ÉQUIL. ET MODV. RELATIFS D’UN POINT MATÉRIEL. *Î
de la couche, R' son rayon intérieur, a la distance de son centre O au point Â, r la distance d’un point quelconque M au point O, 6 l’angle MOA, (p l’angle que le plan MOÂ fait arec un plan fixe mené par ÂO, m la masse du point matériel A, et p la masse de la matière contenue dans l’unité de volume de la couche C. Un élément de volume, correspondant aux variations rfr, d6, rfip des trois coordonnées polaires du point M, est représenté par
r' 8in 6 dr rf0 rfç ;
la masse de la matière que cet élément de volume renferme est donc égale à
pr* sln 6 dr di d<f ;
d’après cela, on a pour l’expression de l’attraction que cet élément matériel exerce sur le point A (§ 143)
/mpr* sin 6 dr rf6 rfy a* r* — 2ar cos 6
Décomposons celte force en deux composantes dirigées, l’une suivant AO, l’autre suivant une ligne AB perpendiculaire à AO; si nous désignons l’angle MAO par a, nous aurons
/Vnpr* sln 0 cos a dr rf0 rfp a* r* — 2ar cos 0
pour la première de ces deux composantes. En raison de la symétrie du système par rapport à la ligne AO, il est clair que la résultante des attractions que toutes les parties matérielles de la couche C exercent sur le point A, sera dirigée suivant cette ligne AO, et qu’en conséquence elle sera égale à la somme des composantes, telles que celle dont nous venons d’écrire la valeur : toutes les autres composantes dirigées perpendiculairement à AO, se détruiront mutuellement, en sorte que nous n’avons pas besoin de nous en occuper. Nous aurons donc, pour l’attraction totale F exercée par la couche C sur le point matériel A,
dr d9 R* t/ 0 V <
/wpr» 8ln 6 COS g df O* -t- »•» — 2ar C08 6
22î LIVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
Effectuons d’abord l’intégration relative à ç, et nous aurons, en observant que /*, m et p sont constants,
F =27c/mp
r« «In 6 C08 a rfe a* + r* — 2ar cog 6
Pour faire une seconde intégration, dans laquelle r sera regardé comme constant, substituons à 0 une autre variable u représentant la distance ÂM. Nous aurons
u* = a»-t- »■* — 2arcos6,
et par suite
ou a d’ailleurs
gin s =
Xidu
COS a =
de sorte que, si nous «bservons que les valeurs de u correspondantes aux limites de 6 sont a — r et a -|- r, nous pourrons mettre la valeur de F sous la forme
du.
L'intégration relative à u étant efTcctuée, on aura
et enfin, en intégrant par rapport à r, on trouvera
„ infmp (R> - R'»)
valeur qui se réduit à
ÉQÜIL. ET MOÜV. RELATIFS d’dN POINT MATÉRIEL. *Î3
si l’on désigne par M la masse de la couche attirante, car cette masse est évidemment égale à
On voit par là que la résultante des attractions exercées sur le point matériel A, par les diverses parties matérielles qui composent la couche G, est exactement la même que l’attraction que ce point A éprouverait de la part d’un point matériel qui se trouverait en O et dont la masse serait égale à celle de la couche G.
Si le point attiré A était à l’intérieur de la couche attirante G, le calcul de l’attraction de la couche sur le point A se ferait exactement de la même manière; seulement, quand on en viendrait à l’intégration relative à u, on devrait prendre r — a etr-j-û pour les limites des valeurs de cette variable, au lieu de a — r et a -|- r que nous avons pris précédemment ; il s’ensuit que le résultat est très-différent, et que l’on trouve
Les actions que les diverses parties matérielles de la couche G exercent sur un point matériel situé à son intérieur se font donc équilibre, et ce point se trouve dans les mômes conditions que si ces parties matérielles dont la couche G est formée n’exerçaient aucune attraction sur lui.
