CHAPITRE V

§ 195. AÎDsi que nous l’avons déjà dit (§ 183), les conditions d’équilibre d’un solide invariable peuvent être appliquées à un solide naturel, soit en prenant ce solide avec la forme qu’il possédait avant qu’il fût soumis à l’action des forces que l’on considère, soit en lui attribuant la forme qu’il a prise sous l’action de ces forces. Dans le premier cas, on ne commet généralement qu’une erreur très-petite, et d’autant plus petite que le solide est moins déformable ; dans le second cas, on ne commet absolument aucune erreur. Mais cette seconde manière d’appliquer les conditions d’équilibre d ’un solide invariable à l’équilibre d’un solide naturel, ne peut être employée qu’autant que l’on a à étudier un équilibre existant réellement, et que l’on veut trouver les grandeurs de quelques-unes des forces qui agissent sur le solide considéré. Si l’on donne un solide naturel, et qu’on demande s’il pourra être en équilibre sous l’action de diverses forces données, en les supposant appliquées à certains points de ce solide, on ne connaît pas d’avance la forme qu’affectera ce solide lorsque l’équilibre dont il s’agit sera établi, si toutefois il peut s’établir ; il faut alors, ou bien qu’on néglige la déformation que les forces feront subir au solide, ou bien qu’on sache comment il se déforme sous l’action de forces données. Dans la plupart des cas, on opère de la première manière ; c’est-à-

Digilized by Gt)Ogle

dire que, dans la recherche des relations auxquelles doivent satisfaire les forces appliquées au solide pour qu’il y ait équilibre, on regarde ce solide comme ayant, sous l’action des forces, exactement la forme qu’il avait avant d’étre soumis à cette action. Seulement, quand on suit cette marche, on doit ensuite se préoccuper de déterminer les tensions et pressions qui se développent dans les diverses parties du solide, afin de voir s’il peut supporter ces tensions ou ces pressionssans se briser.

Les questions que nous allons traiter dans ce chapitre suffiront pour donner une idée nette de cette manière d’opérer.

§ 196. Bé«lHtance d*un solide prismatique d l'extenslon et d la compression. — Lorsqu’un solide homogène de forme prismatique, tel qu’une pièce de bois de charpente ou une barre de fer, est fixé à l’une de ses extrémités, et soumis à son autre extrémité à l’action d'une force F, qui tend à l’allonger, il éprouve en effet un certain allongement qui varie avec l’intensité de la force Si l’on désigne par l la longueur primitive du solide, par i l’allongement produit par l’action de la force F, et par u l’aire de sa section transversale, l’expérience indique que l’on a

.F = Eo>j,

E étant une constante ; c’est-à-dire que la force F est proportionnelle à l’aire w de la section transversale du solide, et aussi

à l’allongement j de l’unité de longueur de ce solide. Le coefficient E, qui dépend uniquement de la nature du corps, est habituellement désigné sous le nom At coefficient d'élasticité. Cette relation entre la force F et l’allongement i qu’elle détermine, n’est vraie d’ailleurs qu’autant que i ne dépasse pas une cer- • taine limite ; en sorte qu’on ne doit en faire usage qu’avec cette restriction.

Si le même solide prismatique, fixé à l’une de ses extrémités, est soumis à l’autre extrémité à l’action d’une force qui tend à le raccourcir, l’intensité de la force et le raccourcisse-

ÉQUIUBRE DES SOUDES NATURELS. 33 5

ment qu’éprouve le solide sont encore liés l’un à l’autre par la relation précédente ; en sorte qu’on peut y regarder i comme représentant un allongement positif ou négatif, suivant que la force F agit dans le sens convenable pour allonger le solide, ou bien dans le sens opposé. Cette relation ne peut également s’appliquer au cas où F et t sont tous deux négatifs qu’autant que la valeur absolue de i n’est pas trop grande ; la limite du raccourcissement au delà de laquelle la formule cesse d’être vraie, diffère d’ailleurs en général de la limite analogue correspondant à l’allongement.

La relation expérimentale que nous venons de faire connaître va nous permettre d’étudier l’équilibre des solides naturels dans diverses circonstances.

§ 197. Équilibre d’an solide allongé sollicité par des forces qui tendent d le faire flécblr transversalement. — Considérons d’abord un solide ayant la forme d’un prisme symétrique par rapport à un plan, et supposons que ce solide soit soumis à des forces qui tendent à le faire fléchir parallèlement à ce plan. Nous allons chercher à déterminer la forme que prendra le solide sous l’action des forces qui lui sont appliquées, en admettant tout d’abord que la déformation qu’elles lui font éprouver est très-petite.

