X - l'oL

avec un mouvement rectiligne uniformément accéléré, de même direction et de même sens que le précédent, ayant pour équation

x = \jtK

Le mouvement résultant sera rectiligne ; sa direction sera la même que celle de chacun des mouvements composants, et son équation sera

Le mouvement d’un point matériel, soumis à l’action d’une force constante en grandeur et en direction, et animé d’une vitesse initiale de même direction et de môme sens que la force, est donc encore un mouvement rectiligne uniformément accéléré. La vitesse, qui a pour valeur

w = vo

est toujours dirigée dans le même sens, et va constamment en croissant.

Si la vitesse initiale v„ est dirigée en sens contraire de la force, on trouvera facilement, en opérant comme nous venons de le faire, que le mouvement du point matériel est encore rectiligne, et que sa distance x à son point de départ, comptée dans le sens de la vitesse u„, est fournie par l’équation

« = — ; jp.

La vitesse, à un instant quelconque, a pour valeur v = v^ — jt.

Elle est d’abord positive, et va en décroissant, jusqu’à devenir nulle pour

puis elle devient négative, et augmente dès lors indéfiniment. Le mouvement est donc d’abord dirigé dans le sens de la vitesse initiale u„ ; il se ralentit de plus en plus ; puis il change de sens, et, à partir de là, il s’accélère constamment. Ce mouvement est uniformément varié ; pendant quelque temps il est uniformément retardé, puis il devient uniformément accéléré, en changeant de sens.

lU LIVBE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.

Un corps pesant, lancé verticalement, de haut en bas ou de bas en haut, se meut conformément à ce qui vient d’être dit ; l’accélération g de son mouvement est la même que s’il n’avait pas reçu de vitesse initiale (§ 90). S’il est lancé de bas en haut avec une vitesse ü„, il monte jusqu’à ce que le temps l soit égal à

-•En substituant cette valeur de t dans l’équation du mouve-

ment, qui est

X = eto - î gt*,

on trouve pour la hauteur à laquelle il s’élève

On voit que cette hauteur est précisément celle dont il devrait tomber sans vitesse initiale, pour acquérir ,1a vitesse o» (§ 90).

§92. Considérons enfin le cas où le point matériel se met en mouvement, avec une vitesse initiale dirigée d’une manière quel-

^ conque relativement à la direction de la force qui agit sur lui.

Soient 0, /îÿ. 51 , le point de départ du mobile , OA la direction de sa vitesse initiale que nous désignerons toujours par r„, et OB une ligne à laquelle la direction de la force reste constamment parallèle. D’après le principe du § 89, nous trouverons le mouvement qui SC produit dans ces'circonstances, en supposant que le mobile prenne sur la ligne OB le mouvement que la force lui communiquerait s’il n’avait pas de vitesse initiale, et qu’en même temps cette ligne se transporte parallèlement à elle-même, de manière que le point 0 parcoure uniformément la ligne OA avec la vitesse n,. Si nous représentons toujours par ; l’accélération du mouvement que la force

Fig. 51.

FORCES APPLIQUÉES A UiV POINT MATÉRIEL. 115

communiquerait au point matériel, dans le cas où il se mouvrait sans vitesse initiale, nous aurons

pour la distance OC qu’il parcourra sur la ligne OB, pendant le temps /, compté à partir de l’instant où il commence à se mouvoir. Mais, pendant ce même temps, la ligne OB sera venue prendre la position DE telle que l’on ait

OD= P(,t.

Si l’on prend, sur cette ligne DE, une longueur DM égale à OC, le point M ainsi obtenu sera la position qu’occupera réellement le point matériel à la fin du temps t.

On peut se faire une idée nette du mouvement qui se produit dans ces circonstances, en rapportant les positions successives du mobile à deux axes coordonnés OX, OY dirigés suivant les lignes 0.\ et OB. D’après ce qui vient d’ôtre dit, les équations du mouvement sont :

X = y = \jf*.

