X = ^ COS X
Enfin, si l’on remplace le temps t par sa valeur en fonction de la hauteur A dont le corps est tombé, valeur qui est
on a pour l’expression
2\jï
cosX.
Appliquons cette formule à des expériences qui ont été faites par M. Reich, dans un puits de mine, à Freyberg. La hauteur de chute A était de lo8“,5 ; la latitude X du lieu était de 31® ; en introduisant ces nombres dans la formule précédente, ainsi que la valeur’ connue de g (§ 90) et celle de w que nous avons donnée précédemment (§ 146), on trouve (T, 0276 pour la déviation x ; l’expérience, répétée un grand nombre de fois, a donné pour
cette déviation, en moyenne, 0“,0283 qui diffère à peine du résultat fourui par la théorie.
Le calcul de la déviation vers l’est, due à la force centrifuge composée, dans le mouvement d’un corps qui tombe sans vitesse initiale, vient de nous montrer que l’effet de cette force est très-faible, môme lorsque le corps tombe d’une grande hauteur. Nous pouvons observer d’une manière générale que, dans le mouvement apparent d’un corps à la surface de la terre, la force centrifuge composéé a pour valeur
inuùv 8in a,
en désignant par m la masse du corps, par v sa vitesse apparente et par a l’angle que la direction de cette vitesse fait avec l’axe du monde ; qu’en conséquence cette force, au plus égale à 2m(oü, ne pourrait devenir égale à la force centrifuge mcoV due à la rotation de la terre, en un point situé à l’équateur, qu’autant que la vitesse v surpasserait Jwr, qui est la moitié de la vitesse d’un point de l’équateur terrestre en vertu de la rotation du globe, c’est-à-dire qu'autant que la vitesse v serait de plus de 230 mètres par seconde ; on voit donc que, généralement, la force centrifuge composée pourra être négligée dans l’étude du mouvement d’un corps à la surface de la terre, à moins que la vitesse apparente de ce corps ne soit extrêmement grande.
§ 148. Appliquons encore la théorie des forces apparentes dans le mouvement relatif, à l’étude du mouvement d’un pendule conique à la surface de la terre, en supposant toujours que le globe terrestre n’est animé que d’un mouvement de rotation autour de la ligne des pôles.
Le corps qui termine le pendule peut être regardé comme étant un point matériel assujetti à rester sur la surface d’une sphère. Rapportons son mouvement à trois axes coordonnés rectangulaires menés par le centre de cette sphère, et comptons les Z verticalement et de haut en bas, les x suivant la trace horizontale du plan méridien et du nord au sud, enfin les y suivant une direction horizontale perpendiculaire à la précédente et de l’ouest à l’est. Les forces dont nous devons tenir compte, pour
ÉQÜIL. ET MOUV. RELATIFS D’CN POINT MATÉRIEL. SSl
assimiler le mouvement apparent du point matériel qui termine le pendule à un mouvement absolu, sont au nombre de quatre, savoir : l°deux forces réelles, qui sont l’attraction de la terre et la tension du fil ; 2“ deux forces apparentes, qui sont la force centrifuge due à la rotation de la terre, et la force centrifuge composée. L’attraction de la terre, et la force centrifuge due à la rotation de la terre, ont pour résultante le poids du corps, qui est dirigé verticalement et égal à mg. Les forces que nous devrons introduire dans les équations différentielles du mouvement du point mobile se réduisent donc à trois, savoir ; 1° le poids mg, qui agit dans le sens des z positifs ; 2° la tension du dl, que nous désignerons par N, et dont les composantes parallèles aux axes sont
3° enfin, la force centrifuge composée qui a pour valeur ‘imwv sin a, et dont nous allons chercher les composantes parallèles aux axes.
