CE

EG“ix; ’

si l’on y remplace les diverses lignes par leurs valeurs, et qu’on résolve ensuite par rapport à la vitesse v du point matériel, on en déduit

résultat conforme à ce que nous avions trouvé précédemment.

§ 1 41 . MoHYCineiit relatif d’un pointmatériel. — La

théorie exposée dans le § 139, montre que tout mouvement relatif d’un point matériel peut être traité comme un mouvement absolu, à la condition de joindre aux forces qui agissent réellement sur le point matériel, les deux forces apparentes dont nous avons défini la grandeur, la direction et le sens. Tous les théorèmes qui ont été établis, pour le mouvement absolu d’un point matériel libre, sont donc applicables au mouvement relatif, en tenant compte de ces deux forces apparentes. Il est complètement inutile que nous passions en revue ces divers théorèmes, pour faire voir ce qu’ils deviennent quand on les applique à un mouvement relatif. Nous nous contenterons de dire que, dans le cas du théorème des forces vives (§§116etH9), la force centrifuge composée disparaîtra toujours d’elle-même, et on pourra raisonner sans en tenir aucun compte ; parce que, cette force étant dirigée perpendiculairement à la direction de la vitesse relative du point mobile, son travail sera toujours nul (§117).

Les théorèmes établis pour le mouvement absolu d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une sur-

ÉOUIL. ET MOUV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. Î09 face ûxe, sont également applicables au mouvement relatif d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe ou sur une surface ; à la condition de joindre les forces apparentes ci-dessus indiquées aux forces qui agissent réellement sur ce point ; mais il faut pour cela que la courbe et la surface dont il s’agit soient fixes relativement aux axes mobiles auxquels on rapporte les diverses positions du point matériel, c’est-à-dire qu’elles participent au mouvement dont ces axes sont animés.

Considérons en particulier le mouvement d’un point matériel libre par rapport à des axes qui sont animés d’un mouvement de translation dans l’espace. D’après la nature du mouvement des axes mobiles, la vitesse angulaire u qui entre dans l’expression de la force centrifuge composée, est égale à zéro : cette force centrifuge composée est donc nulle, et des deux forces apparentes, qu’on doit joindre aux forces réelles pour pouvoir traiter le mouvement relatif comme un mouvement absolu, il ne reste que la force d’inertie correspondant au mouvement d’entraînement. Soient x^, y„ z^, les coordonnées de l’origine des axes mobiles, rapportées à un système d’axes fixes auxquels ces axes mobiles restent constamment parallèles. L’accélération totale, dans le mouvement d’entrainement, a évidemment pour composantes parallèles aux axes, les quantités

rf>x, d'y^ rf*z,

"ïï?*"’ 'rfjï'’ "SF’

en sorte que les composantes de la force d’inertie du point matériel de masse m, dans ce mouvement d’entraînement, sont

Si l’on désigne par Ç, y\, Ç, les coordonnées du point matériel par rapport aux axes mobiles, et par X, Y, Z, les composantes suivant ces axes, de la résultante des forces qui sont appliquées à ce point, on aura (§ 121) les équations différentielles suivantes, pour déterminer son mouvement relatif :

dtt '

d*yi

~dW

On aurait pu trouver immédiatement ces équations différentielles, sans s’appuyer sur la théorie des forces apparentes dans les mouvements relatifs, en partant des équations différentielles du mouvement absolu (§ 121), et remarquant que les coordonnées absolues x, y, z, du point mobile sont respectivement égales à ? + “}■ Vi» ? + *1.

Si les axes mobiles, auxquels on rapporte les positions successives du point matériel, sont animés d’un mouvement de translation rectiligne et uniforme, non-seulement la force centrifuge composée est nulle, mais il en est de même de la force d’inertie correspondant au mouvement d’entrainement ; puisque, dans un mouvement rectiligne et uniforme, l’accélération totale est constamment nulle. Il n’y a, dans ce cas, aucune force apparente à joindre aux forces réelles, pour que le mouvement relatif puisse être traité comme un mouvement absolu. Les équations différentielles sont les mêmes, qu’il s’agisse du mouvement absolu ou du mouvement relatif.

