MOUVEMENT D’UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE

rieures, le corps du danseur peut prendre un mouvement de rotation autour de la verticale. Lorsqu’il a tourné un peu de cette manière, sans que son pied cesse de toucher le sol, il le soulève brusquement pour faire disparaître la torsion qui en est résultée pour son corps ; et en répétant plusieurs fois de suite la môme manœuvre, il parvient à se donner un mouvement de rotation assez rapide. Si le danseur était sur un sol très-glissant, ou bien s’il ne s’appuyait sur le sol que par un seul point, il lui serait impossible de tourner sur lui-mème comme nous venons de le dire.

§ 230. Quatrième théorème général, on théorème des forces rives. — Nous avons vu dans le paragraphe 116 que l’accroissement de la force vive d’un point matériel, en mouvement sous l’action d’une force F, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double du travail de la force F pendant ce temps. Si, au lieu d’une seule force, il y en a plusieurs qui agissent sur le point mobile, on peut dire que l’accroissement de la force vive de ce point est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces qui lui sont appliquées ; puisque la somme des travaux de ces forces est égale au travail de leur résultante (118). Concevons que l’on écrive l’équation que fournit cet énoncé, pour chacun des points matériels dont se compose un système en mouvement, en considérant un môme intervalle de temps pour tous ces points mobiles, et qu’ensuite on ajoute membre à membre toutes les équations ainsi obtenues : l’équation unique que l’on trouvera de cette manière pourra s’énoncer en disant que l’accroissement total de la somme des forces vives des divers points du système matériel, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces appliquées à ces différents points, pendant le même temps.

On désigne simplement sous le nom de force vive d’un système matériel en mouvement, la somme des forces vives des divers points dont ce système est formé. D’après cela, on peut énoncer de la manière suivante le théorème auquel on vient de parvenir :

L'accroissement total de la force vive d’un système matériel en mouvement, pendant un intervalle de temps quelconque, est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces qui agissent sur les divers points de ce système pendant le même temps.

C’est en cela que consiste le théorème général des forces vives.

Il est très-important d’observer ici que, contrairement à ce qui a lieu pour les trois premiers théorèmes généraux, les forces intérieures du système ne disparaissent pas d’elles-mêmes dans l’énoncé du théorème général des forces vives. Nous savons en effet que la somme des travaux élémentaires des deux forces égales et contraires qui se développent entre deux points matériels, n’est égale à zéro qu’aulant que la distance de ces deux points ne varie pas pendant l’élément de temps auquel ces travaux se rapportent (17o); la somme des travaux des diverses forces intérieures d’un système matériel en mouvement, pendant un temps quelconque, est donc généralement différente de zéro, et doit par conséquent être prise en considération, tout aussi bien que la somme des travaux des forces extérieures, pour déterminer l’accroissement de force vive du système pendant ce temps, à l’aide du théorème général dont nous nous occupons..

§231. L’équation fournie par le théorème général des forces vives peut s’écrire de la manière suivante (§ H9),

Smt)* — Swt'o» = 52 / (Xrfx Ydy + Sdz) ,

en désignant par X, Y, Z, les projections d’une quelconque des forces extérieures ou intérieures du système matériel sur trois axes coordonnés rectangulaires, para:, y, zles coordonnées du point d’application de cette force, par m la masse d’un quelconque des points matériels du système, et par o,, v les vitesses de ce point au commencement et à la fin du temps auquel se rapporte l’intégrale du second membre ; quant aux signes 2, celui du second membre indique une somme qui s’étend à toutes les forces extérieures ou intérieures qui agissent sur les diverses

MOUVEMENT d’uN SYSTÈME MATÉIITEL QUELCONQUE. 411

parties du système, et ceux du premier membre indiquent des sommes qui s’étendent à tous les points matériels dont le système est formé.

Supposons que les composantes X, Y, Z, X', Y', Z',... des diverses forces appliquées au système, soient des fonctions connues des coordonnées x, y, z, x\ y' 2',... de leurs points d’application, et que la quantité

2(Xrfa; -I- \dy -f- 2dz)

soit la différentielle d’une certaine fonction

L’équation des forces vives deviendra

s mv* — = 2 [/'(x, y, z, x',...) — /‘(x,, y„, z„, x'o )].