Soit mn, fig. 97, une section normale du solide pris à l’état d’équilibre ; cette section divise le solide en deux parties A et B. Nous admettrons que les molécules (jui sont dans le plan de cette section normale étaient déjà dans un même plan perpendiculaire aux arêtes du prisme avant sa flexion. Nous admettrons, en outre, que les forces •'■s- ®"-

extérieures qui agissent sur la partie B du solide se réduisent, soit à un couple C dont le plan est parallèle au plan de symé-

trie, soit à une seule force F dirigée dans le plan de symétrie parallèlement à la section mn.

Considérons la partie B du solide toute seule, et regardonsla comme étant un solide invariable (§ 183). Il y 'a équilibre entre toutes les forces qui lui sont appliquées, c’est-à-dire entre le couple C ou la force F, et les diverses forces moléculaires qui proviennent de l’action de la partie A du solide sur cette partie B. Chacune de ces dernières forces, agissant sur une des molécules de B situées dans le voisinage de la section mn, peut être décomposée en deux composantes, dont l’une agit perpendiculairement à mn, et l’autre agit dans le plan mn. D’après les conditions d’équilibre établies précédemment (§§ 17T et 178), on peut dire que :

1° La somme des composantes normales à mn des actions moléculaires exercées par A sur B est nulle, puisque la somme des projections des autres forces sur une perpendiculaire à mn est nulle par hypothèse ;

2® La somme des composantes de ces mômes actions moléculaires suivant mn est nulle, si les autres forces qui agissent sur B se réduisent à un couple C; cette somme est égale à la résultante F de ces autres forces, si elles en ont une, puisque nous avons admis que la résultante F est dirigée parallèlement à mn,

3“ Enfin, la somme des moments des composantes normales à mn de ces mêmes actions moléculaires, pris par rapport à un axe quelconque dirigé dans le plan mn perpendiculairement au plan de symétrie, est égale, soit au moment de la force F pris par rapport au même axe, soit au moment du couple C.

Pour tirer de ces trois propositions les conséquences qu’elles renferment, et qui vont nous conduire à la détermination de la forme d’équilibre du solide prismatique dont il s’agit, considérons une seconde section normale m'n', infiniment voisine de la section mn, et concevons que la portion mnm'n' du solide soit divisée en une infinité de prismes élémentaires, ayant leurs arêtes dirigées perpendiculairement à mn, Ces prismes élémentaires peuvent être regardés comme étant des portions infiniment petites d’autant de fibres dont l’ensemble constitue le solide

(oui entier, et qui s’étendent dans toute sa longueur, parallèlement à ses arêtes. Parmi ces portions de fibres comprises entre les sections mn, m'n', il y en a nécessairement qui se sont allongées et d’autres qui se sont raccourcies par suite de la déformation du solide ; car, si elles s’étaient toutes allongées ou toutes raccourcies, la somme des composantes normales à mn des actions moléculaires exercées par A sur B ne pourrait pas être nulle, comme l’indique la première des trois propositions précédentes. On comprend donc que, entre les fibres qui se sont allongées et celles qui se sont raccourcies, il doit y en avoir qui n’ont subi ni allongement ni raccourcissement : ces fibres intermédiaires, dont les éléments n’ont pas changé de longueur, malgré la déformation du solide, se nomment fibres neutres. Nous admettrons que les points où les fibres neutres rencontrent le plan de la section wmsont tous situés sur une même ligne droite U U' ,fig. 98, perpendiculaire au plan de symétrie ; nous prendrons cette droite et une droite VV', dirigée suivant l’intersection de mn avec le plan de symétrie, pour axes coordonnés dans le plan de la section mn, et nous désignerons par u et V les coordonnées d’un point quelconque par rapport à ces axes.

Soit pp\ fig. 97, la fibre neutre située dans le plan de symétrie, désignons par p pG de cette fibre en p, après que le solide a subi sa déformation. Considérons un élément qq' d’une fibre quelconque, dont le point de rencontre avec le plan mn a pour coordonnées m, v, dans ce plan, et dont la section transversale a pour aire u. La longueur de cet, élément était primitivement pp', puisque les plans mn, m'n' étaient parallèles. Après la déformation du so-

lide, elle est devenue égale à pp' ; cet élément s’est donc

Fig. 98.

le rayon de courbure

allongé de pp' - , et par conséquent - est le rapport de son

allongement à sa longueur primitive. D’après cela, si nous nom-

mons 9 la force normale à mn, qui produit l’allongement de l’élément nous aurons (§196).