§ 142 . MouTement relatif «le deux points matériels anl ne sont soumis du*d leurs actions mutuelles. — Deux points matériels Â, B, en mouvement, n’étant soumis qu’aux actions égales et contraires qu’ils exercent l’un sur l’autre, concevons que le point B soit rapporté à un système d’axes coordonnés qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes de manière à passer constamment par le point  : nous allons nous proposer de déterminer le mouvement du point B par rapport à ces axes mobiles. Soient m la masse du point Â, m' celle du point B, F la force à laquelle le point B est soumis et qui émane du point Â, r la distance des deux points, et t|, C, les coordonnées du point B par rapport aux axes mobiles. La force F

ÉQÜIL. ET MOüV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. âll

est dirigée suivant la ligne droite qui joint le point  au point B ; nous supposerons d’ailleurs qu’elle est attractive, c’est-àdire qu’elle tend à rapprocher le point B du point  ; il suffirait de changer son signe dans les équations que nous allons établir, pour que ces équations convinssent au cas où elle serait répulsive.

Les composantes de la force F suivant les axes coordonnés sont

A ces composantes de la force qui agit réellement sur le point B, nous devons ajouter les composantes de la force d’inertie de ce point dans son mouvement d’entrainement. Or, la force qui agit sur le point A est égale et contraire à celle qui agit sur le point B; en sorte que ses composantes suivant les axes sont

L’accélération totale du mouvement absolu du point A est donc la résultante de trois accélérations dirigées suivànt les axes et ayant pour valeurs

Cette accélération totale étant celle du mouvement d’entrainement du point B, les composantes de sa force d’inertie dans ce mouvement d’entrainement seront

-II'fI, -Î^fî, --f^.

D’après cela, les équations différentielles du mouvement relatif du point B seront

ïlî LIVRE II. — DYNAMIOÜE. PREMIÈRE PARTIE.

Lorsque l’on connaîtra la loi suivant laquelle la force F varie avec la position que le point B occupe par rapport au point A, on n’aura plus qu’à intégrer les équations différentielles qu’on vient d’obtenir, pour avoir sous forme finie les équations du mouvement relatif du point B.

Il est aisé de voir que ce mouvement relatif du point B est de même nature que le mouvement absolu dont il serait animé s’il était soumis à la môme force attractive F émanant d’un point fixe. En effet, si l’on mène trois axes coordonnés par ce point fixe, et qu’on désigne parx, y, 2, les coordonnées du point B par rapport à ces axes, et par r la distance qui le sépare de l’origine, on aura les équations différentielles suivantes, pour déterminer son mouvement absolu :

di * tfi* r

Ces équations différentielles ne différent de celles qui déterminent le mouvement relatif du point B, par rapport aux axes mobiles passant par le point Â, qu’en ce que le facteur constant

^ qui multiplie les composantes de la force F, y est remplacé par le facteur Les intégrales de ces deux systèmes

d’équations différentielles s’obtiendront donc de la même manière, et auront exactement la même forme.

Considérons en particulier le cas où la force F varie en raison inverse du carré de la distance des deux points A et B. Le mouvement relatif du point B par rapport à des axes de direction constante menés par le point A sera de même nature que celui que nous avons étudié dans le § 124. Dans ce mouvement relatif, le point B ne sortira pas d’un plan mené par la direction de

ÉQÜIL. ET MOUV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. 813

sa vitesse relative initiale et par le point A ; et il décrira dans ce plan une section conique ayant le point  pour foyer.

§ 143. liOlM de Képlert gravltaflon anlTeraelle. — L’étude approfondie du mouvement des planètes autour du soleil a conduit Képler à reconnaître que ce mouvement s’efifectue d’après les lois suivantes :

Première loi. Les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont cet astre occupe un des foyers.

Deuxième loi. Les aires des portions d’ellipse parcourues successivement par le rayon vecteur qui joint une planète au soleil, sont entre elles comme les temps employés à les parcourir.

Troisième loi. Les carrés des temps des révolutions des planètes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

C’est en partant de ces lois que Newton est arrivé à la découverte de la gravitation universelle. Nous allons voir comment cette grande loi de la nature peut se déduire de celles que Képler avait fait connaître.

Dans le système de Copernic, que les lois de Képler n’ont fait que compléter, on regardait le soleil comme fixe. Le mouvement des planètes autour du soleil, tel qu’il est défini par les lois de Képler, était donc considéré comme un mouvement absolu. Plaçons-nous d’abord à ce point de vue, et voyons quelles sont les conséquences qu’on peut en tirer. De ce que l’orbite de chaque planète est contenue tout entière dans un plan passant par le soleil et de ce que les aires décrites par le rayon vecteur qui joint la planète au soleil sont proportionnelles aux temps employés à les décrire, nous pouvons conclure immédiatement que la planète se meut sous l’action d’une force qui est constamment dirigée vers le soleil (§ H5). Chaque planète décrivant une ellipse dont le soleil occupe un des foyers, il en résulte nécessairement : 4* que la force qui lui est appliquée tend à la rapprocher du soleil, puisque la concavité de sa trajectoire est tournée vers cet astre ; 2' que cette force varie en raison inverse du carré de la distance de la planète au

