; il en est de même de 1 accélération tangentielle, qui est également positive ou négative, suivant qu’elle est dans le sens des vitesses positives ou en sens contraire.

La composante de l’accélération suivant le rayon de courbure de la trajectoire se nomme accélératim centripète .'S.We est toujours dirigée de la courbe vers le centre de courbure O. Sa valeur s’obtient en divisant DG par dt, et comme on a

• DG = (w -t-d«) sin

il en résulte que l’accélération centripète est égale à

(t) -f- dv) 8ln da.

di

OU simplement

dOL

Observons maintenant que l’angle rfa est égal à l’angle des normales qui joignent les deux points M, M' au centre de courbure 0; en sorte que, si l’on désigne le rayon de courbure MO par p, on a

da. ds V

dt prf< P

D’après cela, la valeur de l’accélération centripète devient

Si l’on construit un parallélogramme sur l’accélération tangentielle et l’accélération centripète — , la diagonale de ce

parallélogramme sera l’accélération y du mobile au point M, à laquelle on donne souvent le nom A' accélération totale, pour la distinguer de ses composantes.

Dans le cas du mouvement rectiligne, p est infini, l’accéléra-

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tion centripète est nulle, et l’accélération totale se réduit à sa dv

composante tangentielle ^ . Dans le cas du mouvement curviligne uniforme, ^est nul, et l’accélération totale se réduit à sa

composante normale — . Enfin, dans le cas du mouvement recti-

ligne uniforme, les deux composantes de l’accélération totale sont Qulles, en sorte que l’accélération totale est aussi nulle.

Il est aisé de voir que, si l’on construit une courbe pour représenter la loi de variation de la vitesse d’un point mobile sur sa trajectoire curviligne, en opérant comme nous l’avons indiqué (§71) pour le cas d’un mouvement rectiligne, on pourra se servir de .cette courbe pour trouver l’accélération tangentielle à un instant quelconque, exactement de la même manière qu’on s’en sert pour trouver l’accélération dans un mouvement rectiligne ; puisque, l’expression de l’accélération tangentielle dans le mouvement curviligne est la même que l’expression de l’accélération dans le mouvement rectiligne. > ,

§74. Accélération dan« le mouvement projeté snr an plan flxe. — Quand on projette le mouvement d’un point sur un plan fixe (§12), la vitesse de la projection est à chaque instant la projection de la vitesse du point dans l’espace. Imaginons donc que l’on , ait construit, pour le mouvement que l’on projette, le triangle CDE, fig. 45, dans lequel les trois côtép CD, CE, DE sont respectivement égaux et parallèles à la vitesse v du mobile à la fin du temps t, à la vitesse o-\- dv relative à la fin du temps t-^dl, et à la vitesse acquise élémentaire correspondant à l’élément du temps dt. Si l’on projette ce triangleCDE^ sur le plan fixe, on aura un autre triangle que nous désignerons fiTcde. Dans ce triangle projeté, 'le côté crf, projection de CD, sera égal et parallèle à la vitesse de, la projection du mobile sur le plan fixe à la fin du temps t ; le côté ee, projection de CE, sera aussi égal et parallèle à la vitesse de la projection du mobile à la fin du temps r-f : donc le troisième côté de, projection de DE, jouera par rapport au mouvement projeté, exactement le