CHAPITRE IV

ÉQUILIBRE ET MOUVEMENT RELATIFS d’uN POINT MATÉRIEL.

§ 139. Forces appareilles dans le mouvement re>

latlf. — Si l’on rapporte les diverses positions qu’occupe successivement un point mobile à un système d’axes qui soient eux-mêmes en mouvement dans l’espace, le mouvement absolu de ce point peut être regardé comme résultant de la composition de son mouvement par rapport aux axes mobiles et du mouvement de ces axes eux-mêmes. Nous avons vu(§ 80) que, dans ce cas, l’accélération y dans le mouvement absolu s’obtient par la composition de trois accélérations, qui sont : 1* l’accélération / dans le mouvement d’entrainement, c’est-à-dire dans le mouvement dont serait animé le point mobile s’il restait en repos relatif dans la position où il se trouve; 2® l’accélération/' dans le mouvement du point par rapport aux axes mobiles; 3® une accélération égale à 2ioi/'sin a, dirigée perpendiculairement au plan qui passe par la vitesse relative v” et par l’axe instantané de rotation des axes mobiles, et dans le sens dans lequel l’extrémité de la ligne qui représente la vitesse relative tourne F'g- 61- dans la rotation instantanée au-

tour de cet axe. Pour effectuer la composition de ces trois accélérations, menons par un point quelconque Â, fig. 67, une droite AB égale et parallèle à celle qui représente l’accéléra-

‘ ÉQüIL.'ET MODV. HELATIFS d’un point matériel. 405

tion relative j" ; puis, par le point B, une droite BC égale et parallèle à celle qui représente l’accélération d’entrainement/; enfin, par le point C, une droite CD égale et parallèle à celle qui représente la troisième accélération 2 to t/' sin a : la droite AD représentera la résultante de ces trois accélérations composantes, c’est-à-dire l’accélération /, dans le mouvement absolu.

Il est clair que l’accélération représentée par la droite AB peut être regardée à son tour comme étant la résultante de trois accélérations représentées respectivement, quant à leur grandeur, leur direction et leur sens, par les trois droites AD,DC, CB. La première de ces trois accélérations n’est autre chose que l’accélération j dans le mouvement absolu; et les deux autres sont égales et contraires aux accélérations j' et 2i<)ü"sin a que nous avons considérées précédemment. Donc l’accélération dans le mouvement relatif d’un point par rapport à des axes mobiles, s’obtient en composant l’accélération dans le mouvement absolu du point avec deux accélérations égales et contraires à ces deux accélérations f et 2 w v" sin a.

Supposons que le point mobile dont nous nous occupons soit un point matériel de masse m. La force qui agit sur ce point matériel détermine l'accélération / de son mouvement absolu; elle est égale à mj, et a la môme direction et le môme sens que l’accélération j (§§ 9S et 98). L’accélération dans le mouvement relatif, étant différente de l’accélération 7 dans le mouvement absolu, un observateur qui participe au mouvement des axes mobiles, doit voir le point matériel se déplacer comme s’il était soumis à l’action d’une force autre que celle qui agit réellement sur lui ; il doit lui sembler que ce point matériel est soumis à l’action d’une force égale à m/", ayant la même direction et le même sens que l’accélération f. Mais cette môme accélération;" pouvant s’obtenir parla composition de l’accélération j avec deux accélérations égales et contraires à/ et 2 wc" sin «, la force mj" dont nous venons de parler se trouvera également en composant la force mj dirigée dans le sens de l’accélération absolue 7, avec deux forces mj et 2 m wi/'sina dirigées en sens contraire des accélérations /'et 2ton"sinot.

Il s’ensuit que, pour l’Observateur, qui ne voit que le mouvement relatif du point matériel, et qui croit que c’est un mouvement absolu, les choses se passent comme si ce point matériel était soumis, non-seulement à la force mj qui lui est réellement appliquée, mais encore aux deux autres forces mj et 2mwi;"8ina dont il vient d’ôtre question. Ces deux dernières forces sont ce qu’on nomme les forces apparentes dans le mouvement relatif.