ÎU LIVRE II. — dynamique. PREMIÈRE PARTIE.

soleil (§ 124). Enfin, si nous désignons par T la durée de la révolution d’une planète autour du soleil, et par F la force qui détermine son mouvement ; et si, en outre, nous adoptons les notations'du §124, nous aurons

d’où

et par suite

27tal/ a

nÿ 47r*g* ni,

mais, d’après la troisième loi de Képler, -ÿia la même valeur

pour les diverses planètes : donc, si toutes les planètes étaient ramenées à la même distance du soleil, les forces telles que F qui tendent à les rapprocher du soleil seraient proportionnelles à leurs masses. On peut résumer ces différents résultats, en disant que les forces qui déterminent le mouvement des planètes sont : 1“ dirigées vers le soleil; 2* proportionnelles aux masses des planètes ; 3" inversement proportionnelles aux carrés des distances qui existent entre elles et le soleil.

Le mouvement de révolution de la lune autour de la terre, et celui des satellites de Jupiter, de Saturne, d’Uranus et de Nept une autour des planètes dont ils dépendent, montrent que ces oiverses planètes exercent sur leurs satellites des actions analogues t\ celles que le soleil exerce sur les planètes ; elles peuvent donc attirer le soleil, tout aussi bien qu’elles sont attirées par lui, et aussi elles peuvent s’attirer mutuellement. On est conduit par là à l’idée d’une attraction s’exerçant d’une manière générale entre deux quelconques des corps qui font partie de notre système planétaire, et il est naturel d’admettre que cette attraction suit les lois que nous avons trouvées pour les actions exercées parle soleil sur les planètes.

Il est vrai que, dès que l’on admet que le soleil est attiré par

ÉQUIt. ET MOUV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. ÎI5

les planètes qui l’entourent, on ne peut plus le regarder comme fixe ; il doit se mouvoir par suite des actions qu’il en éprouve, et par conséquent les lois de Képlcr se rapportent, non pas au mouvement absolu des planètes, mais à leur mouvement par rapport à des axes de direction constante menés par le soleil. Les déductions que nous avons tirées de ces lois, en regardant le soleil comme fixe, ne doivent donc pas être considérées comme rigoureuses. Observons cependant que le mouvement relatif d’une planète par rapport au soleil, dans le cas où ces deux corps ne seraient soumis qu’à leurs actions mutuelles, doit s’effectuer suivant les mêmes lois que le mouvement absolu dont la planète serait animée si le soleil était fixe et qu’il exerçât sur elle la même force attractive (§ 142); en sorte qne, si ce mouvement relatif satisfait aux deux premières lois que Képler a trouvées, il en serait de même du mouvement absolu dont il vient d’étre question; et, par suite, on est en droit de tirer de ces deux premières lois, reconnues vraies dans le mouvement relatif d’une planète autour du soleil, les conséquences qu’on en a déduites en admettant que le soleil était fixe et que ces lois s’appliquaient au mouvement absolu de la planète.

.L’existence de plusieurs planètes autour du soleil fait que cette dernière considération ne peut pas être appliquée en toute rigueur, puisqu’on ne peut pas admettre que le soleil se meuve sous l’action d’une planète, sans céder en même temps aux actions de toutes les autres. D’après cela, si les lois de Képler étaient rigoureusement vraies, les conséquences que nous en avons déduites, en regardant le soleil comme fixe, ne seraient pas exactes, et auraient besoin d’étre modifiées. Mais il n’en est pas ainsi, et c’est précisément le contraire qui a lieu ; les résultats auxquels nous avons été conduits, relativement aux forces d’attraction que le soleil exerce sur les planètes, sont exacts, tandis que les lois de Képler, qui nous ont servi de point de départ pour arriver à ces résultats, ne sont qu’approchées. Voici l’idée qu’on doit se faire de la manière dont s’effectuent les mouvements des divers corps qui font partie de notre système planétaire.