Si l’on élimine t entre ces deux équations, on trouve

pour l’équation de la trajectoire. Cette courbe est une parabole, dont l’axe est parallèle à l’axe des y, et qui est tangente à l’axe des x, au point 0.

Le mouvement d’un corps pesant, lancé obliquement dans le vide, fournit un exemple du mouvement parabolique auquel nous venons de parvenir.

§93. Ol'atkiému principe. — Indépendance des elTefs des forces qui agissent simultanément sur on même point matériel. — Le dernier principe que nous avons à énoncer, se rapporte à la manière dont un point matériel se met en monvement, lorsqu’il est soumis à la fois à l’action de plusienrs forces. Voici en quoi il consiste:

Lorsque plusieurs forces agissent simultanément sur un même

lie LIVRE II. — DYNAMIOl’E. PREMIÈRE PARTIE,

point matériel, chacune d'elles produit le même effet que si elle agissait seule.

En d’autres termes, si un point matériel est soumis à la fois à l’action de plusieurs forces, on trouvera le mouvement qu’il prend à partir d’un instant quelconque, en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse qu’il possède à cet instant, avec les divers mouvements que chacune des forces lui communiquerait, si elle agissait seule sur lui et qu’il partit du repos. Dans cette composition de mouvements, on regardera tous les mouvements composants qui jouent le rôle de mouvements d’entrainement, comme étant des mouvements de translation.

§ 9'i. ProporUoniinllté des forces anx accélérations «iti’elles produisent. — Supposons qu’un point matériel se mette en mouvement, sans vitesse initiale, sous l’action d’une force F de grandeur et de direction constantes; et désignons par j l’accélération de son mouvement, qui sera rectiligne et uniformément accéléré (§ 90). Soit de môme j l’accélération du mouvement que prendrait ce point matériel, s’il était soumis, dans les mêmes circonstances, à l’action d’une autre force F. Le principe de l’indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur un même point matériel, montre que les forces F, F sont entre elles dans le môme rapport que les accélérations j, f.

Pour établir cette proportionnalité des forces aux accélérations qu’elles produisent, admettons que les deux forces F, F soient entre elles dans le rapport des nombres entiers n, n' ; en sorte qu’on ait :

F — nFj, F' = n'Fi,

F, désignant une certaine force qui sert de commune mesure aux forces F, F. D’après la manière dont les poids, et par suite les forces, sont évalués en nombres (§§ 85 et 86), il est clairque la force F, agissant sur le point matériel dont on s’occupe, équivaut à l’ensemble de n forces égales à F,, agissant toutes en même temps sur ce point matériel, dans la même direction et dans le même sens que la force F. Soit l’accélération du mou-

vement que chacune des forces F„ agissant seule, conununiquerait au même point matériel. Le mouvement que ce point prendra sous l’action simultanée des n forces F, de môme direction et de même sens, s’obtiendra par la composition des divers mouvements rectilignes et uniformément accélérés que chacune d’elles lui donnerait séparément (§ 93); et l’accélération, dans le mouvement résultant, sera la résultante des accélérations dans les mouvements composants (§ 79) : donc l’accélération y, produite par l’action de la force F équivalente à l’ensemble des n forces F,, sera égale à nj^. On verra de môme que l’accélération produite par l’action de la force F sur le même point matériel, est égale àn'y, ; puisque cette force F est équivalente à l’ensemble de n' forces égales à F et agissant toutes dans la même direction et dans le même sens qu’elle. Les deux égalités

i = »ju f = n'Ju

montrent que les accélérations J, f sont entre elles dans le même rapport que les nombres n, ri; et par conséquent aussi dans le môme rapport que les forces F, F.