Nous pouvons regarder la force 9 comme étant une des composantes normales à mn des actions moléculaires exercées par la partie A du solide sur la partie B; la somme de ces composantes ayant pour valeur

- Iwl),

etdevantôtre nulle d’après ce qui précède, il s’ensuit qu’on a

Eue = 0.

Ce résultat nous montre que le centre de gravité de la section mn est situé sur l’axe UU' (§ 166) ; et comme d’ailleurs, en raison de la symétrie, ce centre de gravité se trouve nécessairement sur VV', il en résulte qu’il est au point d’intersection 0 de ces deux axes : donc, déjà la fibre neutre située dans le plan de symétrie passe par le centre de gravité d’une section normale quelconque mn.

D’après la troisième des propositions énoncées ci-dessus relativement à l’équilibre de la partie B du solide, la somme des moments des forces telles que 9 par rapport à l’axe UC' est égale au moment de la force F, par rapport à cet axe, ou bien au moment du couple G ; cette somme de moments a pour valeur

- luu* :

on lui donne le nom de moment d’élasticité. En égalant le moment d’élasticité au moment du couple G, ou bien au moment de la force F par rapport à UU', on aura une équation qui fera connaître le rayon de courbure p de la fibre neutre pp' au point P, et qui déterminera par conséquent la forme de cette fibre dans toute sa longueur, ce qui est précisément le but que nous nous proposons d’atteindre. Nous savons que, si la fibre neutre

est rapportée à des axes coordonnés rectangulaires tracés dans son plan, on a pour p la valeur

(Al*

Mais nous avons admis que la déformation du solide est trèspetite ; de sorte que, si nous prenons pour axe des x la ligne droite suivant laquelle la fibre neutre était primitivement didy

rigée, ^est une petite quantité dont nous pouvons négliger le

carré à côté de l’unité. Nous pouvons donc prendre pour p la valeur simple

et si. nous désignons par pi le facteur 2iow®, l’expression du moment d’élasticité deviendra

La quantité pi, ou dépend uniquement de la forme de la section transversale Win du solide ; on peut la déterminer en prenant pour élément m de cette section, le rectangle infiniment petit dont les côtés, parallèles aux axes OU, OV, fig. 98, sont égaux à du et dv, en sorte que l’on aura

^^ = j" J v'dwlv,

les limites de l’intégrale double étant fournies par la forme du contour de la section mn. Cette quantité pi est ce qu’on nomme le moment d’inertie de la section mn par rapport à l’axe OU. Nous verrons plus tard d’où vient ce nom, et nous établirons des théorèmes importants sur les moments d’inertie. Pour le moment, nous nous contenterons de faire connaître la valeur pi pour diverses formes simples attribuées à la seclion'win. Si mn

3t0 LIVRE Ht. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

est un rectangle de base b et de hauteur 2a, la base b étant parallèle à UU', on a

ut = ; = ; üa».

en désignant par Q la surface du rectangle. Si mn est un triangle isocèle de base b et de hauteur h, la base étant parallèle à U U', on a

U étant encore la surface du triangle. Si mn est un cercle plein de rayon r, on a

(JL = J n)-*= \ tir*.

Enfin, si mn est l’espace compris entre deux circonférences de cercle concentriques de rayons r et r\ on a

|ji = i U (r* — /■'♦) = J- Q (»■* -(- »■'*).

§ 198. Nous allons donner plusieurs exemples de l’application de la théorie qui vient d’étre exposée, à la détermination de la forme d’équilibre d’un solide prismatique soumis à l’action de forces qui le font fléchir transversalement.

Supposons d’abord que le solide soit encastré à l’une de ses extrémités, fig. 99, de telle sorte que, non-seulement l’extrémité O de la fibre neutre soit fixe, mais encore que la tangente à cette fibre en O ne puisse pas changer de direction. Si le prisme est soumis à l’action d’une seule force F, agissant à l’autre extrémité et perpendiculairement é la direction primitive OX de la fibreneutre, on devra exprimer que le moment de la force F par rapport au point/), où la fibre neutre perce le plan mn d’une section trans-

versale quelconque, est égal au moment d’élasticité du prisme correspondant à cette section.

