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il dépend donc uniquement du coefficient de frottement f, et par conséquent de la nature des surfaces des deux solides, dans le voisinage dü point A : on lui donne le nom à.'angle de frottement. Ainsi, l’action totale AF que le solide S' exerce sur le solide S fait nécessairement avec la normale AB un angle plus petit que l’angle de frottement. Imaginons que la ligne AD tourne autour de la normale AB, et qu’elle décrive ainsi un cône de révolution ayant cette normale pour axe : nous pourrons énoncer autrement la condition qui vient d'être indiquée, et dire que l’action AP du solide S' sur le solide S, au point A, est nécessairement dirigée à l’intérieur de ce cône, dont l’angle ’au sommet dépend, comme nous venons de le voir, uniquement de la nature des surfaces des deux solides. L’action totale que le solide S exerce sur le solide S' étant égale et contraire à celle qu’il en éprouve, on peut dire également que cette action de S sur S' doit être dirigée à l’intérieur d’un cône égal au précédent, ayant son sommet en A et son axe dirigé suivant AB'. Les deux cônes dont il vient d’être question sont évidemment les deux nappes d’une même surface conique ayant la normale commune BAB' pour axe, le point A pour sommet, et l’angle de frottement a pour angle des génératrices avec l’axe.

Lorsque deux solides se touchent par plus d’un point, on peut répéter pour chaque point de contact ce que nous venons de dire dans le cas où il n’y en avait qu’un seul ; les actions égales et contraires que les deux solides exercent l’un sur l’autre, en chacun de leurs points de contact, sont nécessairement dirigées à l’intérieur des deux nappes opposées d’une surface conique ayant pour axe la normale commune en ce point de contact, pour sommet ce point même, et pour angle des génératrices avec l’axe l’angle de frottement correspondant.

L’angle de la surface conique, à l’intérieur de laquelle les actions mutuelles de deux solides en un de leurs points de contact doivent nécessairement être, dirigées, a une valeur plus ou moins petite suivant que le coefficient de frottement correspondant aux deux surfaces qui se touchent en ce point est lui-même plus ou moins petit. Si l’on supposait que ce coefficient de frottement fût

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Ï56 livre lit. — DYNAMIQUE. DEUXIÈME PARTIE.

nul, la surface conique se réduirait à son axe, et, par conséquent, les actions mutuelles des deux solides ne pourraient avoir qu’une seule direction, celle de la normale commune à leurs surfaces menée par le point de contact. C’est dans ce cas idéal que nous nous sommes placés, lorsque nous avons considéré l’équilibre d’un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une surface fixe (§§ 126 et 134).

§ 204. Éaulllbre de deux «olldesdut se aoncbent. — Si deux solides S, S' en équilibre se touchent par un seul point, il doit y avoir équilibre entre toutes les forces qui agissent sur chacun* d’eux, c’est-à-dire entre les forces qui lui sont directement appliquées et l’action qu’il éprouve de la part de l’autre solide, au point où ils se touchent. 11 suit de là que, si l’on considère chacun des deux solides comme étant invariable de forme, et si l’on compose entre elles les forces qui lui sont directement appliquées, en laissant de côté l’action qu’il éprouve de la part de l’autre solide, on devra nécessairement trouver pour ces forces une résultante unique égale et directementopposéeàcette action. D’après cela il est aisé de voir que, pour que les deux solides S, S' soient en équilibre, il faut : 4® que toutes les forces directement appliquées à l’un quelconque de ces deux solides aient une résultante dirigée vers le point par lequel ils se touchent ; 2® que la résultante des forces directement appliquées au solide S soit égale et contraire à la résultante des forces directement appliquées au solide S'; 3® que ces deux résultantes soient dirigées à l’intérieur des deux nappes de la surface conique ayant pour sommet le point de contact des deux solides, pour axe la normale commune en ce point, et pour angle des génératrices avec l’axe l’angle de frottement correspondant à la nature des surfaces qui se touchent ; 4® enfin que ces deux résultantes agissent dans des sens tels qu’elles tendent à appuyer les deux solides l’un contre l’autre, et non à les séparer l’un de l'antre.