§ 95. Lorsqu’une force de grandeur et de direction constantes agit sur un point matériel qui est déjà animé d’une certaine vitesse, le mouvement de ce point s’obtient par la composition du mouvement rectiligne et uniforme correspondant à sa vitesse initiale, avec le mouvement rectiligne uniformément accéléré que la force lui communiquerait s’il partait du repos (§§ 91 et 92). Or, l’accélération dans le mouvement résultant est la résultante des accélérations dans les mouvements composants (§ 79); et l’accélération, dans un mouvement rectiligne et uniforme, est égale à zéro : donc l’accélération, dans le mouvement rectiligne ou parabolique qu’un point matériel animé d’une vitesse initiale prend sous l’action d’une force constante en grandeur et en direction est exactement la même que celle que lui communiquerait la force, si sa vitesse initiale était nulle. Il résulte de là que deux forces de grandeurs et de directions constantes, que l’on fait agir sépa-

réraent sur un même point matériel, sont entre elles comme les accélérations qu’elles communiquent à ce point, quelle que soit la vitesse qu’il possède à l’instant où chacune des forces commence à agir sur lui.

Lorsqu’un point matériel est soumis à l’action d’une force qui ne satisfait pas à la double condition d’avoir à la fois une grandeur et une direction constantes, l’accélération totale de ce point, correspondant à un instant quelconque de son mouvement, n’est autre chose que l’accélération que cette force lui communiquerait, si, à partir de cet instant, elle conservait constamment la même grandeur et la môme direction. Car cette accélération totale se déduit des circonstances que préi sente le mouvement, pendant un intervalle de temps infiniment petit ; et le mouvement qui a lieu pendant ce temps peut être regardé comme un élément du mouvement que le point matériel prendrait, si la grandeur et la direction de la force cessaient de varier à partir du commencement de cet intervalle de temps. D’après cela, on peut dire, que si l’on considère le mouvement qu’un point matériel prend sous l’action d’une force quelconque, et qu’on le compare au mouvement que le même point matériel prend sous l’action d’une autre force aussi quelconque, les intensités de ces deux forces, prises chacune à un instant déterminé, sont entre elles comme les accélérations totales correspondant aux mêmes instants, dans les mouvements qu’elles produisent. Les directions des deux forces sçnt d’ailleurs évidemment les mêmes que celles de ces accélérations totales.

§96. Déllnltfon delama««ie d’un point matériel . —

Les corps, que nous supposons toujours réduits à de simples points matériels, ne doivent pas être regardés comme identiques les uns avec les autres, au point de vue des effets qu’ils éprouvent de la part des forces qui leur sont appliquées. Une môme force, agissant successivement sur différents points matériels, ne leur communiquera pas à tous une môme accélération. Il existe donc dans les corps une certaine qualité, d’après laquelle ils cèdent plus ou moins facilement à l’action des forces, et dont on recon-

naît l’existence par l’accélération plus ou moins grande qu’ils éprouvent de la part d’une même force : cette qualité, par laquelle les corps diffèrent les uns des autres, sous ce point de vue, est désignée sous le nom de maste.

On dit que deux points matériels ont môme masse, lorsque, étant soumis à l’action d’une même force, ils en reçoivent une même accélération. Un point matériel, formé par la réunion de deux points matériels de même masse, est dit avoir une masse double de celle de chacun d’eux. De môme, en réunissant trois, quatre, cinq,... points matériels dont les masses sont égales, on forme un point matériel dont la masse est triple, quadruple, quintuple, de celle de chacun des points matériels compo-

sants. On conçoit par là comment la masse d’un point matériel pourra être évaluée en nombre, quand on aura choisi arbitrairement un corps dont la masse sera prise pour unité de masse. Il suffira de suivre une marche analogue à celle qui a déjà été indiquée pour évaluer en nombre le poids d’un corps quelconque (§ 85).

§ 97. Proportionnalité de* force* aux masses des points matériels auxquels ellesdonnent uneméme accélération. — Soient F, F', deux forces qui, en agissant sur deux points matériels de masses m, m‘, leur communiquent une même accélération. Supposons que les forces F, F soient entre elles dans le rapport des nombres entiers n, n', en sorte qu’on ait F = nF„ F = n'Fi;

et considérons les deux points matériels comme résultant, le premier de la réunion de n points matériels ayant tous même masse m,, le second de la réunion de n' points matériels ayant tous pour masse m'i, ce qui fait qu’on aura

m = nm,, m' = n'm\ .