Supposons maintenant que le corps attirant soit formé de couches sphériques concentriques et homogènes, la densité pouvant d’ailleurs varier d’une manière quelconque d’une couche à une autre. Nous pouvons dire de suite que : 1° si le point attiré n’est pas situé à l’intérieur de la surface du corps attirant, l’attraction qu’il éprouvera sera la même que si toute la masse de ce corps était concentrée en son centre de figure, puisque cela a lieu pour chacune des couches dont le corps se compose ; 2“ si le point attiré est situé à l’intérieur de la surface du corps attirant, les couches qui l’environnent n’auront aucune action sur lui, et l’attraction totale à laquelle il sera soumis sera la
iU UVRE II. — DYNAMIQUE. PREMIÈRE PARTIE.
môme que si ces couches extérieures étaieut supprimées et que le reste du corps fût concentré à son centre de figure.
La terre ayant à très-peu près la forme d’une sphère, et les matières qui la composent étant probablement distribuées à son intérieur, de manière à former à peu près des couches sphériques concentriques homogènes, on voit qu’on est en droit, jusqu’à un certain point, de regarder l’attraction qu’un point matériel éprouve de la part de la terre comme étant la même que si toute la masse de la terre était réunie en son centre. C’est ce que nous avons fait, lorsque nous avons cherché à reconnaître si la pesanteur terrestre n’était pas un effet particulier de cette gravitation universelle, à laquelle sont dus les mouvements des divers corps de notre système planétaire (§ LU). Cependant le défaut de sphéricité parfaite des couches homogènes dont on peut concevoir que la terre est formée, fait que les choses ne se passent pas tout à fait ainsi ; l’intensité et la direction de l’attraction totale qu’un point matériel éprouve de la part de la terre, sont réellement un peu différentes de ce qu’elles seraient si la masse entière de la terre était concentrée en son centre.
§ 146. Équilibre et mouwement de* corpa d la «orrace de la terre. — Un corps qui nous parait en repos à la surface de la terre, n’est qu’en équilibre relatif, puisque la terre se meut dans l’espace. De même, lorsqu’un corps nous parait se déplacer par rapport aux objets terrestres qui nous environnent et que nous jugeons immobiles, le mouvement du corps, tel que nous le voyons, n’est qu’un mouvement relatif. Cherchons à nous rendre compte du rôle que jouent dans ce cas les forces apparentes que l’on doit joindre aux forces réelles, pour que l’équilibre et le mouvement relatifs dont il s’agit puissent être traités comme un équilibre et un mouvement absolus.
Nous supposerons d'abord que la terre ne soit animée que de son mouvement de rotation autour de la ligne des pôles; nous verrons ensuite comment les résultats que nous allons obtenir dans cette hypothèse, doivent être modifiés, pour tenir compte du déplacement du centre de la terre dans l’espace.
Lorsqu’un corps, que nous réduisons toujours par la pensée à
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ÉOUIL. ET MOUV. BELATIFS D’t’N POINT MATÉRIEL. 9S5
un point matériel, repose sur une table ou sur le sol, il doit y avoir équilibre entre toutes les forces qui lui sont appliquées, y compris la force apparente qu’on doit joindre aux forces réelles pour que l’équilibre relatif puisse être assimilé à un équilibre absolu (§ 140). Le mouvement d’entrainement du corps, dû à la rotation de la terre autour de son axe, est un mouvement circulaire et uniforme ; la force apparente dont il s’agit se réduit donc à la force centrifuge correspondante à ce mouvement, et a pour valeur
muV,
en désignant par m la masse du corps, par u la vitesse angulaire de la terre dans son mouvement autour de la ligne des pôles, et par r la distance du corps que l’on considère à cette ligne. Quant aux forces réelles qui agissent sur ce corps, ce sont : 1° l’attraction qu’il éprouve de la part de la terre ; 2” la pression qui est exercée sur lui de bas en haut par la table ou le sol qui le supporte. Ces deux forces réelles et la force centrifuge witoiV se faisant équilibre, on en conclut que la pression exercée par la table ou le sol sur le corps est égale et directement opposée à la résultante de la force centrifuge et de l’attraction qu’il éprouve de la part de la terre. Cette résultante n’est donc autre chose que ce que nous nommons le poirfs du corps. Ainsi on ne doit pas confondre le poids d’un corps avec l’attraction que ce corps éprouve de la part de la terre ; le poids s’obtient en composant cette attraction avec la force centrifuge due à la rotation de la terre.