Il en résulte que la force vive du système reprend la

même valenr, toutes les fois que la fonction

redevient égale à une môme constante. Cette circonstance se présente lorsque les points matériels du système sont attirés ou repoussés par des points iixes, ou bien s’attirent ou se repoussent mutuellement, chaque force d’attraction ou de répulsion étant uniquement fonction de la distance au point fixe ou au point matériel mobile dont elle émane. En effet, dans le cas où X, Y, Z sont les composantes d’une force F dirigée vers un point fixe, et dépendant uniquement de la distance r du point matériel sur lequel elle agit à ce point fixe, on a

Xdx-H Ydy + Zdz = Krfr,

et cette quantité Fdr est bien la différentielle d’une fonction des coordonnés x, y, z du point soumis à l’action de la force F (§ 120) ; et, en second lieu, dans -le cas où X, Y, Z, X', Y', Z' sont les composantes de deux forces F égales et contraires, qui se développent entre deux des points matériels du système, et dont l’jntensité ne dépend que de la distance r de ces deux points, la somme

Xrfx + Yrfy 4- Tdz + X’t/x' + Y’rfy' + Z'rfz',

qui est aussi égale à Frfr (§ 175), est de môme la différentielle d’une fonction de x, y, z, x!^ y\ z', puisque l’on a

de sorte que, toutes les forces appliquées au système rentrant dans l’un ou dans l’autre de ces deux cas, la somme

£(Xrfx+ Yrfy + Zrfz),

qui s’étend à tout l’ensemble de ces forces, est aussi la différentielle d’une fonction des coordonnées x, y, r, x', y, z*,... de leurs points d’application. On en trouve un exemple dans notre système planétaire, dont les diverses parties ne sont soumises qu’à leurs actions mutuelles.

§ 23:2. Remarqaes Hor les tlu^orèmes généraux qui précédent. — Les quatre théorèmes généraux que nous venons d’établir ne sont pas de même nature. Le premier, au lieu de se rapporter comme les trois autres au mouvement de l’ensemble des parties dont se compose le système matériel considéré, se rapporte uniquement au point idéal auquel nous attribuons le nom de centre de gravité du système ; il a pour objet spécial de nous donner une notion nette et simple de la manière dont le système tout entier se déplace dans l’espace, en nous mettant à même d’étudier le mouvement de son centre de gravité, tout aussi facilement que s’il s’agissait du mouvement d’un point matériel.

Quant aux trois autres théorèmes généraux, leur objet est tout différent ; ils sont destinés à fournir des relations entre les forces appliquées au système matériel et les effets produits par ces forces sur les différentes parties dont le système se compose, relations qui doivent servir à déterminer les valeurs de quelquesunes des quantités qu’elles renferment, en fonction des autres quantités supposées connues. Si l’on se reporte aux énoncés de ces trois théorèmes, on verra que le dernier d’entre eux, le théorème général des forces vives, ne peut fournir qu’une.seule relation ; mais il n’en est pas de même des deux précédents,

MOUVEMENT D’oN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 419

dont chacun peut fournir une infinité d’équations différentes, en raison de ce que l’axe fixe sur lequel on projette les quantités de mouyement et les impulsions, on bien par rapport auquel on prend leurs moments, peut avoir une infinité de positions différentes dans l’espace. Il est aisé de voir cependant que, parmi toutes ces équations qui résultent du deuxième et du troisième de nos théorèmes généraux, il ne peut y en avoir que six qui soient distinctes les unes des autres.

En effet, les équations fournies par le deuxième théorème général, lorsqu’on l’applique aux projections du mouvement sur divers axes, sont exactement les mêmes que celles qui exprime* raient que la somme des projections d’un certain système de forces sur chacun de ces axes est égale à zéro. D’un autre côté, les équations fournies par le troisième théorème général sont aussi les mêmes que celles que l’on obtiendrait en prenant les moments de ces forces par rapport à divers axes, et exprimant que, pour chacun de ces axes, la somme des moments ainsi obtenus est égale à zéro. (Pour trouver le système des forces dont il est question ici, considérons la trajectoire A B, d’un

point de masse m appartenant au système matériel dont nous.étndions le mouvement.