D’après cela, si x et y sont les coordonnées du point p par rapport aux axes OX, OY et si l est la longueur primitive du prisme, longueur qu’on peut prendre sans erreur appréciable pour l’abscisse du point d’application de la force F, on aura

d’où, en intégrant et observant que y et ^ sont nuis pourx = 0.

telle est l’équation de la courbe formée par la fibre neutre, par suite de l’action de la force F. La flèche /, produite par l’action de la force F, c’est-à-dire la quantité dont l’extrémité de la fibre neutre s’est écartée de l’axe OX, s’obtient en faisant x — l dans la valeur de y, ce qui donne

Supposons maintenant que, le prisme étant dans les mêmes conditions que précédemment, il soit soumis uniquement à l’action de la pesanteur dirigée parallèlement à l’axe OY. La résultante des actions de la pesanteur sur les diverses molécules de la portion du prisme qui se trouve à droite de la section mn a pour valeur p {I — x), en désignant par p le poids de l’unité de longueur du prisme, et son point d’application est situé au milieu de cette portion du prisme ; le moment de cette force par rapport au point p est donc égal à

ip{t — X)«;

il s’ensuit qu’on a

d’où, en intégrant 'et observant que y et^ doivent être nuis

dx

pour a: = 0,

On en déduit pour la flèche /, produite par l’action de la pesanteur,

Si le prisme, toujours dans les mêmes conditions que précédemment, est soumis à la fois à la pesanteur, et à une force F appliquée à son e'xtrémité et agissant dans le même sens que la pesanteur, il est aisé de voir que l’on obtiendra l’équation de la courbe suivant laquelle se dirige la fibre neutre, en égalant y à la somme des deux valeurs que nous venons de trouver pour cette variable dans les deux cas précédents ; la valeur de la flèche /"sera également la somme des flèches correspondant à ces deux cas.

Considérons encore un prisme reposant simplement sur deux

X appuis, A, B, /îÿ. 100,

et soumis à l’action d’une force F dirigée perpendiculairement à sa longueur. Les résistances parallèles Q et 0', que les deux appuis A, B, exercent sur le solide, composées entre elles comme si le solide était invariable de forme, doivent évidemment avoir pour résultante une force égale et directement opposée à la force F ; elles ont donc pour valeurs

Fig. lOO.

ÉQÜIUBRE DES SOUDES NATURELS . 3*3

en désignant par l et l' les distances des points A, B à la verticale OY, ou bien ce qui est à très-peu près la même chose, les longueurs des deux portions du solide situées de part et d’autre du point d’application O de la force F. Si nous nous occupons d’abord de la portion du solide qui se trouve à droite du point 0, et qui est soumise à l’action de la force Q à son extrémité, nous aurons pour un point quelconque de la fibre neutre de cette portion rapportée aux axes OX, OY.

d’où en intégrant, et observant que y est nul pour x = 0,

1/ = (* te» — •; Æ») cx.

La constante G est la valeur de ^correspondant à x = 0. On

aura de même pour l’autre partie du solide rapportée aux axes OX', OY,

On doit observer que G' est égal à — G ; et que, en outre, y et y' doivent être égaux pour x = /, et x' = /' .• on en conclut, en tenant compte des valeurs de 0 et de Q',

Les deux équations précédentes, qui définissent la forme de chacune des deux portions de la fibre neutre, sont donc complètement déterminées.

Si, au lieu d’une seule force F agissant en un point quelconque de la longueur du prisme soutenu par deux appuis à ses extrémités, on a deux forces F, F, égales, parallèles et appliquées en deux points également éloignés du milieu du prisme, ces deux forces étant d’ailleurs dirigées perpendiculairement à sa longueur, il est clair que les résistances Q et Q' des deux appuis seront égales chacune à l’une des deux forces F, F dont

, Digilized by G*)Ogle

il s’agit. Entre les points d’application de ces deux forces F, F, le moment d’élasticité du prisme doit être partout égal au moment du couple formé par la force F et la résistance 0 situées d’un môme côté de la section transversale pour laquelle on con-

Eii

sidère ce moment d’élasticité ; d’après la valeur — du moment

d’élasticité, le rayon de courbure p de la fibre neutre est donc constant dans toute la partie comprise entre ces deux points d’application des forces F, F, c’est-à-dire que cette partie de la fibre neutre affecte la forme d’un arc de cercle. Quant aux deux autres portions du prisme, situées en dehors des points d’application des forces F, F, on en déterminera facilement la forme, en opérant comme précédemment et exprimant qu’elles se raccordent avec la partie moyenne aux points où ces forces F, F sont appliquées.