Si la force F, agissait, sans changer de grandeur ni de direction, sur un point matériel de masse m, partant du repos, elle lui donnerait un mouvement rectiligne uniformément accéléré, dans lequel l’accélération aurait une certaine valeur dépendant de l’intensité de la force F, et de la grandeur de la massem,.Con-

cevons que n points matériels, ayant tous la môme masse m,, se trouvent à côté les uns des autres, et qu’ils se mettent tous en mouvement à un même instant, sous l’action de forces appliquées à chacun d’eux; si ces forces sonttoutes égales à F„ et agissent toutes suivant la môme direction et dans le même sens, les n points matériels prendront tous le môme mouvement rectiligne et uniformément accéléré, suivant la même direction, et, en conséquence, ils ne cesseront pas de se trouver à côté les uns des antres, comme avant leur départ. On comprend d’après cela que rien ne changera dans le mouvement de l’ensemble de ces points matériels, si on les suppose liés entre eux de manière à ne pouvoir se séparer pendant le mouvement, puisqu’ils ne se séparaient pas lorsqu’ils avaient la liberté de le faire. Mais alors on n’aura plus qu’un point matériel unique dont la masse sera égale è nm,, (§ 96), ou à m ; et les n forces F,, égales, de même direction et de même sens, qui agiront sur ce point matériel unique, pourront être remplacées par une seule force égale à nF„ ou à F. Donc la force F agissant sur un point matériel de masse m qui part du repos, lui donnera un mouvement qui sera identiquement 1e même que celui que la force F, communiquerait à un point matériel de masse *w„ partant également du repos; et, en conséquence, l’accélération communiquée par la force F au point matériel de masse m est la même que l’accélération communiquée par la force F, au point matériel de masse

On verra de la même manière que les accélérations communiquées respectivement aux points matériels de masse m', w'„ par les forces F, F, sont exactement les mômes.

Mais, par hypothèse, les forces F, F communiquent une même accélération aux points matériels de masses m, m'. Donc la force F„ appliquée successivement aux deux points matériels de masses fWi, m'„ leur communique une même accélération, et, en conséquence, ces deux masses m„ m\, sont égales (§ 96), c’est-à-dire que les masses m, m' sont entre elles dans le rapport des nombres n,n'.

Il résulte de là que les deux forces F, F, sont entre elles dans le même rapport que les masses m, mi des deux points maté-

FOnCES APPLIOEÉES A UN POINT MATÉRIEL. 121

riels auxquels elles communiquent une môme accélération.

§ 98. Relation entre une forcet la nta«sc du point matériel Mur lequel elle agit, et l’accélération qui réanite de cette action. — Soient F, F deux forces quelconques ; m, m\ les masses de deux points matériels auxquels ces forces sont respectivement appliquées; et /, / les accélérations qu’éprouvent les points matériels par suite de l’action de ces forces. Pour établir une relation entre ces six quantités, considérons une force F' telle que, si elle agissait sur le point matériel demasse m, elle lui donnerait une accélération Les deux forces F, F" donnant les accélérations/, / à un môme point matériel, leur rapport est le même que celui des accélérations qu’elles produisent (§ 94), en sorte qu’on a :

D’une autre part, les deux forces F", F donnant une même accélération/ aux deux points matériels de masses tw, m', auxquels elles sont respectivement appliquées, on a entre elles la proportion

Si l’on multiplie membre à membre les deux égalités auxquelles on vient de parvenir, on trouve

Donc les forces sont entre elles comme les produits des masses des points matériels surlesquelles elles agissent par les accélérations qu’elles leur communiquent.