La première de ces deux forces apparentes, celle qui a pour valeur ni/, et qui est dirigée en sens contraire de l’accélération/, est évidemment égale et directement opposée à la force qui serait capable de donner au point matériel un mouvement tel qu’il reste en repos par rapport aux axes mobiles. Si nous nous reportons à la déünition de la force d’inertie (§ 138), nous verrons que celte première force apparente est précisément la force d’inertie du point matériel dans son mouvement d’entraînement, c’est-à-dire dans le mouvement cîont il serait animé s’il était lié invariablement aux axes mobiles et entraîné par eux dans le déplacement qu’ils éprouvent.

La seconde force apparente a reçu le nom de force centrifuge composée. Pour en obtenir la valeur, il faut concevoir que le déplacement élémentaire des axes mobiles, qui s’effectue immédiatement après l’instant que l’on considère, soit décomposé en une rotation autour d’un axe instantané passant par le point où se trouve le mobile à cet instant, et en une translation égale au mouvement de ce même point supposé lié aux axes mobiles ; si w est la vitesse angulaire dans la rotation élémentaire ainsi obtenue, et a l’angle que l’axe instantané autour duquel cette relation s’effectue fait avec la direction de la vitesse relative v" du mobile, la force centrifuge composée a pour valeur 2 m <ot;"8in a. De plus, cette force est dirigée perpendiculairement au plan qui passe par la vitesse relative v" et par l’axe instantané de rotation des axes mobiles ; et elle agit en sens contraire du sens dans lequel se meut l'extrémité de la ligne qui représente la vitesse relative, dans la rotation instantanée autour de cet axe.

ÉQUIL. ET MOÜV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. Î07

§ 140. Éaalllbre relatif d’an point matériel. — La

théorie des forces apparentes dans le mouvement relatif, qui vient d’ôtre exposée dans le paragraphe précédent, convient en particulier au cas où le point matériel que l’on considère se meut de manière à conserver constamment la môme position par rapport aux axes mobiles, c’est-à-dire au cas où il est en équilibre relatif. Dans ce cas, la vitesse relative t/' du point mobile étant nulle, la force centrifuge composée 2m wt/'sin a est aussi nulle; et la force d’inertie correspondant au mouvement d’entralnement est la seule force apparente qu’on doive joindre à la force réellement appliquée au point matériel, pour qu’on puisse assimiler son équilibre relatif à un équilibre absolu.

Pour donner un exemple d’équilibre relatif, considérons le mouvement uniforme de révolution d’un pendule conique AC, fig. 68, autour de la Verticale AB menée par son point de suspension, mouvement dont nous nous sommes déjà occupés (§ 136). Si nous rapportons le point matériel qui termine le pendule à des axes mobiles animés du môme mouvement de la verticale AB, il pourra être regardé comme en équilibre par rapport à ces axes ; et on exprimera cet équilibre relatif en écrivant que la résultante du poids mg du point matériel et de la force apparente qu’on doit joindre à ce poids d’après ce qui précède^ est dirigée normalement à la surface sphérique sur laquelle le point matériel est assujetti à rester. Or, cette force

apparente se réduit ici à la force centrifuge^*’ correspondant

au mouvement circulaire et uniforme du point matériel supposé lié invariablement aux axes mobiles et entraîné par eux dans leur rotation autour de AB. Prenons donc, sur la verticale du point G, une longueur CE égale à mg ; puis, sur le prolongement du rayon CD du cercle que décrit le point C, une longueur

Î08 LIVRE II. — dynamique. PREMIÈRE PARTIE.

CF égale à : la diagonale CG du parallélogramme construit sur les lignes CE, CF, doit être dirigée dans le prolongement du fil de suspension AC, qui n’est autre chose que le rayon de la sphère sur laquelle le point C est obligé de rester. D’après cela on a la proportion