Si le prisme, reposant sur deux appuis de même haüteur, est uniquement soumis à l’action de la pesanteur, les résistances

des deux appuis sont égales l’une et l'autre à^, en désignant

par P le poids do l’unité de longueur du prisme, et par l sa longueur totale. En plaçant l’origine des coordonnées au point milieu de la fibre neutre, et exprimant que la partie du prisme située à droite d’une section transversale quelconque est en équilibre, sous les actions simultanées de la pesanteur et de la force pl

^appliquée à son extrémité verticalement et de bas en haut,

on trouve facilement

Ux*

d’où l’on déduit

en observant que y est nul pour a: = 0, et que ^ est également

dx

nul pour celte valeur de x, en raison de la symétrie.

Les divers cas que nous venons de considérer suffisent pour montrer la marche que l’on doit suivre pour résoudre toutes les questions de ce genre qui peuvent se présenter.

§ 199. Désignons par R la force qui serait capable de rompre un prisme ayant une section égale à l’unité de surface, en agissant à l’une des extrémités de ce prisme, et dans le sens de sa longueur, de manière à l’allonger. La force capable de rompre une fibre de section w, en agissant de 1a même manière, sera égale à Rw. Pour qu’un prisme, soumis à l’action de forces qui le font fléchir transversalement, ne se rompe dans aucune de ses parties, il faut que, pour une fibre quelconque, la force ç (§ 197)'Soit plus petite que Rio. Si nous nous reportons à la valeur de cette force ip, nous verrons que cette condition revient à celle-ci :

et il est clair qu’il suffit qu’elle soit satisfaite, dans chaque section transversale, pour la fibre correspondant à la plus grande valeur de i>, valeur que nous désignerons par V : ainsi on devra avoir, pour une section quelconque du prisme,

Si nous représentons par M le moment d’élasticité correspondant à cette section, nous savons qu’on a

la condition précédente peut donc être remplacée par cette autre

Pour que le prisme que nous considérons ne se rompe dans aucune de ses parties, sous l’action des forces qui lui sont appliquées, il suffit évidemment qué la condition que nous venons

d’obtenir soit satisfaite pour la section à laquelle correspond le plus grand moment d’élasticité M ; c’est dans cette section que le prisme commencerait à se rompre si les forces qui le font fléchir étaient suffisamment grandes, et c’est pour cela qu’on lui donne le nom de section de rupture.

Il est aisé, dans chacun des cas que nous avons considérés, de trouver ta section pour laquelle le moment d’élasticité est le plus grand ; en effet, on sait que, pour une section quelconque, ce moment d’élasticité est égal au moment de la résultante F des forces appliquées à la partie du solide qui se trouve d’un côté de la section, pris par rapport au centre de gravité de la section même, ou bien au moment du couple G auquel ces forces se réduisent (§ 197). Dans le cas d’un prisme encastré à l’une de ses extrémités et soumis à son poids ou à Faction d’une force appliquée à son autre extrémité, la section de rupture est celle qui se trouve à l’extrémité encastrée. Dans le cas d’un prisme reposant sur deux appuis et soumis à une force qui agit en un point quelconque de sa longueur, la section de rupture est celle qui contient le point d’application de cette force.

§ 200. Ce qui précède peut évidemment s’appliquer sans erreur sensible à un solide allongé non prismatique dont les sections transversales varient trés-peu d’un point à un autre, pourvu que ce solide soit symétrique par rapport à un plan, que les forces qui lui sont appliquées tendent à le faire fléchir parallèlement à ce plan, et que la libre neutre située dans le plan de symétrie soit rectiligne lorsque le solide n’a encore subi aucune déformation. On devra, bien entendu, tenir compte de la variation des dimensions des sections transversales que nous avions regardées jusqu’à présent comme constantes dans toute la longueur du solide. Un solide de ce genre est dit solide d'égale résistance, si, en choisissant convenablement les forces qui lui sont appliquées, on peut avoir

pour toutes les sections.

ÉOUILIBRE DES SOUDES NATURELS. 3*7

Considérons en particulier un solide encastré à l’une de ses extrémités, et soumis à l’autre extrémité à l’action d’une force F dirigée dans son plan de symétrie perpendiculairement à sa longueur, fig. 99 (page 340). Supposons que la section transversale soit un rectangle dont le côté b perpendiculaire au plan de symétrie conserve partout la môme longueur, tandis que le côté 2z parallèle à ce plan varie d’une section à une autre. Nous savons que, pour une section de cette forme, le moment d’inertie p a pour valeur (§ 197)

d’ailleurs V est égal à z .■ on a donc

D’un autre côté, le moment de la force F par rapport au centre de la section que nous considérons a pour valeur

en désignant par / la longueur totale du solide et par x l’abscisse du centre de la section dont il s’agit; et comme ce moment est égal au moment d’élasticité M du solide relatif à cette section, il s’ensuit que, pour que le solide soit d’égale résistance, il faut qu’on ait, quel que soit x,