Soient a, b, c, les angles que cette force centrifuge composée fait avec les axes desx, des y et desz; w, w„ w„ les projections delà vitesse ndu mobile sur ces axes; etX, la latitude du lieu. La force centrifuge composée devant être perpendiculaire à la direction de la vitesse v, il s’ensuit qu’on a
« COg rt -I- «1 cos i -1- lij cos C = 0 ;
cette force devant également être perpendiculaire à la direction de l’axe du monde, qui fait avec les axes des x, desy et des z,
des angles respectivement égaux à X, 0, - — X, on a encore
Jà
cos \ CO» a + sin \ cos c = 0 ;
enfin on a toujours, entre les cosinus des angles qu’une droite fait avec trois axes rectangulaires, la relation
cos’ a 4- cos* 4 cos’ c = 1.
En résolvant ces trois équations par rapport à cos a, cos 6, cos c, on trouve
IIVRE II.
,• + (w, cos X — « sin ).)*
, w, cos ). — U sin X
cos b = — — — - - 1
^ «1* + (“s «08 X — U sin X)*
— U, cos X
cos c = — ■ •
«i* + (u, cos X — U sin X|*
Le signe du radical qui entre dans ces trois cosinus doit être déterminé d’après le sens dans lequel agit la force centrifuge composée. Pour y arriver simplement, supposons que la vitesse u du mobile soit dirigée parallèlement à l’axe des x et dans le sens des X positifs : m, et m, seront nuis, et « sera positif. Or, il est aisé de voir, d’après le sens dans lequel s’effectue la rotation de la terre, que, dans ce cas, la force centrifuge composée doit être dirigée vers l’ouest, c’est-à-dire dans le sens des y négatifs : cos a et cos c doivent donc être nuis, et cos 6 doit être égal à — 1, ce qui exige que le radical soit pris avec le signe -(-.
D’un autre côté, l’angle a que la vitesse v du mobile fait avec l’axe du monde, est déterminé par la relation
U ti«
COS a = - COS ). -j sin X ;
on CD déduit
V sin a = i’ + (“t C08 X — « Sin X)*.
D’après cela, les trois composantes de la force centrifuge composée suivant les axes coordonnés sont
2muui sin X, Smta (u, cos X — u sin X), — SmcdU^ cos X.
Il résulte de tout ce qui précède que les équations différentielles du mouvement du point matériel qui termine le pendule sont les suivantes :
— — 7 + 2w«i sia X,
— — J 4- 2w (uj cos X — U sin X),
ÿ— - 2u«,cos X.
d*!/ dt» ~ d'z dt* ~
ÉQUIL. ET MOUV. RELATIFS d’üN POINT MATÉRIEL. 838 On doit observer que les quantités «, w„ w, sont respeclivedx dy dz
ment égales à ^ , -p . L intégration de ces équations dif-
dt at at
férentielles, auxquelles on devra joindre l’équation, a;* + y’ + z’ = P,
fera connaître le mouvement apparent du pendule conique.
Les équations différentielles auxquelles nous venons de parvenir, vont nous permettre d’expliquer la rotation du plan d’oscillation du pendule, telle qu’on l’observe dans la belle expérience de M. Foucault. Pour cela, éliminons N entre les deux premières équations, et nous trouverons, en remplaçant u, u,, u„ par leurs valeurs,
ffty <Px „ . ^ f ' , du\ , „ , rfz
Le dernier terme de cette équation, contenant cos X en facteur, est nul aux pôles de la terre; en tout autre point de la surface du globe, il peut être négligé, si les oscillations du pendule n’ont
dz
qu’une petite-amplitude, à cause du facteur ^ qui est très-petit:
après la suppression de ce terme, l’équation est immédiatement intégrable et donne
Æ ^ — y ^ = — U sin X (I* -4- ÿ») -I- C,
en désignant par C une constante arbitraire. Le pendule ayant été mis en mouvement de manière qu’à chaque oscillation il vienne coïncider avec la verticale de son point de suspension, on voit que la constante Cdoit être nulle, puisque l’équation qui la renferme doit être satisfaite quand on y suppose x = O et y = 0. Remplaçons les coordonnées rectangulaires x ety par les coordonnées polaires r et 6 liées aux premières par les relations
xssrcosO, y = rsln9, et l’équation dont il s’agit se réduit à
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i3* LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE. '
d’où l’on tire
0 = ôo — U sin i . I.