Les mêmes considérations s’appliquent à l’équilibre relatif d’un corps suspendu à l’extrémité inférieure d’un fil dont l’extrémité supérieure est fixe. La direction du fil à plomb, c’est-à-dire ce qu’on nomme la verticale, est précisément la direction de cette résultante de l’attraction de la terre et de la force centrifuge. La force centrifuge est dirigée suivant le prolongement du rayon du cercle que le corps décrit autour de l’axe du monde, en vertu de la rotation de la terre ; elle fait donc en général un angle plus ou moins grand avec l’attraction de la terre sur le
is
corps, puisque celte attraction est à peu près dirigée vers le centre du globe terrestre : il s’ensuit que la résultante de ces deux forces a généralement une direction différente de celle de chacune des composantes. La verticale d’un lieu quelconque de la surface de la terre n’a donc pas la même direction que si la terre était immobile : ce n’est qu’aux pôles et tout du long de l’équateur que la direction de la verticale n'est pas changée par l’effet de la rotation de la terre.
La terre employant 86164 secondes (durée du jour sidéral) à faire un tour entier autour de son axe, on a
D’après la valeur du rayon de la terre exprimé en mètres, l’accélération <«)*r due à la force centrifuge a pour valeur, à l’équateur,
Si l’on compare cette accélération à celle qui est due au poids du corps, et que nous désignons habituellement par la lettre g, on trouve qu’elle est environ 289 fois plus petite que cette dernière accélération. La force centrifuge, qui est plus grande à l’équateur qu’en tout autre point de la terre, n’est donc qu’une petite fraction du poids du corps, c’est-à-dire de la force qu'on obtient en composant cette force centrifuge avec l’attraction de la terre sur le corps. On en conclut nécessairement que la force centrifuge est également très-petite par rapport à cette attraction; en sorte que la rotation de la terre n’a qu’une influence assez faible sur l’intensité de la pesanteur et sur la direction de la verticale. Observons à cette occasion que, 289 étant le carré de 17, il sufflrait que la terre tournât environ 17 fois plus vite, pour que la force centrifuge développée sur un corps quelconque, à l’équateur, fût égale à l’attraction que la terre exerce sur lui, c’est-à-dire pour que le poids de ce corps se réduisit à zéro.
§ 147. Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu’on laisse
ÉOUIL. ET MOUV. BELATIFS D’üN l’OINT MATÉBIEL. 227
tomber un corps à la surface de la terre, sans lui donner de vitesse initiale. Nous allons voir que ce corps commence à se mouvoir suivant la verticale menée par son point de départ, et qu’ensuite il s’en écarte peu à peu, à mesure que sa vitesse augmente.
Pour traiter le mouvement du corps comme un mouvement absolu, nous devons joindre à la force qui agit réellement sur lui, c’est-à-dire à l’attraction qu’il éprouve de la part de la terre, deux forces apparentes qui sont : 1" la force centrifuge correspondant au mouvement circulaire et uniforme dont le corps serait animé s’il restait immobile par rapport à la terre, dans la position qu’il occupe à l’instant que l’on considère ; 2* la force centrifuge composée. L’expression de cette dernière force contenant la vitesse relative du mobile en facteur, on voit qu’elle est nulle au départ de ce mobile, et qu’elle prend ensuite une valeur de plus en plus grande à mesure que la vitesse du mobile croit. Au commencement, le mouvement semble donc produit par la résultante de l’attraction de la terre sur le corps, et de la force centrifuge due à la rotation de la terre; c’est la force que nous désignons sous le nom de poids du corps, et dont la direction est indiquée par le fil à plomb (§ 146), qui se manifeste seule dans les circonstances que présente le mouvement à son origine. D’après cela, le corps commence à tomber suivant la verticale de son point de départ, et l’accélération g qu’il reçoit tout d’abord dans sa chute apparente, est celle qu’une force égale à son poids P lui communiquerait. Ainsi le poids P, qui n’est pas la force réellement appliquée au corps, est lié à l’accélération g de son mouvement apparent, parla relation
P = mÿ.