F(/— X) = îRéz«,

pour une valeur convenable de la force F. Cette équation, que l’on peut mettre sous la forme

en désignant par a une constante dépendant de F, R, b, montre comment l’épaisseur 2z du solide doit varier avec l’abscisse x du point où on la détermine : le plan de symétrie doit couper la surface du solide non déformé suivant une parabole du second degré ayant la fibre neutre pour axe et le point d’application de

la force F pour sommet. La plus grande épaisseur du solide correspond à l’extrémité encastrée et a pour valeur 2a.

Cherchons maintenant quelle est la forme d’équilihre que prend ce solide d’égale résistance, dans le cas où la force F a une valeur quelconque, inférieure à celle que nous avons dû lui supposer il n’y a qu’un instant et qui était capable de déterminer la rupture du solide. Nous avons, pour exprimer l’équilibre de ce solide, l’équation

Ici n’est plus constant ; il varie d’une section transversale à une autre du solide, et, si nous nous servons de la relation trouvée entre z et x, nous aurons

D’après cela, l’équation différentielle qui doit nous fournir la forme de la libre neutre devient

//«!/ . jr I (Ix* “ * Eéa’ \/'i J. '

En intégrant, et observant que y et ^ doivent être nuis pour

dx

X = O, on trouve

telle est l’équation de la courbe suivant laquelle la fibre neutre est dirigée. Si l’on y fait x = /, on trouve pour la flèche f, produite par l’action de la force F, la valeur

Cette flèche est double de celle que la même force produirait,

si le solide était prismatique et avait partout la même section transversale qu’à l’extrémité qui est encastrée ; pour s’en assurer, il suffit de remplacer par ^ b a? dans la formule qui fournit la flèche f relative à ce «as (§ 198).

Il est aisé de voir que, d’une part, la loi de variation de l’épaisseur du solide, d’une extrémité à l’autre, pour que ce solide soit d’égale résistance, et, d’une autre part, la valeur de la flèche produite par l’action d’une force F appliquée à l’extrémité libre, perpendiculairement à la longueur générale du solide et dans le plan de symétrie, peuvent être considérées comme s’appliquant sans grande erreur à un solide allongé dont les sections transversales n’auraient pas leurs centres de gravité en ligne droite, avant la déformation ; pourvu toutefois que ces centres de gravité soient situés sur une ligne qui ne s’écarte pas trop d’être droite. Dans ce cas, il n’y aurait, parmi les résultats que nous avons trouvés, que l’équation qui détermine la forme de la fibre neutre après la déformation, qui ne pourrait pas être appliquée.

Le dynamomètre de M. Poncelet, /îÿ. 101, se compose de deux lames d’acier AB, Â'B', dont les extrémités sont réunies par le moyen de chapes articulées AA', BF. Chacune des moitiés CA,

CB, C'A', C'B' de ces lames a la forme du solide d’égale résistance dont nous venons de nous occuper. Conformément à la remarque que nous venons de faire, on ne s’astreint pas à disposer ces lames de manière que, pour chacune d’elles, les centres de gravité des diverses sections transversales soient exactement en ligne droite ; on les construit au contraire de manière que le côté intérieur de leur contour soit une ligne droite, et que son côté extérieur soit formé par deux arcs de parabole ayant les extrémités de la lame pour sommets respectifs, et le côté intérieur pour axe commun. Il est facile de reconnaître que, par là, on fait bien décroître l’épaisseur de la lame, depuis son milieu

350 LIVRE ni. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

jusqu’à chacune des extrémités, conformément à la loi trouvée précédemment pour un pareil solide d’égale résistance. Lorsque le dynamomètre est en équilibre, sous l’action de forces égales et contraires, appliquées aux milieux G, G' de ses deux lames et tendant à écarter ces points l’un de l’autre, il est clair que chacune des quatre moitiés GA, GB, G'A', GU' des lames se trouve dans les mêmes conditions que le solide encastré à l’une de ses extrémités que nous avions considéré tout d’abord ; l’accroissement total qu’éprouve la distance des milieux G, G' des deux lames est proportionnel à la grandeur des forces qui agissent sur ces deux points, et est double de ce qu’il serait si les lames avaient dans toute leur longueur la môme épaisseur qu’en leurs milieux : l’emploi de lames à faces paraboliques, telles que nous venons de les définir, au lieu de lames prismatiques, présente donc l’avantage de doubler la sensibilité de l’appareil, sans diminuer sa résistance à la rupture .

