CHAPITRE II

MOUVEMENT d’uN SOUDE INVARIABLE.

§ 238. TItéorle de* moments d’inertie. — Si l’on multiplie la masse m d’un quelconque des points matériels qui composent un solide invariable par le carré de la distance r de ce point à une droite quelconque D, et qu’on ajoute tous les produits ainsi obtenus pour les divers points du solide, on trouve une somme qui joue un rôle très-important dans le mouvement d’un pareil solide, ainsi que nous le verrons bientôt. On donne à cette quantité le nom de moment d'inertie du solide par rapport à la droite D.

Le moment d’inertie Imr^ d’un solide par rapport à une droite D étant calculé, supposons que l’on détermine une ligne A par la condition que l’on ail

M étant la masse du solide tout entier ; cette ligne A est ce qu’on nomme le rayon de giration du solide par rapport à la droite D. Il est aisé de voir que ce n’est autre chose que le rayon d’une surface cylindrique de révolution, qui aurait la droite D pour axe, et sur laquelle on pourrait répartir la masse tout entière du solide sans que son moment d’inertie par rapport à cette droite D changeât de valeur.

Pour calculer la valeur du moment d’inertie d’un solide invariable par rapport à une droite donnée, concevons que nous

MOUVEMENT D’uN SOLIDE INVARIABLE. *3Î

rapportions le solide à trois axes coordonnés rectangulaires, dont l’un, l’axe des ar, coïncide avec la droite dont il s’agit; et que nous le décomposions en éléments rectangulaires, comme nous l’avons déjà fait pour la recherche du centre de gravité (§ 164). Si nous désignons par pla masse spécifique du solide au point dont les coordonnées sont x, y, z, nous aurons p dx dy dz pour la masse d’un élément situé en ce point ; d’un autre côté, le carré de la distance de ce point à l’axe des x est égal à ÿ*-j-z* ; de sorte que le ipoment d’inertie du solide par rapport à cet axe a pour valeur

///p (ÿ* +2*) dxdydz,

l’intégrale triple s’étendant à tous les éléments dont le solide se compose. On pourra souvent simplifier la détermination de cette intégrale, en remarquant qu’elle est la somme des deux suivantes :

SIS J f f9~*dxdyd:.

La masse totale du solide a de même pour valeur J J J ^dxdydz j

on en conclut que le rayon de giration k sera donné par la formule

///p (ÿ* + 2*) dx dy dz J" J" J P dxdydz

On peut observer que, si le solide est homogène, p est une constante qu’on peut supprimer comme facteur commun aux deux termes de la valeur de ; ce qui montre que, dans ce cas, le rayon de giration ne dépend que de la forme qu’affecte le solide, et est entièrement indépendant de sa densité.

Voici quelques résultats auxquels on parvient facilement, en suivant la marche qui vient d’étre indiquée. Ils se rapportent exclusivement à des solides homogènes.

1® Cylindre droit à base circulaire. — Le rayon de giration k d’un cylindre droit à base circulaire de rayon R par

as

rapport à l’axe de figure de ce cyliadre, est donné par la formule

4* = iR».

2® Couche cylindrique de réoolution. — Pour une couche cylindrique de révolution dont les rayons intérieur et extérieur sont R et R', on a, pour déterminer le rayon de giration relatif à l’axe de figure,

Si l’on nomme R, le rayon moyen de cette couche, et e son épaisseur, on peut remplacer la formule qui précède par celle-ci :

3” Sphère. — Le rayon de giration d’une sphère de rayon R, par rapport à un de ses diamètres, est fourni par la relation

4° Parallélipipède rectangle. — Dans le cas d’un parallélipipède rectangle dont les trois arêtes sont a, b, c, si l’on détermine le rayon de giration par rapport à une parallèle aux arêtes a menée par le centre du solide, on trouve

Après avoir défini le moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite, ainsi que le rayon de giration qui en dépend, et avoir indiqué la marche à suivre pour en déterminer les valeurs, nous allons nous occuper de comparer entre eux les moments d’inertie d’un même solide par rapport aux diverses droites qu’on peut imaginer dans l’espace.

deux droites parallèles .\B, A'F,

Fig. 113.

§ 239. Prenons d’abord