L’unité de masse n’a pas été définie jusqu’à présent. Supposons donc que nous choisissions pour unité la masse d’un point matériel qui, sous l’action d’une force égale à 1, prendrait une accélération égale à 1 . L’unité de masse étant choisie de cette manière, il en résulte que, si l’on suppose F = 1 et /' = 1 , on anra m' = 1, et, par conséquent, la relation qui vient d’être établie se réduit à

122 UVUE 11. — DYNAMIQUE. PREMIÈllE PARTIE.

F = mj. '

Soit P le poids d’un corps, c’csf-à-dire la force qui détermine la chute du corps, lorsqu’on l’abandonne à lui-méme (§ 86). La force P, en agissant sur le corps, dont nous désignerons la masse par m, lui communique un]mouvement dans lequel l’accélération est (J (§ 90). On doit donc avoir

P = mg,

d’après ce qui vient d’étre établi. On en déduit

ce qui fournit un moyen très-simple d’évaluer numériquement la masse d’un corps, dans le cas où l’unité de masse est celle que nous venons de définir.

§99.Compo«ltlonde» forccMappllqnéeMànnméme point matériel. — Lorsque plusieursforces agissent simultanément sur un môme point matériel, suivant des directions quelconques, ce point prend un certain mouvement dans l’espace. On comprend que le même mouvement pourrait lui être communiqué par l’action d’une force unique, dont la grandeur et la direction dépendent des circonstances que présente ce mouvement. Cette force unique, capable de donner au point matériel le mouvement qu’il prend sous l’action des diverses forces qui lui sont appliquées simultanément, est ce qu’on nomme la résultante de ces forces. Les forces dont elle peut tenir lieu se nomment ses composantes. La composition des forces o pour objet la détermination de la résultante lorsqu’on connaît les composantes.

Le principe de l’indépendance des effets des forces qui agissent simultanément sur un même point matériel (§ 93) conduit directement à la règle de la composition des forces appliquées à un point. D’après ce principe, le mouvement d’un point matériel soumis à la fois aux actions de plusieurs forces, s’obtient en composant le mouvement rectiligne et uniforme correspondant à la vitesse qu’il possède à un instant quelconque, avec les divers mouvements que chacune des forces lui communiquerait si

elle agissait seule sur lui et qu’il partit du repos ; et dans cette composition, on doit regarder tous les mouvements composants qui jouent le rôle de mouvements d’entrainement comme étant des mouvements de translation. Or, nous savons que, dans ce cas, on trouve l’accélération totale du mouvement résultant en composant les accélérations totales des mouvements composants d’après les règles de la composition des vitesses (§ 79). Nous savons en outre que les forces sont proportionnelles aux accélérations totales des mouvements qu’un même point matériel prend sous l’action de chacune d’elles, et que les directions des forces sont les mêmes que celles de ces accélérations (§ 95). Nous pou- b vous en conclure immédiatement que, si l’on représente les forces par des droites dont les longueurs soient proportionnelles à leurs intensités, et dont les directions soient celles suivant lesquelles elles agissent, la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point s’obtiendra au moyen des composantes, par une construction entièrement pareille à celle qui donne la résultante de plusieurs vitesses au moyen des vitesses composantes.

Quand on n’aura que deux forces F, F à composer en une seule, on construira un parallélogramme sur les deux lignes AB, ®

AC qui les représentent, fig. 52, et la diagonale AD de ce parallélogramme représentera leur résultante. Cette construction constitue ce qu’on nomme le parallélogramme des forces.

Quand on aura à composer un nombre quelconque de forces F, F', F", F", appliquées à un même point A, fig. 53, on tracera les lignes AB, AC, AD, AE qui les représentent ; puis on construira le polygone ABGHK, dont les côtés AB, BG, GH, HK,

sont respectivement égaux et parallèles à ces diverses lignes ; la droite AK, qui joint le point A à l’extrémité K du polygone ainsi obtenu, représentera en grandeur et en direction la résultante des forces données F, F', F", F"'. On donne à cette construction le nom de polygone des forces.