§201. Actions mntaelles de denx solides anl se touclient. — Lorsque deux solides naturels en équilibre se touchent par un ou plusieurs points de leurs surfaces, les molécules de chacun des deux solides, situées dans le voisinage des points de contact, exercent des actions sur celles de l’autre solide qui se trouvent également dans le voisinage de ces points. Il nous est impossible de considérer séparément chacune de ces actions moléculaires, pour la faire entrer avec toutes les autres forces dans les équations qui expriment l’équilibre des deux solides ; nous ne pouvons tenir compte de ces actions qu’en les prenant dans leur ensemble, et leur substituant un petit nombre de forces capables de produire le mêpie effet. Nous allons voir quelle idée on peut se faire de ces dernières forces, que nous regarderons comme représentant les actions que les deux solides exercent l’un sur l’autre aux points par lesquels ils se touchent.

Considérons d’abord un solide pesant, un boulet de fonte, par exemple, posé sur une table qu’il ne touche que par un seul point. En réalité, le boulet touche la table par un grand nombre de points dont l’ensemble occupe une certaine étendue superficielle, en raison de la déformation que la table et le boulet

éprouvent l’un et l’autre ; une petite portion de la surface du boulet s’aplatit légèrement, et s’applique sur une portion correspondante de la surface de la table qui a été rendue légèrement concave par la présence du boulet : mais nous ferons abstraction de cette déformation, dans le langage, et nous parlerons du contact du boulet avec la table comme si c’était simplement le contact d’une surface sphérique avec une surface plane. Le boulet étant en repos sur la table dont la surface est supposée horizontale, il est clair que son poids est mis en équilibre par l’ensemble des actions que ses molécules éprouvent de la part des molécules de la table dans le voisinage du point de contact ; ces forces moléculaires, appliquées au boulet, peuvent évidemment être remplacées par une force unique égale et contraire au poids du boulet, et par conséquent dirigée verticalement et de bas en haut : cette force unique, capable de produire sur le boulet le même effet que les actions moléculaires dont il s’agit, constitue ce qu’on nomme la pression de la table sur le boulet. Les actions que les molécules du boulet exercent sur les molécules de la table étant respectivement égales et contraires à celles qu’elles éprouvent de la part de ces mômes molécules, il est clair qu’on peut également leur substituer une force unique égale et contraire à la précédente : cette seconde force constitue ce qu’on nomme la pression du boulçt sur la table. Ainsi, dans l’exemple particulier que nous considérons ici, on peut regarder chacun des deux corps comme exerçant sur l’autre une pression dirigée suivant la normale commune à leurs surfaces menée par leur point de contact : ces deux pressions sont égales et de sens contraires, aussi bien que les actions qui se développent entre deux molécules quelconques.

Lorsqu’un corps pesant est en repos sur une table dont il touche la surface par plusieurs points, on peut regarder les choses comme se passant, pour chaque point de contact, de la môme manière que s’il n’y en avait pas d’autre. On peut dire que le corps éprouve de la part de la table, et à chacun de ses points de contact, une pression dirigée verticalement de bas en haut ; et de même ou peut dire que le corps exerce sur la table, en ces

divers points, des pressions égales et contraires aux précédentes. Si le corps touche la surface de la table par une face plane d’une certaine étendue, on peut regarder chaque point de cette face plane comme étant un point de contact ; dans ce cas, on considérera le corps comme éprouvant de la part de la table une pression dirigée verticalement et de bas en haut, en chaque point de la surface de contact, et comme exerçant en même temps sur la table, en ce point, une pression égale et contraire’ à la précédente.