Soient MN la portion de cette trajectoire que le point parcourt pendant un temps quelconque t ; MP la direction d’une force quelconque F appliquée à ce point, lorsqu’il est en M ; M' P', M" P",... les directions que prend successivement cette force lorsque le mobile se trouve en M', M",

au bout des temps dt, 2dl,.., ; F, F',... les valeurs que prend en même temps la force F; MR la direction de la vitesse v,, dont le mobile est animé en M ; et NS une direction contraire à celle de la vitesse v dont il est animé en N. Concevons qu’on applique au point M de l’espace une force ma, dirigée suivant MR, au point N une force mv dirigée suivant NS, aux points M, M', M", . ..

des forces Yd(,¥dt,Y'dt,... dirigées respectivement suivant MP, M',F, et qu’on fasse la même chose pour tous les

points matériels du système que l’on considère, ainsi que pour les diverses forces telles que F, qui agissent sur ces différents points, on aura ainsi un ensemble de forces qui est précisément celui dont on parle.) Mais on sait que toutes les équations obtenues de ces deux manières sont précisément celles qui exprimeraient l’équilibre des forces dont il s’agit, en supposant qu’elles soient appliquées à un solide invariable; on sait en outre que ces équations d’équilibre, en nombre infini, peuvent toutes se déduire algébriquement de six d’entre elles, par exemple des six équations qui se rapportent aux projections des diverses forces sur trois axes rectangulaires, et aux moments des mêmes forces par rapport à ces axes (§ 178) : donc aussi toutes les équations que fournissent le deuxième et le troisième de nos théorèmes généraux peuvent se déduire de six d’entre elles, qui seront par exemple celles que le deuxième théorème général donnera pour les projections des quantités de mouvement et des impulsions sur trois axes coordonnés rectangulaires, et celles que le troisième théorème général donnera pour les moments des quantités de mouvement et des impulsions par rapport aux mêmes axes.

On voit par là que le deuxième, le troisième et le quatrième des théorèmes généraux que nous avons établis précédemment ne peuvent pas fournir plus de sept équations distinctes, dont six pour le deuxième et le troisième pris ensemble, et une pour le quatrième.

§233. ExteiiMlon de« théorèmes généraux sur le mouvement des systèmes matériels, au cas des mouvements relatlfg. — Les quatre théorèmes généraux que nous venons de démontrer, et toutes les conséquences que nous en avons déduites, peuvent s’appliquer au mouvement d’un système matériel par rapport à des axes coordonnés mobiles, à la condition de joindre aux forces réelles les forces apparentes qui permettent de traiter le mouvement relatif de chacun des points du système comme un mouvement absolu (§ 139). Ces

MOUVEMENT D’üN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 4Ï1

forces apparentes sont, comme on sait, au nomtre de deux pour chaque point : l’une est la force d’inertie correspondant au mouvement d’entrainement, l’autre est la force centrifuge composée.

La seule observation que nous ayons à faire à cette occasion, d’une manière générale, c’est que, dans l’application du théorème des forces vives au mouvement relatif d’un système matériel, les forces centrifuges composées disparaissent d’ellesmémes : chacune d’elles étant dirigée perpendiculairement à la vitesse relative du point auquel elle est appliquée, son travail dans le mouvement relatif est nul.

Dans le cas où les axes mobiles, auxquels on rapporte le mouvement du système matériel, se meuvent parallèlement à eux-mèmes, les forces centrifuges composées sont toutes nulles; les forces apparentes se réduisent donc aux forces d’inertie correspondant au mouvement d’entrainement. Si, en outre, le mouvement de translation des axes est rectiligne et uniforme, les forces d’inertie dont il vient d’étre question sont également nulles ; les théorèmes généraux s’appliquent donc au mouvement relatif, dans ce cas, exactement de la même manière qu’ils s’appliquent au mouvement absolu, sans qu’on ait besoin de joindre aucune force apparente aux forces qui agissent réellement sur le système.

§ 234. Mouvement d’un sj^Rtème matériel par rapport d de* axes de direction constante passant par son centre de gravité. — Considérons en particulier le cas où l’on rapporte les mouvements des diverses parties d’un système matériel à des axes de direction constante menés par le centre de gravité de ce système ; et voyons comment les quatre théorèmes généraux s’appliquent à ce mouvement relatif. Puisque les axes mobiles ne sont animés que d’un mouvement de translation, nous n’aurons pas à nous préoccuper des forces centrifuges composées, qui sont toutes nulles. Quant aux forces d’inertie, elles sont évidemment toutes parallèles et de sens contraire à l’accélération totale du centre de gravité du système dans son mouvement absolu ; et la grandeur de chacune d’elles s’obtient en multipliant la masse du point matériel auquel on la

tî2 LIVRE IV. — DYNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

suppose appliqut^e, par cette accélération totale du centre de gravité.