Deux portions quelconques de matière, appartenant à ce système, exercent l’une sur l’autre des actions attractives égales et contraires, dont l’intensité peut être représentée par

fmm'

tn et m' étant les masses de ces deux portions de matière, r la distance qui les sépare, et f une quantité constante qui est l’attraction de l’unité de masse sur l’unité de masse à l’unité de distance ; c’est en cela que consiste la loi de la gravitation universelle. Les dimensions du soleil et des divers corps qui circulent autour de lui sont tellement petites par rapporté leurs distances mutuelles, qu’on peut les assimiler à autant de points matériels agissant les uns sur les autres, conformément à la loi que nous venons d’énoncer : ce n’est guère que quand on s’occupe de la forme des planètes, et des phénomènes qui se passent à leur surface, qu’il y a lieu de regarder ces corps comme formés par la réunion d’un grand nombre de parties entre lesquelles s’exercent des actions attractives satisfaisant à la même loi. Le mouvement de chacun des points matériels auxquels nous réduisons ainsi le soleil, les planètes et leurs satellites, est déterminé par la résultante des actions qu’il éprouve de la part de tous les autres ; et par conséquent ce mouvement doit être très-complexe, en raison du grand nombre des points matériels qu’on a ainsi à considérer, et du changement continuel de leurs positions relatives. Mais la masse du soleil étant extrêmement grande par rapport aux masses de tous les autres corps, il s’ensuit que, d’une part, cet astre se déplace très-peu sous l’action des forces qui lui sont appliquées, de sorte que les choses se passent à peu près comme s'il était complètement immobile ; d’une autre part, la résultante de toutes les forces auxquelles une planète quelconque est soumise, ne diffère pas beaucoup de l’attraction qu’elle éprouve de la part du soleil, de sorte que la planète se meut à très-peu près de même que si le soleil agissait seul sur elle. C’est cette circonstance qui fait que Eépler a pu trouver les lois qui portent son nom, lois qui seraient exactes si le soleil

ÉOüIL. ET MOUV. RELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. 217

était immobile et que chaque planète ne fût attirée que par cet astre, mais qui ne sont qu’approchées, en raison du déplacement continuel du soleil, et des actions que chaque planète éprouve de la part de toutes les autres.

§ 144. La lune, satellite de la terre, étant beaucoup plus rapprochée de cette planète que du soleil, il en résulte que l’attraction qu’elle éprouve de la part de la terre n’est pas petite par rapport à celle qu’elle éprouve de la part du soleil ; la petitesse de la masse de la terre, comparés à la masse du soleil, est en grande partie compensée par la grande proximité de la lune et de la terre. C’est ce qui fait que le mouvement de la lune autour du soleil est loin de satisfaire aux deux premières lois de Képler. Mais ce qu’il nous importe de connaître, c’est le mouvement de la lune autour de la terre, c’est-à-dire le mouvement relatif de ce satellite rapporté à des axes de direction constante passant par le centre du globe terrestre. Pour étudier ce mouvement relatif, on peut le traiter comme un mouvement absolu, pourvu qu’aux forces réelles qui agissent sur la lune on joigne la force d’inertie correspondant au mouvement d’entralnement (§ 141). Soient »i, m', m", les masses du soleil, de la terre et de la lune, d la distance du soleil à la terre, d la distance du soleil à la lune, et t‘r la distance de la lune à la

terre. La luneL, fig. 69, est soumise : !• à l’attraction de la terre T, dirigée suivant LT et égale ài— 5— ;2° à l’attraction

du soleil S, dirigée suivant LS, et égale à • La terre T étant

soumise aux deux forces dirigées respectivement

suivant les lignes TS, TL, l’accélération totale de son mouvement absolu est la résultante des accélérations ^ di-

rigées suivant ces droites TS, TL ; donc la force d’inertie de la lune, dans son mouvement d’entrainement, est la résultante de

deux autres forces qui sont : d* une force égale à et dirigée suivant la ligne LN parallèle à ST; 2® une force égale à

fm’*

t-^et dirigée suivant la ligne LT. Les forces, tant apparentes

que réelles, dont on doit tenir compte pour pouvoir traiter le mouvement relatif de la lune comme un mouvement absolu, sont donc au nombre de quatre, savoir : 1® deux forces égales à

dirigées toutes deux suivant LT; 2“ une force

fvnvn^

égale à , dirigée suivant LS ; 3® enfin une force égale à

.dirigée suivant LN. La distance LT ou r de la lune à

la terre étant environ quatre cents fois plus petite que la distance TS ou d de la terre au soleil, il s’ensuit que les deux dernières forces n’ont jamais entre elles qu’une différence très-faible, et que les directions de ces forces ne s’éloignent jamais beaucoup d’étre opposées l’une à l’autre ; la résultante de ces deux dernières forces est donc toujours très-petite, de sorte que la lune se meut à peu près comme si elle n’était soumise qu’aux deux premières forces. Or, il est aisé de voir que, si l’on ne tient compte que de ces deux premières forces, on trouvera précisément le mouvement relatif dont la lune serait animée autour de la terre, si ces deux corps n’étaient soumis qu’à leurs actions mutuelles; et par conséquent ce mouvement s’effectuera conformément aux deux premières lois de Képler (§ 142). La résultante des deux autres forces, dont on néglige ainsi l’action dans une première approximation, constitue ce qu’on nomme \n force perturbatrice du mouvement de la lune ; elle a pour effet de faire prendre à la lune un mouvement un peu différent du mouvement elliptique dont elle serait animée sans cela, par rapport aux axes de direction constante menés par le centre de la terre.