On en conclut évidemment que le plan d’oscillation du pendule tourne uniformément autour de la verticale, avec une vitesse angulaire égale à «o sin La rotation s’effectue d’ailleurs dans le sens sud-ouest nord-est, si le lieu d’observation est situé dans l’hémisphère boréal de la terre ; et dans le sens contraire, si ce lieu est situé dans l’hémisphère austral, à cause du facteur sin X qui devient négatif dans ce second cas. Observons que, d’après ce qui précède, la rotation uniforme du plan d’oscillation du pendule se trouve établie rigoureusement, quelle que soit l’amplitude des oscillations, pour le cas où le pendule serait installé à l’un des deux pôles de la terre; tandis que, pour tout autre lieu de la terre, cette rotation uniforme n’existe qu’approximativement, et en supposant que les oscillations n’aient qu’une faible amplitude.
§ 149. Dans les trois paragraphes qui précèdent, nous avons étudié l’équilibre et le mouvement des corps à la surface de la terre, en supposant que le globe terrestre ne fût animé que de son mouvement de rotation autour de la ligne des pôles. Voyons quelle influence le mouvement annuel du centre de la terre autour du soleil peut avoir sur les résultats que nous avons obtenus.
Remarquons d’abord que, le mouvement de la terre dans l’espace se composant d’un mouvement de translation égal à celui de son centre et d’un mouvement de rotation autour de la ligne des pôles, lorsque nous chercherons à décomposer ce mouvement total de la terre en une rotation autour d’un axe passant par un point quelconque et une translation égale au mouvement de ce point, nous trouverons la même rotation composante que si nous négligions le mouvement du centre de la terre : donc la force centrifuge composée d’un point matériel, dont nous voulons étudier le mouvement apparent à la surface
ÉOUIL. ET HOUV. RELATIFS d’üN POINT MATÉRIEL. *35
de la terre, aura la même grandeur, la même direction et le même sens, soit qu’on néglige le mouvement annuel du centre de la terre autour du soleil, soit qu’on veuille en tenir compte.
Il n’en est pas de même de la force d’inertie correspondant au mouvement d’entrainement du point mobile; quand on tient compte du mouvement du centre de la terre, cette force d’inertie a une valeur différente de celle que nous lui avons trouvée en supposant que la terre n’était animée que d’un mouvement de rotation autour de la ligne des pôles. Le mouvement de la terre se composant de son mouvement de translation autour du soleil et de sa rotation autour de la ligne des pôles, la force d’inertie dont il s’agit est la résultante de deux forces qui sont : 1° la force centrifuge due à la rotation de la terre ; 2“ une force égale et contraire à celle qui donnerait au mobile supposé libre un mouvement précisément égal à celui du centre de la terre. Mais, en même temps qu’on tient compte du mouvement de la terre autour du soleil, mouvement qui est dû à l’attraction de cet astre sur le globe terrestre, on doit tenir compte également de l’attraction que le soleil exerce sur le corps dont on veut étudier l’équilibre ou le mouvement par rapport à la terre. On voit d’après cela que, pour avoir égard au mouvement annuel du centre de la terre autour du soleil, on doit joindre deux nouvelles forces à celles que l’on avait considérées, quand on n’attribuait à la terre que son mouvement de rotation, savoir ; 1® une force réelle qui est l’attraction du soleil sur le mobile dont on s’occupe ; 2® une force apparente égale et contraire à celle qui serait capable' de lui donner une accélération de même grandeur, de même direction et ^e même sens que celle que l’attraction du soleil communique au centre de la terre. Ces deux forces, dont on doit tenir compte aussi bien dans l’étude de l’équilibre apparent d’un corps sur la terre, que dans celle de son mouvement, sont presque égales et contraires l’une à l’autre, à cause de la petitesse du rayon de la terre relativement à la distance de la terre au soleil; leur résultante, qui est extrêmement petite, change de grandeur et de direction d’une heure à l’autre d’une même journée, par suite du changement de position du corps par rapport au
soleil; elle doit être regardée comme étant une force perturbatrice qui détermine une variation périodique, tant dans la grandeur du poids du corps que dans la direction du iU à plomb ou de la verticale. Ce changement périodique de la direction du fil à plomb ne peut pas s’observer directement, parce qu’il est trop faible ; mais il devient sensible par les oscillations de la surface de la mer, qui en sont une conséquence naturelle.