Le premier théorème général ne peut rien nous donner ici, puisque ce théorème a pour objet de faire èonnaitre le mouvement du centre de gravité du système matériel que l’on considère, et que nous savons à priori que le centre de gravité de notre système reste immobile à l’origine des coordonnées, dans le mouvement relatif dont nous nous occupons.

Pour appliquer le deuxième théorème général, il faut que nous déterminions la valeur de la somme des impulsions des forces extérieures projetées sur un axe quelconque en comprenant les forces d’inertie parmi les forces extérieures. Soit

2 m la somme des impulsions des forces extérieures réellement appliquées au système en projection sur l’axe dont il s’agit. Si l’on désigne par M la masse totale du système, et par U la vitesse absolue de son centre de gravité, en projections sur le même axe, on aura évidemment

pour la somme des forces d’inertie des divers points du système projetées sur cet axe ; la somme des impulsions de ces forces d’inertie projetées, pendant le temps t, a donc pour valeur

c’est-à-dire que cette somme est égale à

— Mu 4- Muj ,

en désignant par u, la valeur de u au commencement du temps t. Ainsi, la somme des impulsions de toutes les forces extérieures que nous devons considérer ici, en projection sur l’axe dont il s'agit, est égale à

s Mu4-M«o-

Mais nous savons, d’après le premier théorème général appliqué

MOUVEMENT D’üN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 423

au mouvement absolu du système, que le centre de gravité se meut comme un point matériel de masse M soumis aux actions de forces égales et parallèles aux forces extérieures du système ; de sorte que, si l’on applique le deuxième théorème général au mouvement de ce point matériel unique, on aura, en projection sur le môme axe que précédemment,

Mu - M«, = E J* * Fdt •

Il résulte de là que la somme d’impulsions que nous venons de trouver est nulle; et que, par conséquent, dans le mouvement relatif dont nous nous occupons, l’accroissement total de la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque est égal à zéro, c’est-à-dire que cette somme des quantités de mouvement projetées conserve constamment la même valeur. Il est aisé de vérifier directement cette conséquence du deuxième théorème général, en observant que, si x est l’une des coordonnées d’un quelconque des points matériels du système par rapport aux axes mobiles menés par le centre de gravité, et si m est la masse de ce point matériel, on a constamment

Zmx = 0 ;

d’où l’on déduit immédiatement

^dt = o-

Ainsi, non-seulement la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque pris pour axe de x est constante, comme l’indique le deuxième théorème général, mais encore cette somme est nulle.

Le troisième théorème général, appliqué au mouvement relatif qui fait l’objet de ce paragraphe, ne donne lieu à aucune remarque particulière quand l’axe par rapport auquel on prend les moments des quantités de mouvement et des impulsions ne passe pas par l’origine des axes mobiles, c’est-à-dire par le centre de gravité du système matériel considéré. Mais lorsque cet

*8* LIVRE IV. — nVNAMIQUE. TROISIÈME PARTIE.

axe, auquel se rapportent les moments, passe par le centre de gravité, l’application du troisième théorème général se simplifie. En effet, les forces d’inertie des divers points matériels qui composent le système, sont parallèles entre elles et proportionnelles aux masses de ces points; ces forces d’inertie, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont donc une résultante qui passe parle centre de gravité; et, par conséquent, la somme des moments des impulsions de ces forces par rapport à un axe quelconque mené par le centre de gravité, est nulle d’elle-môme : donc le troisième théorème général s’applique dans ce cas, sansqu’on ait besoin de joindre aucune force apparente, aux forces qui agissent réellementsurlesystème.On en conclut que, dans le cas particulier où les forces extérieures réelles, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, ont une résultante nulle ou passant constamment par le centre de gravité, le théorème des aires (§ 228) a lieu dans le mouvement relatif dont nous nous occupons, pour la projection du mouvement sur un plan quelconque, en prenant ce point pour origine des rayons vecteurs menés aux divers points matériels’ du système : dans ce cas, le plan du maximum des aires conserve une direction constante dans l’espace, et la somme des aires projetées sur ce plan, à partir d’une époque fixe quelconque, augmente proportionnellement au temps. C’est en appliquant ce qui précède au mouvement de notre système planétaire que Laplace a été conduit à considérer le plan du maximum des aires correspondant au centre de gravité, dans le mouvement de ce système par rapport à des axes de direction constan te menés par ce point, plan auquel il a donné le nom A^plan invariable et qu’il a proposé de prendre pour plan fixe dans l’étude du mouvement des divers astres.