Lorsque deux solides en équilibre se touchent par plusieurs points, les forces directement appliquées à l’un d’eux S sont mises en équilibre par les actions qu’il éprouve de la part de l’autre solide S' aux divers points par lesquels ils se touchent ;

et comme ces actions de S' sur S n’ont pas nécessairement une résultante unique, il s’ensuit que, pour l’équilibre, il n’est pas nécessaire non plus que les forces directement appliquées au solide S aient une résultante unique. Tout ce que nous pouvons dire ici d’une manière générale, c’est que les forces directement appliquées au solide S, et les actions que ce solide S exerce sur le solide S', constituent deux systèmes de forces équivalents (§180), puisque l’un et l’autre de ces deux systèmes de forces est mis en équilibre par l’ensemble des actions de S' sur S.

§ 203. Considérons en particulier deux solides S, S', qui se touchent par plusieurs points A, B,

C, D,... fig. 103, tous situés dans un même plan P. Supposons que les parties matérielles du solide S qui se trou-

7 Eig. 103.

vent sur les perpendiculaires au plan P menées par les points de contact A, B, C,... et dans le voisinage de ces points, soient toutes placées d’un même côté du plan P ; et que par conséquent les parties matérielles du solide S' situées sur les mômes perpendiculaires et dans le voisinage des mômes points A, B, G,... soient toutes placées de l’autre côté de ce plan. Supposons en outre que les forces directement appliquées au solide S aient une résultante unique R, ce qui entraîne nécessairement comme conséquence que les forces directement appliquées au solide S' aient aussi une résultante unique R' égale et contraire à la précédente.

La résultante R des forces directement appliquées au solide S est équivalente au système des actions que ce solide S exerce sur le solide S', aux divers points de contact A, B, G,..., ainsi que nous venons de le voir il n’y a qu’un instant; cette force R est donc aussi la résultante des actions de S sur S', et son mo-

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ment par rapport à une droite quelconque tracée dans le plan P est égal à la somme des moments de ces actions de S sur S' par rapport à la môme droite (§ 180).

Cela posé, construisons un polygone convexe A BD F H ayant pour sommets des points pris parmi les points de contact A, B, C, D, ... des deux solides, et contenant à son intérieur ou sur ses côtés tous ceux dé ces points de contact qui ne sont pas à ses sommets. D’après ce que nous admettons, les diverses actions de S sur S' tendent toutes à repousser les points A, B, C,... du solide S' d’un môme côté du plan P, et par suite la résultante R de ces actions doit aussi tendre à repousser le solide S' de ce môme côté du plan P ; les moments de ces actions de S sur S', par rapport au côté AB du polygone que nous venons de former, sont donc tous de même signe, et le moment de la force R par rapport à ce côté a par conséquent le même signe que chacun d’eux : donc la direction de la force R doit percer le plan P en un point situé, par rapport à la ligne AB, du môme côté que les points de contact C, D, E,... qui ne sont pas sur cette ligne. Ce que nous venons de dire pour le côté AB du polygone convexe ABDFH, nous pouvons le répéter pour chacun de ses autres côtés ; nous en conclurons nécessairement que la direction de la force R doit percer le plan P à l’intérieur de ce polygone convexe, auquel on donne le nom de polygone d’appui des deux solides. 11 faut en outre, bien entendu, que la force R tende à appuyer le solide S sur le solide S', et non à l’écarter de ce dernier solide.

