AD X OR = AB X OP -H AC X OQ

Chacun des trois termes qui entrent dans cette équation est le produit d’une force par la distance du point O à sa direction ; un pareil produit se nomme le moment de la force par rapport au point 0. Il résulte donc de ce que nous venons de dire que, si l’on considère deux forces appliquées à un môme point matériel et la résultante de ces deux forces, le moment de la résultante, par rapport à un point 0 pris dans le plan des forces, est égal à la somme des moments des composantes par rapport au môme point 0.

Pour que ce théorème soit vrai, de quelque manière que le point 0 soit situé dans le plan des forces AB, AG, AD, il est nécessaire d’attribuer un signe au moment de chacune d’elles, d’après la position qu’elle occupe par rapport au point 0; voici comment ce signe se détermine. On conçoit que chaque force soit appliquée seule à une figure plane matérielle, contenue dans le plan dont il s’agit, et ne pouvant que tourner autour du point 0 ; sous l’action de cette force, la figure prendra un mouvement de rotation autour du point 0, dans un certain sens facile à trouver d’après le sens dans lequel la force agit : on

regarde comme positif le moment de toute force qui tend ainsi à faire tourner la figure mobile dans un sens déterminé, que l’on choisit d’ailleurs à volonté, et comme négatif le moment de toute force qui tend à faire tourner cette ligure dans le sens opposé.

Si l’on reprend ce qui a été dit au commencement de ce paragraphe, en donnant successivement au point O diverses positions dans le plan des forces F, F', et qu’on attribue au moment de chacune de ces forces et à celui de leur résultante les signes qu’ils doivent avoir dans chaque cas, on reconnaîtra que le moment de la résultante, par rapport au point O, est toujours égal à la somme des moments des composantes par rapport au même point.

§ 102. Si nous considérons un nombre quelconque de forces

F, F', F", F"', appliquées à un même point matériel, et

dirigées toutes dans un même plan, nous pourrons étendre •

sans peine à ce système de forces le tbéorème qui vient d’être établi pour le cas de deux forces seulement.

Composons d’abord les deux forces F, F entre elles, et nous trouverons une résultante partielle dont le moment, par rapport à un point quelconque O pris dans le plan des forces, sera égal à la somme des moments des forces F, F par rapport à ce point.

Si nous composons ensuite cette résultante partielle avec la force F', nous aurons une deuxième résultante partielle dont le moment, par rapport au point O, sera égal à la somme des moments de F" et de la première résultante partielle par rapport au même point : le moment de cette deuxième résultante partielle sera donc égal à la somme des moments des trois forces F, F, F".

En composant la deuxième résultante partielle avec F", on trouvera une troisième résultante partielle dont le moment sera de môme égal à la somme des moments des quatre forces F, F, F', F'". En continuant ainsi, on finira par arriver à la résultante de toutes les forces données, et l’on trouvera que le moment de cette force, par rapport an point O, est égal à la somme des moments de ses composantes, par rapport à ce point.

§ t03. Dans le cas où un point matériel est soumis à l’action d’un nombre quelconque de forces non dirigées dans un même plan, nous ne pouvons plus arriver à un résultat simple en ap-

pliquant le théorème du § 101 aux diverses compositions successives que nous venons de considérer, et qui conduisent à trouver la résultante définitive du système de forces, parce que ces compositions successives ne s’effectuent pas dans un même plan. Mais, en suivant une autre marche, nous parviendrons à généraliser le résultat que nous avons obtenu (§ 102), de manière à l’étendre au cas général dont nous nous occupons maintenant.

Soient AB, (ig. .o5, une force appliquée au point A, et OP une

droite dirigée d’une manière quelconque par rapport à cette force. On donne le nom de moment de la force AB, par rapport à la droite OP, au produit de 7 la plus courte distance des lignes AB, OP, par la projection de la force AB sur un plan MN perpendiculaire à OP. Il est aisé de voir que la plus courte distance RS des droites AB, OP est parallèle au plan MN, et que, par conséquent, elle se projette en vraie grandeur sur ce plan : de plus, la projection OT de celte plus courte distance est perpendiculaire à la projection ab de la force AB ; donc ce que nous nommons le moment de la force AB, par rapport à la droite OP, n’est autre chose que le moment de la projection de cette force sur le plan MN, par rapport au point 0 où ce plan est percé par la ligne OP.

Cela posé, concevons que nous projetions sur un plan quelconque les diverses forces qui agissent sur un môme point matériel, ainsi que la résultante de ces forces. Nous savons que la projection de la résultante est la résultante des projections des forces (§ 100) ; et comme toutes ces projections sont dirigées dans un même plan, nous pouvons dire (§ 102) que le moment de la résultante projetée, par rapport à un point quelconque O du plan de projection, est égal à la somme des moments des composantes projetées, par rapport au même point. Rem-

plaçoas, dans cet énoncé, le moment de chaque force projetée par rapport au point O, par le moment de la force de l’espace par rapport à la perpendiculaire au plan de projection menée par le point O, et nous arriverons ainsi à la proposition suivante : Lorsque plusieurs forces agissent sur un même point matériel, dans diverses directions, le moment de la résultante de ces forces, par rapport à une droite quelconque, est égal à la somme des moments des composantes, par rapport à la même droite.

Pour que ce théorème soit toujours vrai, il est nécessaire de regarder le moment d’une force par rapport à une droite comme étant une quantité positive ou négative, suivant les cas. Ce moment n’étant autre chose que le moment de la projection de la force sur un plan perpendiculaire à la droite, par rapport au point oh ce plan est percé par la droite, il est naturel de lui donner le signe de ce dernier moment: le moment d’une force, par rapport à une droite, sera donc positif ou négatif, suivant que cette force tendra à faire tourner dans un sens ou dans l’autre, un corps auquel elle serait appliquée, et qui ne pourrait que tourner autour de la droite.