Pour appliquer le quatrième théorème général au mouvement d’un système matériel, par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, il faut déterminer la somme des travaux de toutes les forces, tant intérieures qu’extérieures, qui agissent sur les diverses parties du système, y compris les forces d’inertie, qu’on doit joindre aux forces ré-

MOUVEMENT d’UN SYSTÈME MATÉRIEL OUELCONQUE. «25

elles, pour que le mouvement relatif puisse être traité comme un mouvement absolu. Mais si l’on observe que ces forces d’inertie sont parallèles entre elles et proportionnelles aux masses des divers points auxquelles elles correspondent, on verra qu’on peut étendre à ces forces ce qui a été dit précédemment (§ 173) pour le travail de la pesanteur sur les diverses parties d’un système matériel en mouvement; la somme des travaux des forces d’inertie dont il s’agit peut donc être remplacée par le travail d’une force unique égale à leur somme appliquée au centre de gravité du système ; et, par conséquent, cette somme de travaux est nulle dans le mouvement relatif que nous considérons, puisque le déplacement du centre de gravité, par rapport aux axes mobiles, est constamment nul. Il résulte de là que le théorème général des forces vives s’applique au mouvement d’un système matériel, par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, sans qu’on ait besoin de joindre aucune force apparente aux forces qui agissent réellement sur le système .

§23b. Il arrive fréquemment que l’on décompose le mouvement d’un système matériel en deux mouvements composants, dont l’un est le mouvement du système par rapport à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, et l’autre est le mouvement de ces axes eux-mêmes. Nous allons voir comment on peut, dans ce cas, évaluer la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à un axe, ainsi que sa force vive, dans le mouvement absolu.

Soient m la masse d’un point quelconque du système, et x,y,z ses coordonnées rapportées à trois axes rectangulaires fixes dans l’espace. Les projections de la quantité de mouvement de ce point matériel sur les trois axes coordonnés ont pour valeurs

Si l’on observe que les moments des quantités de mouvement s’évaluent de la même manière que les moments des forces, on

verra (§ 177) que le moment de la quantité de mouvement du point dont il s’agit, par rapport à l’axe des z, a pour valeur

en sorte que la somme des moments des quantités de mouvement des diverses parties du système matériel, par rapport à cet axe, est exprimée par

Désignons par ^,«1, ^ les coordonnées du point quelconque que nous avons considéré tout d’abord, par rapport à des axes menés par le centre de gravité du système parallèlement aux axes fixes ; et par x„ y,, z,, les coordonnées de ce centre de gravité rapportées aux axes fixes ; nous aurons

x = *i 4-t, y = yi + -n, 2 = z, -t-!;.

En vertu de ces relations, l’expression delà somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à l’axe fixe des z, pourra être mise sous la forme

d.Vi dx, , dr\ di

®‘7FT“ rfT +

■sr - ” rfT ^

Mais les quantités x^, y^, ne [variant pas quand on

passe d’un point à un autre du système matériel, peuvent être mises en dehors du signe 2; d’ailleurs, d’après les propriétés du centre de gravité qui reste constamment à l’origine des axes desÇ, 7),$, ona(§ 164)

et par suite

Xm| = O,

MOUVEMENT d’oN SYSTÈME MATÉKIEL QUELCONQUE. *Î7

Il s’ensuit que, si l’on désigne par M la niasse totale du système matériel, l’expression précédente se réduit à

MX.

dyi

dx^

On voit par là que la somme des moments des quantités de mouvement du système, par rapport à un axe fixe quelconque (qu’on peut toujours prendre pour axe des z), se compose de deux parties, dont l’une est ce que deviendrait cette somme si toute la masse du système était concentrée en son centre de gravité, et l’autre est une somme de moments analogue, prise dans le mouvement relatif du système rapporté à des axes de direction constante menés par son centre de gravité, et par rapport à un axe parallèle à l’axe fixe passant par ce point.

