I- V rVi -H -.’iir — C

relation qui, étant intégrée, nous fournira l’équation de la trajectoire du mobile.

Pour effectuer l’intégration, remplaçons les constantes G, A, par d’autres plus commodes. Si nous égalons à zéro la quantité

r*A + Sjir — C*,

nous aurons une équation du second degré dont les deux racines sont réelles, puisque son premier membre est négatif pour r = O, et qu’il est nécessairement positif pour d’autres valeurs de r, sans quoi le rapport de «/O à dr ne serait jamais réel. Désignons donc les deux racines de ccite équation du second degré par

et nous aurons

L’équation («/) devient ains i ’

Éo. ET MOOV. d’un point MATÉRIEL LIBRE.

rffl:

— rfr

ar(l — e*) «>(1 — e*j

d'oü l’on lire en intégrant

0 = a + «rc cos - ( 1 | >

et par suite

I + « CHS (9 — a]

Nous voyons d’après cela que le mobile décrit une section conique ayant le centre d’attraction pour un de ses foyers. La constante e n’est autre chose que l’excentricité de cette courbe qui sera par conséquent une ellipse, une hyperbole, ou une parabole, suivant qu’on aura oue=l. Dans ce

dernier cas, la constante a doit recevoir une valeur infinie, de manière que a (1 — e’) ait une valeur finie qui sera le paramètre de la parabole. Lorsque e n’est pas égal à 1, a est le demi-grand axe de l’ellipse, ou le demi-axe transverse de l’hyperbole.

Pour obtenir la loi du mouvement du mobile le long de l’orbite dont nous venons de trouver la forme, reprenons l’équation (A) qui correspond au théorème des aires. Si nous y remplaçons <f9 par sa valeur en fonction de r, fournie par l’équation (rf), et que nous introduisions encore les constantes a, e, à la place des constantes G, A, nous aurons

di = -

rdr

Posons

r = a{\ — ecusu), {f)

U étant une variable auxiliaire, et la valeur de dt deviendra

LIVnE U.

DYNAMIOt’E. PHEMIERE PARTIE.

aV^ a .

dt — ■ ■ ■> — \ — e cos II) du ;

d’où, en intésrant, mettant n à la place de et désignant

par £ une constante arbitraire,

-(- £ = U — e sin M. (ÿ)

dette équation (ÿ) permettra de trouvera en fonction de t, et par suite on aura la valeur de r au moyen de l’équation {f).

Cherchons à reconnaître comment les circonstances initiales du mouvement influent sur la nature de la courbe décrite par le mobile. D’après les relations qui existent entre les constantes h, C, et les constantes a, e, par lesquelles nous les avons remplacées, on U

D’ailleurs, nous avons trouvé pour h la valeur

It.

Il s’ensuit que la trajectoire sera une branche d’hyperbole si l’on a

une parabole, si l’on a

Co‘>

JÜi

et une ellipse, si l’on a

Il est extrêmement remarquable que la nature de la trajectoire décrite se trouve entièrement déterminée par la connais-

Éo. ET MOUV. d’un point MATÉIUEL LIBRE. 171

sance des quantités »(, et r„, et ne dépende en aucune manière de l’angle que la vitesse initiale fait avec le rayon vecteur /"o.

Nous avons à peine besoin d’ajouter que, si un point matériel, soumis à l’action d’une force dirigée vers un point fixe, décrit une section conique ayant ce point fixe pour foyer, la force dont il s’agit varie nécessairement en raison inverse du carré de la distance du point matériel au point fixe.