Eufin, quand les forces composantes seront au nombre de trois, et que leurs directions ne seront pas comprises dans un même plan, le polygone des forces données pourra être remplacé par le parallélipipède des forces ; c’est-à-dire que la droite qui représentera la résultante des forces données sera la diagonale du parallélipipède ayant pour arêtes les droites qui représentent les composantes.

Une force étant donnée, on pourra la décomposer en deux ou en trois composantes suivant des directions déterminées, en opérant exactement de la même manière que s’il s’agissait de décomposer une vitesse (§ 45).

§100. Projections des forces snrnn plan llxe on sur une droite flxe. — Une force étant représentée par une ligne droite, conformément à ce qui vient d’être dit (§ 99), si l’on projette cette droite sur un plan fixe, la projection pourra être regardée comme représentant une autre force qui agit dans ce plan : cette autre force est ce qu’on nomme la projection de la première force sur le plan fixe. De même, si l’on projette sur une droite fixe la ligne qui représente une force quelconque, la projection représente une autre force que l’on dit être la projection de la première.

Si l’on a construit le polygone qui sert à trouver la résultante d’un système quelconque de forces appliquées à un même point matériel, et que l’on projette la figure tout entière sur un plan fixe, on obtiendra un autre polygone situé dans ce plan : la considération de ce second polygone montre que la projection de la résultante des forces sur le plan fixe est la résultante des projections des forces elles-mêmes sur ce plan.

On trouve exactement de la même manière que, si plusieurs forces agissent sur un môme point matériel, la projection de leur résultante sur une droite fixe est la résultante des projections

des forces sur cette droite, résultante qui, dans ce cas, se réduit à la somme algébrique des composantes.

Si par le point d’application d’une force dn mène trois droites non situées dans un même plan, et qu’on décompose la force en trois composantes dirigées suivant ces trois droites, chaque composante peut être regardée comme la projection de la force sur la droite correspondante, cette projection étant effectuée parallèlement au plan des deux autres droites. D’après cela, on voit que la force est la résultante de ses projections sur les trois droites. Il en est de même lorsqu’une force se trouve décomposée en deux autres suivant deux droites dont le plan passe par la direction de la force : chaque composante est la projection de la force sur la droite correspondante, cette projection étant effectuée parallèlement à l’autre droite ; et par suite la force est la résultante de ses projections sur les deux droites.

Les propositions qui précèdent sont vraies de quelque manière que s’effectuent les projections, et, par conséquent aussi, dans le cas particulier où ces projections sont orthogonales. Toutes les fois que nous aurons occasion de les appliquer, et que

nous ne spécifierons pas la nature des projections, on devra toujours entendre qu’il s’agit de projections orthogonales.

§ 101 . Théorie de» moment»« dans le cas des forces applifinées d un mémepolnimatëriel. — Soit 0 un point quelconque pris sur le plan des deux forces F, F' appliquées à un même point A, fig. 54. Construisons le parallélogramme ABCD, sur les lignes AB, AG, qui représentent les forces

F, F; la diagonale AD représentera leur résultante. Si nous joignons le point O aux quatre

sommets A, B, C, D de ce parallélogramme, nous formerons trois triangles ABO, ACO, ADO, dont le dernier ADO est égal à la somme des deux premiers ABO, ACO. En effet, on peut regarder ces trois triangles comme ayant pour base commune A O, et pour hauteurs les distances des points B, G, D à cette base : or, ces hauteurs sont évidemment les projections orthogonales des lignes AB, AG, AD sur la ligne AM menée perpendiculairement à AO, et la projection de AD sur AM est égale à la somme des projections de AB et BD sur cette même ligne, c’està-dire égale à la somme des projections de AB et AG: donc aussi la surface du triangle ADO est égale à la somme des surfaces des triangles .\BO, ACO. Mais nous pouvons évaluer les surfaces de ces triangles en les regardant comme ayant pour hases AB, AC, AD, et pour hauteurs les perpendiculaires OP, OQ, OR abaissées du point O sur ces bases : nous aurons donc