En adoptant les mêmes notations, on aura, pour représenter la force vive du système matériel, l’expression

En vertu des relations écrites précédemment entre les coordonnées X, y, Z d’un point quelconque rapportées aux axes fixes, les coordonnées ï,t), Ç du même point rapportées aux axes mobiles, et les coordonnées x„y,,z, du centre de gravité, on pourra mettre cette expression de la force vive du système sous la forme

dx d 1/ dz

Mais si l’on fait sortir les quantités ^ du signe £, et

si l’on tient compte de ce que l’on a

Sm^=0,

cette valeur de la force vive du système se réduira à

(t)’+ (§)>-[{§)■+ (sy-(f]'

On peut donc dire que la force vive du système, dans son mouvement absolu, peut se décomposer en deux parties, dont l’une est la force vive dont le système serait animé si toute sa masse était concentrée en son centre de gravité, et l’autre est la force vive qu’il possède dans son mouvement par rapport aux axes de directions constantes menés par ce point.

§ 236. A ppllcatloii «le» théorèmes aux ca»

«le» »y»t^me» matériel» dan» les«iael» on Imagine de» liaison». — Ce n’est pas seulement dans les questions d’équilibre qu’il estutile souventde supposer que le systèmeraatériel dont on s’occupe est assujetti à certaines liaisons (§ 186) ; il est aussi très-commode, dans un grand nombre de cas, d’avoir recours à la considération des liaisons, pour simplifier l’étude du mouvement d’un système matériel. Nous allons voir comment les quatre théorèmes généraux relatifs au mouvement d’un système matériel quelconque peuvent s’appliquer à un système dans lequel on imagine de pareilles liaisons. Nous supposerons toujours que ces liaisons sont toutes comprises dans les trois espèces distinctes que nous avons définies précédemment (§ 186).

Si l’on remplace les liaisons par des forces capables d’en tenir lieu, ainsi que nous l’avons déjà expliqué lorsque nous nous occupions de l’équilibre des systèmes matériels, il est clair que le système dont on s’occupe rentra dans le cas général que nous avons considéré jusqu’à présent ; et que, par conséquent, les théorèmes généraux peuvent lui être appliqués sans difficulté. Reste avoir quel est le rôle que jouent alors les forces qu’on a substituées aux liaisons, et qui ne sont pas connues à priori.

Dans les trois premiers théorèmes généraux, les forces’intérieures du système disparaissent d’elles-mêmes, ainsi que nous l’avons observé lorsque nous avons établi ces théorèmes ; il s’ensuit que toutes les forces de liaisons qui sont des forces intérieures disparaissent également dans ces trois théorèmes, en

MOUVEMENT d’UN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 4Î9

sorte que l’on peut en faire abstraction sans qu’il en résulte aucune erreur. Ainsi, toutes les fois qu’on suppose que certains points du système matériel sont assujettis à rester à des distances invariables les uns des autres, ou bien que certaines parties du système, considérées comme des solides invariables, sont assujetties à rester en contact les unes avec les autres, sans frottement, on peut appliquer les trois premiers théorèmes généraux sans se préoccuper en aucune manière des forces capables de tenir lieu de ces liaisons. Mais il n’en serait plus de même si l’on supposait que certains points du système sont obligés de rester sur des courbes fixes ou sur des surfaces fixes; les forces qui peuvent remplacer les courbes fixes ou les surfaces fixes dont il s’agit, sont des forces extérieures pour le système m'atériel dont on s’occupe, et elles doivent être prises en considération, tout aussi bien que les autres forces extérieures, dans l’application des trois premiers théorèmes généraux à ce système matériel.

Quant à l’application du théorème général des forces vives à un système matériel dans lequel on imagine des liaisons, elle peut se faire dans tous les cas sans qu’on tienne compte des forces capables de remplacer les liaisons. En effet, le mouvement dont le système est animé, pendant un élément de temps quelconque, est nécessairement compatible avec les liaisons auxquelles il est assujetti ; les travaux développés par les forces de liaisons pendant cet élément de temps disparaissent donc d’euxmêmes dans la somme des travaux élémentaires de toutes les forces qui agissent sur le système (§186); et par conséquent le théorème des forces vives peut être appliqué comme si ces forces de liaisons n’existaient pas.