§ 202. Un corps pesant étant dans l’état d’équilibre où nous venons de le considérer, c’est à-dire reposant sur une table à surface horizontale qu’il louche par un certain nombre de points, supposons qu’on vienne lui appliquer une force de traction horizontale F, tendant à le faire glisser sur la surface de la table. Si cette force F est très-petite, elle ne produira aucun effet : le corps restera immobile, tout aussi bien que si elle n’agissait pas. Si l’on augmente progressivement l’intensité de la force F, il arrivera bientôt un instant où l’équilibre cessera d’exister, et où le corps commencera à se mettre en mouvement. L’équilibre continuant à subsister après l’application de la force F, tant que cette force n’a pas atteint la valeur pour laquelle le corps commence à glisser, il faut nécessairement qu’il se développe, entre les molécules du corps et celles de la table, de nouvelles actions qui s’opposent à ce que la force F produise son effet. Ces nouvelles actions moléculaires, nulles d’abord, lorsque le corps n’était soumis qu’à la pesanteur, augmentent progressivement, en même temps que la force de traction F à laquelle elles font constamment équilibre ; mais elles ne peuvent pas augmenter au delà d’une certaine limite, de telle sorte que, si la force F, en croissant continuellement, les amène à atteindre cette limite, le moindre accroissement qu’éprouve encore la force F détermine le glissement du corps. L’ensemble des actions moléculaires qui se développent ainsi pour s’opposer au glissement du corps, considéré à l’instant où ces actions ont atteint la limite qu’elles ne peuvent pas dépasser, constitue ce qu’on nomme la résistance au glissement, ou simplement le frottement ; ces

Digilized by GoogleJ

expressions désignent en particulier une force unique capable de tenir lieu des actions moléculaires dont il s’agit, force qui est dirigée dans le plan horizontal qui forme la surface de la table, et en sens contraire de la direction suivant laquelle la force P tend à faire glisser le corps sur celte surface. L’intensité de cette résistance au glissement est évidemment la môme que celle de la force de traction F, au moment où elle est devenue assez grande pour que le corps commence à glisser en cédant à son action.

L’expérience a fait connaître les lois que suit le frottement, tel que nous venons de le définir, lorsqu’on fait varier les circonstances dans lesquelles il se développe. En se servant d’une caisse dans laquelle on mettait des corps pesants en quantité plus ou moins grande, on a trouvé que la force de traction F, nécessaire pour déterminer son glissement sur la surface horizontale sur laquelle elle reposait, variait proportionnellement au poids total de la caisse, c’est-à-dire proportionnellement à la pression qu’elle exerçait sur cette surface horizontale. D’un autre côté, en faisant varier l’étendue de la face d’appui de la caisse, sans rien changer à la nature de cette face et au poids total de la caisse, on a trouvé que la force de traction nécessaire pour produire Le glissement ne changeait pas de grandeur. On en a conclu les deux lois suivantes : 1® le frottement est proportionnel à la pression ; 2® le frottement est indépendant de l’étendue des surfaces frottantes.

Soit N la pression exercée par le corps que l’on considère sur la surface sur laquelle on cherche à le faire glisser. Les deux lois précédentes montrent que le frottement qui se développe sous l’action de cette pression N, peut être représenté par /'N, f étant un coefficient qui dépend uniquement de la nature des surfaces entre lesquelles le glissement tend à se produire. Ce coefficient f, qui est le rapport du frottement à la pression, se nomme coefficient de frottement.

§ 203. Nous pouvons appliquer les notions précédentes au cas de deux solides S, S', fig. 102, qui ne se touchent que par un point A. Sous l’action des forces auxquelles ces deux solides

Digilized by Gi)Ogle

sont soumis, il se développe, en A, non-seulement des pressions normales N, N', qui s’opposent à ce que les solides pénètrent l’un dans l’autre, mais encore des réactions tangentielles R, R', qui tendent à s’opposer à ce que ces deux solides glissent l’un .sur l’autre. Ces réactions R, R', égales et contraires l’une à

l’autre comme les pressions normales N, N', ne peuvent pas dépasser en intensité la valeur /'N du frottement correspondant à ces pressions, f étant le coefficient de frottement relatif à la nature des surfaces des deux solides 8, S' ; elles peuvent d’ailleurs avoir une grandeur quelconque comprise entre 0 et /N, et elles peuvent être dirigées d’une manière quelconque dans le plan tangent commun aux deux solides au point Â.

Soit âB la ligne qui représente la pression N du solide S' sur le solide S. Portons sur la direction de la réaction tangentielle R, que le solide S éprouve également de la part du solide S', une longueur AC représentant le frottement /"N ; et construisons le rectangle ABCD sur les deux lignes AB, AC. Construisons de môme le rectangle ABFE, dans lequel le côté AE représente la réaction R. La diagonale AF du second rectangle représente la résultante des deux actions normale et tangentielle que le solide S éprouve de la part du solide S' : on peut regarder cette résultante comme étant l’action totale que le solide S' exerce sur le solide S. Dire que la réaction R ne peut pas dépasser /"N, cela revient évidemment à dire que l’angle F.AB ne peut pas dépasser l’angle D.AB. Cet angle DAB, que nous désignerons par a, est déterminé parla relation