Dans ce qui précède, nous n’avons pas tenu compte des actions, que la lune et la terre éprouvent de la part des planètes autres que la terre, k la rigueur, on doit en tenir compte, et cela ne

ÉQUIL. ET MOÜV. BELATIFS D’üN POINT MATÉRIEL. Î19

présente pas plus de difficulté que ce que nous avons fait en ne considérant que les actions du soleil sur ces deux corps ; mais il n’en résulte qu’une modification peu importante de la force perturbatrice du mouvement de la lune.

Le mouvement relatif de la lune autour de la terre s’effectuant à peu près de la môme manière que si ce* deux corps n’étaient soumis qu’à leurs actions mutuelles, et la masse m" de la lune étant petite par rapport à la masse tn' de la terre, puisque leur

tn!* 4

rapport — ; est égal à — , on peut regarder l’accélération totale

ffi OO

dans le mouvement relatif de la lune comme sensiblement égale à

fwi*

Cette accélération n’est donc autre chose que celle qui est

due à l’attraction de la terre sur un corps placé à la distance où se trouve la lune. Or, la lune emploie 27i, 321661 ou 2360592 secondes, à faire un tour entier autour de la terre ; si l’on regarde son mouvement comme circulaire et uniforme, ce qui n’est pas très-loin de la vérité, et qu’on prenne le rayon de son orbite égal à 60 fois le rayon de la terre, on en déduit que sa vitesse est de 1016",7 par seconde; en divisant le carré de cette vitesse par le rayon de l’orbite, on a 0“ ,0027061 pour l’accélération du mouvement lunaire : il suffit dès lors de multiplier ce dernier nombre par le carré de 60, pour avoir l’accélération produite par l’attraction de la terre sur un corps placé près de sa surface. Le résultat de cette multiplication est 9“,’/421, qui ne diffère pas beaucoup de l’accélération g due à l’action de la pesanteur dont la valeur est 9",8088. Si l’on observe que nous avons raisonné en ne tenant pas compte de l’effet produit par la force perturbatrice due au soleil, en négligeant la masse de la lune par rapport à celle de la terre, et en regardant le mouvement de la lune comme circulaire et uniforme, on comprendra que cela peut suffire pour expliquer la différence entre les deux nombres que nous venons de comparer. On reconnaît en effet que, si l’on a égard aux causes d’erreur que nous signalons et à quelques autres dont nous n’avons pas parlé, il y a identité complète entre l'accélération g des corps qui tombent près de la surface de

la terre, et la valeur que l’on trouve pour cette accélération en la déduisant du mouvement de la lune d’après la loi de la gravitation universelle. La pesanteur à la surface de la terre n’est donc qu’un cas particulier de cette gravitation universelle à la connaissance de laquelle Newton a été conduit en partant des loisdeKépler.

§ 145. On comprend très-bien que l’on puisse négliger les dimensions du soleil et des planètes, et assimiler les divers corps à de simples points matériels, quand on ne considère que les attractions qu’ils exercent les uns sur les autres, parce que leurs distances mutuelles sont très-grandes par rapport à leurs dimensions; on comprend encore qu’on puisse agir ainsi quand on s’occupe de l’attraction de la terre sur la lune ; mais quand on en vient à considérer l’attraction que la masse entière de la terre exerce sur un corps placé à sa surface, comme nous l’avons fait il n’y a qu’un instant, il n’est évidemment plus permis de faire abstraction des dimensions de la terre. Nous allons voir cependant qu’on est en droit de raisonner, même dans ce dernier cas, comme si toute la masse de la terre était réunie en son centre. Pour cela nous allons déterminer la résultante des attractions que les diverses parties d’un corps sphérique homogène, ou formé de couches sphériques concentriques homogènes, exercent sur un point matériel.

Considérons d’ahord une couche sphérique homogène C,

fig. 70, et supposons que le point matériel attiré A soit en dehors de cette couche. Nous raisonnerons comme si la matière existait d’une manière continue dans la totalité du volume occupé par la couche C, sans qu’aucun espace vide existe entre les diverses parties matérielles qui la constituent ; et en décomposant cette couche en éléments de dimensions inhniment petites dans tous les sens, nous regarderons ces divers éléments comme autant de points matériels dont les masses sont proportionnelles à leurs volumes. Soient R le rayon extérieur

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