Pour être exactement dans le vrai, il faut encore tenir compte de la présence de la lune, qui contribue pour sa faible part au mouvement de translation de la terre, et qui agit également par attraction sur un corps quelconque placé à la surface de la terre. La résultante de l’httraction de la lune sur ce corps, et d’une force capable de lui donner une accélération égale et contraire à celle que la lune donne au centre de la terre, constitue une nouvelle force perturbatrice, qui se combine avec la précédente, pour produire le changement périodique de direction de la verticale auquel est dû le phénomène des marées. Cette dernière force perturbatrice est même plus grande que la première, parce que la lune est beaucoup plus rapprochée de la terre que le soleil ; et c’est pour cela que le phénomène des marées se règle surtout sur le mouvement apparent de la lune, et non sur celui du soleil.
L’influence du mouvement annuel de la terre autour du soleil ne se manifeste donc, dans l’équilibre et le mouvement des corps sur la terre, que par une variation périodique et presque insensible de l’intensité de la pesanteur et de la direction de la verticale en chaque lieu. Les résultats auxquels nous étions parvenus en négligeant ce mouvement (§§ 146 et 147) n’en sont pas modifiés d’une manière appréciable.
On comprend, maintenant, comment nous avons pu dire (§107) que le poids d’un corps, placé successivement à différentes hauteurs au-dessus de la surface de la terre, varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance qui le sépare du centre du globe terrestre. La force d’inertie correspondant au mouvement d’entrainement d’un corps placé sur la surface de la terre, ou près de cette surface, est très-petite par rapport à l’attraction
ÉQUIL: et MOUV. relatifs d’un point matériel. 2*7
que le corps éprouve de la part du globe terrestre; le poids du corps ne diffère donc pas beaucoup de cette attraction qui est à peu près dirigée vers le centre de la terre, et qui varie à peu près en raison inverse du carré de la distance du corps à ce centre (§ 145). Nous pouvons ajouter que, lors même que le poids d’un corps serait une force exactement dirigée vers le centre de la terre, et variant en raison inverse du carré de la distance du corps à ce point, le mouvement du corps abandonné à lui-même, sans vitesse initiale, ne serait pas précisément celui que nous avons trouvé dans le§ 107 ; car la force centrifuge composée vient se joindre au poids du corps pour modifier son mouvement, et l’on sait que la grandeur de cette force augmente avec la vitesse du corps : ce n’est qu’autant que la vitesse du mobile ne serait pas très-grande, qu’on pourrait regarder son mouvement comme s’effectuant conformément à ce qui a été dit dans ce paragraphe.
Lorsque la hauteur de chute est petite, on peut négliger, non-seulement l’influence de la force centrifuge composée, mais encore la variation de grandeur et de direction qu’éprouve le poids du corps, à mesure que ce corps change de position par rapport à la surface de la terre : en sorte que, dans ce cas, le mouvement apparent d’un corps pesant s’effectue comme un mouvement absolu produit par l’action d’une force constante en grandeur et en direction (§§ 90, 91 et 92).