Si, outre les hypothèses précédentes, nous admettons encore que le coefficient de frottement soit le môme pour les divers points de contact A, B, G, D,... des deux solides S, S', chacune des actions de S sur S' ne pourra pas faire avec la perpendiculaire au plan P un angle plus grand que l’angle de frottement commun aux divers points de contact ; d'ailleurs, on peut évidemment trouver la grandeur et la direction de la force R en transportant les actions de S sur S' parallèlement à elles-mêmes au point où cette force R perce le plan P, et les composant ensuite à l’aide du polygone des forces ; il est aisé d’en conclure

que la force R elle-même ne peut pas faire avec la perpendiculaire au plan P un angle plus grand que l’angle de frottement dont il vient d’être question.

Nous n’avons particularisé en aucune manière le nombre des points de contact Â, B, C, D..., que nous avons supposés tous situés dans un même pian, et, par conséquent, tout ce que nous venons de dire est applicable au cas où les deux solides S, S' se toucheraient dans toute l’étendue d’une face plane.

§ 206. lÊanlllbre d’an solide pesant posé snr an plan. — Un corps solide, soumis à la seule action de la pesanteur, et posé sur un plan, c’est-à-dire sur une face plane d’un autre corps, rentre évidemment dans le cas que nous venons d’étudier d’une manière générale (§ 203). Les actions de la pesanteur sur les diverses parties du corps ont une résultante égaie à son poids, agissant suivant la verticale menée par son centre de gravité, et de haut en bas. Pour que le corps soit en équilibre, il faut : 1® que la verticale menée par son centre de gravité perce le plan sur lequel il repose à l’intérieur du polygone d’appui, tel que nous l’avons défini ; 2» que l’angle compris entre la verticale et la perpendiculaire au plan, ou, ce qui est la môme chose, l’angle que le plan fait avec l’horizon, soit inférieur à l’angle de frottement correspondant à la nature des surfaces qui sont en contact.

Dans le cas particulier où le corps que l’on considère est posé sur un plan horizontal, la seconde condition est toujours satisfaite ; on n’a donc qu’à se préoccuper de la première condition, pour savoir si le corps est ou n’est pas en équilibre dans une position donnée.

Cherchons à nous rendre compte de la grandeur des pressions qu’un corps pesant, posé sur un plan horizontal, exerce en ses divers points d’appui ; et considérons pour cela les divers cas qui peuvent se présenter, eu égard au nombre des points d’appui. Si le corps ne s’appuie que par un seul point, il ne peut être en équilibre qu’autant que son centre de gravité est situé sur la verticale menée par ce point d’appui, et la pression qu’il exerce en ce point est évidemment égale à son

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poids. Si le corps s’appuie par deux points A, B, fig. 104, la verticale menée par son centre de gravité doit percer le plan, sur lequel il repose, en un point C situé sur la droite qui passe

I f J par les deux points A, B, et entre

Fig. 104. ces deux points ; il sufBt de décom-

poser le poids P du corps, appliqué suivant cette verticale, en deux composantes parallèles agissant sur les points A et B, pour avoir les pressions exercées par le corps en ces deux

• -PXCB , . .

points: on trouve ainsi— — pour la pression au point A,

on trouve ainsi

PXAC AB

pour la pression au point B. Si le corps s’appuie par

trois points A, B, C, non situés en ligne droite, fig. 105, la ver- ^ J ticale menée par son centre de gravité

\ doit percer le plan en un point D situé

à l’intérieur du triangle ABC ; les pres- \ sions qu’il exerce sur le plan, aux points

\ A, B, G, seront trois forces parallèles

e"’" ayant pour résultante une force verti-

cale égale à son poids P et appliquée au point D ; le moment de cette résultante P par rapport au plan vertical mené par BC sera égal au moment de la composante appliquée en A par rapport au môme plan vertical (§ 158), et, par suite, cette composante et la résultante seront entre elles dans le rapport inverse des distances de leurs points d’application A et D au côté BC, c’est-à-dire, dans le rapport inverse des surfaces des triangles BAC, BDG : donc les pressions exercées par le corps en chacun de ses trois points d’appui A, B, C, auront respectivement pour va-

, PXBDC PXADC PXADB