On peut imaginer des liaisons dans un système matériel dont on étudie le mouvement relatif, tout aussi bien que dans un système dont on étudie le mouvement absolu; et tout ce qui vient d’être dit, pour l’application des quatre théorèmes généraux au mouvement absolu d’un système à liaisons, est vrai pour le mouvement relatif d’un pareil système. Il est bon d’observer cependant que, si l’on suppose que certains points du système sont

assujettis à rester sur des courbes ou sur des surfaces, sans frottement, on ne peut appliquer le théorème général des forces vives au mouvement du système par rapport k des axes mobiles, en ne tenant' pas compte des forces capables de remplacer ces liaisons, qu’autant que les courbes ou surfaces dont il s’agit sont fixes par rapport aux axes mobiles, c’est-à-dire qu’elles se meuvent avec ces axes sans changer de position par rapport à eux; si l’on regardait certains points du système comme assujettis à rester sur des courbes ou sur des surfaces fixes d’une manière absolue dans l’espace, on devrait tenir compte du travail des forces capables de remplacer ces courbes et ces surfaces, dans l’équation des forces vives appliquées au mouvement du système par rapport à des axes mobiles.

§ 237. Pour donner un exemple de l’application des considérations qui précédent, nous allons chercher, à l'aide du théorème général des forces vives, à nous rendre compte de la stabilité de l’équilibre d’un système pesant à liaisons. Nous avons vu (§ 189) qu’un système de ce genre est en équilibre, lorsque son centre de gravité ne sort pas du plan horizontal qui le contenait tout d’abord, quel que soit le déplacement infiniment petit et compatible avec les liaisons, que l’on attribue au système. Admettons maintenant que l’on donne au système un déplacement fini, mais très-petit et toujours compatible avec les liaisons, et que, quel que soit ce déplacement fini, le centre de gravité du système s’élève toujours au-dessus de sa position d’équilibre ; le théorème général des forces vives va nous montrer que, dans ce cas, l’équilibre du système est stable. Nous allons voir en effet, à l’aide de ce théorème, que, si l’on dérange très-peu le système de sa position d’équilibre, et qu’on l’abandonne ensuite à lui-méme, l’action de la pesanteur tendra toujours à l’y ramener.

Pour établir cette proposition, nous remarquerons d’abord que le système matériel dont il s’agit ne peut pas rester immobile dans la nouvelle position qu’on lui a donnée, pourvu toutefois que le déplacement attribué à ce système soit suffisamment petit. Car le centre de gravité du système, qui s’est élevé par hypo-

MOUVEMENT D’üN SYSTÈME MATÉRIEL QUELCONQUE. 431

thèse dans ce déplacement fini, continuerait encore à s’élever infiniment peu si l’on donnait au système un nouveau déplacement infiniment petit dans le môme sens que le précédent ; et, par conséquent, on voit que la condition d’équilibre n’est plus remplie pour la position qu'occupe le système après qu’il a subi le déplacement fini dont il est question. Le système matériel, ne pouvant pas être en équilibre dans la nouvelle position qu’on lui a donnée, se mettra nécessairement en mouvement sous l’action de la pesanteur, et par conséquent acquerra une certaine force vive. Or sa force vive ne peut s’accroître qu’au tant que la somme des travaux des forces q^i lui sont appliquées est positive (§230) ; d’un autre côté les forces capables de remplacer les liaisons ne fournissent aucun terme dans cette somme de travaux (§ 236) : il en résulte que, dans le mouvement que prend le système matériel abandonné à lui-méme après avoir été dérangé très-peu de sa position d’équilibre, le travail dû à la pesanteur doit être^ positif. Mais nous savons que ce travail est le même que si la masse entière du système était concentrée en son centre de gravité ; donc, dans le mouvement dont il s'agit, ce centre de gravité ne peut que descendre, c’est-à-dire qu’il se rapproche nécessairement de la position qu’il occupait lorsque le système était en équilibre.

Un raisonnement analogue ferait voir qu’au contraire, dans le cas où le centre de gravité du système pourrait s’abaisser par suite d’un déplacement fini, mais très-petit, attribué au système, l’équilibre serait instable; c’est-à-dire que le système, abandonné à lui-méme après avoir subi un pareil déplacement, non-seulement ne reviendrait pas vers la position d’équilibre qu’il avait d’abord, mais encore continuerait à s’en éloigner.