Cette relation avait été établie tout d’abord dans l’iiypotlièse de l’immobilité de la terre (§ 98). Il était nécessaire de montrer qu’elle est encore vraie lorsqu’on rentre dans la réalité, quoique P ne soit pas la force qui agit réellement sur le corps, et que g ne soit pas l’accélération de son mouvement absolu. Mais il faut observer que, pour qu’il en soit ainsi, on doit prendre pour g
l’accélération qui se présente dans les premiers instants de la chute apparente du corps.
Lorsque le corps qui tombe est déjà en mouvement, la force centrifuge composée n’est pas nulle : elle dérange le corps de la verticale suivant laquelle il a commencé à se mouvoir. Pour nous rendre compte de l’effet qu’elle produit, et que l’on a pu constater par l’expérience, malgré sa petitesse, nous déterminerons la grandeur et la direction de cette force centrifuge composée, comme si le mouvement apparent du corps était rigoureusement un mouvement rectiligne et uniformément accéléré s’effectuant suivant la verticale menée par son point de départ. Soit M, fig. 71, la position qu’occupe le corps à un instant quelconque, après être tombé de la hauteur AM. Menons par le point M une droite MP parallèle à l’axe du monde. Nous pouvons regarder la rotation élémentaire de la terre, pendant un élément de temps compté à partir de l’instant que nous considérons, comme résultant de la composition d’une rotation élémentaire égale et de même sens autour de la ligne MP, et d’une translation ayant même grandeur, même direction et même sens que le déplacement élémentaire du point M, supposé invariablement lié à la terre. Si nous observons que la vitesse apparente du corps en M est égale à gt (/ étant le temps compté à partir de l’origine du mouvement), et que l’angle formé par la direction MN de cette vitesse avec l’axe de rotation MP est le complément de la latitude X du lieu auquel correspond la verticale AM, nous verrons que la force centrifuge composée a pour valeur
Fig. 71.
Zmiagt cos X;
si nous observons de plus que le plan PMN est le méridien du lieu, et que, dans la rotation élémentaire du globe terrestre autour de MP, l’extrémité N de la ligne MN qui représente la vitesse apparente du mobile marche vers l’ouest, nous en conclu-
ÉQUIL. ET MOÜV. RELATIFS d’üN POINT MATÉRIEL. 2Î9
rons que cette force centrifuge composée est dirigée suivant la perpendiculaire au méridien du lieu, et qu’elle tend à entraîner le mobile vers l’ést (§ 139). La force dont il s’agit doit donc déranger le corps du mouvement qu’il a commencé à prendre suivant la verticale de son point de départ ; elle doit produire une déviation vers l’est : nous allons calculer la grandeur de cette déviation. Poqr cela, considérons la projection du mouvement du corps sur un plan horizontal ; la projection de la force totale- qui produit le mouvement apparent du corps sera précisément la force centrifuge composée, et le déplacement que cette force projetée communiquerait, pendant tout le temps de la chute, à un point matériel partant du repos et ayant même masse que le corps, sera égal à la déviation cherchée (§ Hl). L’équation différentielle de ce mouvement projeté est
(Jxr
— = 2ü)^; cosX.
Si l’on intègre et qu’on détermine les constantes de telle manière dx
que X et — soient nuis pour t = 0, on trouve
