MOUVEMENT D’UN SOLIDE INYABIABLE. 4 3 K

fig. H3, dont l’une A'B' passe par le centre de gravité G du solide. Soit M un point quelconque du solide, situé à des distances MN = r, et MP = / de ces deux droites. Si nous désignons par a la distance NP des | deux droites, et par z la distance PQ du point P au pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur PN, nous aurons*

r» o’-|- r'* — 2az.

Multiplions tous les termes par la masse m du point M, et ajoutons ensuite membre à membre toutes les équations de même forme relatives aux différents points matériels dont le solide est composé : nous trouverons ainsi

Imr* = Ema* + — ÎEmaz .

Mais a est une constante qui peut être mise en dehors du signe 2 ; d’ailleurs z étant évidemment la distance du point M à un plan mené par A'B' perpendiculairement au plan ABA'B', on a

S»iz=0,

puisque le centre de gravité G est situé dans le plan dont il s’agit (§ 163) : donc, si l’on désigne par M la masse totale du solide, la relation précédente se réduit à

ïrnr* = Ma* ÎTar'*.

Ainsi le moment d’inertie du solide, par rapport à la droite AB, est égal au moment d’inertie du même solide par rapport à une parallèle à AB menée par son centre de gravité, augmenté du produit de la masse du solide parole carré de la distance de son centre de gravité à la droite AB. On voit par là que la connaissance du moment d’inertie du solide, par rapport à une droite menée par son centre de gravité, suffit pour qu’on puisse en déduire immédiatement le moment d’inertie de ce solide par rapport à une droite quelconque parallèle à la première.

§ 240. Comparons maintenant les moments d’inertie du solide par rapport aux diverses droites qui passent par un même point

O de l’espace. Nous ferons passer par ce point O, fig. U4,

trois axes rectangulaires OX, OY, OZ. Soit OA la droite par rapporté laquelle nous allons prendre le moment d’inertie du solide ; désignons par a, 6, y les angles que cette droite fait avec les axes OX, OY, OZ.

Pour un point quelconque M dont les coordonnées sont X, y, Z, et dont la projection sur la droite OA est en P, on a MP* = OM* — OP*

= — (xcosa-Hy cog 6 4- Z cos y)*

x’fl — cos> a) ê) -t- Z* (1 — cos* y) I

— Ixy cos O cos ê — 2xz cos a cos y — cos g cos y J

Si l’on observe qu’on a

cos* a-t- cos* g -t- cos* Y=t,

on verra que les trois quantités

1 — cos* a, 1 — cos* 6, 1 — cos* y,

peuvent être remplacées respectivement par

cos* g 4- cos* Y, cos* a 4- cos* y, cos* a 4- cos* g.

En faisant cette substitution, et groupant ensuite les termes convenablement, on trouve

jjpi j + 5’) COS* a 4- tx* 4- z’) cos* g 4- (I* 4- y*) cos* y ) .

I — 2yz cos g cos Y — 2xz cos o cos y — 2xy cos a cos g (

Multiplions tous les termes de cette équation par la masse m du point M, puis ajoutons membre à membre toutes les équations analogues relatives aux différents points matériels du solide : nous aurons ainsi la valeur du moment d’inertie Xmr* du solide par rapport à la droite OA, valeur qui peut s’écrire de celte manière :

MOUVEMENT D’UN SOLIDE INVAlflABLE. 4S7

I A COS *o + B cos*e+Cco»> Y* 1

( — 2D cos 6 cos Y — 2E cps a C08 Y — 2F cos a cos 6 j ’

en posant

2in(y* + z») = A, 2m (æ* 4- z») = B, 2m(i«+ÿ«)=C,

2myz = D, 2mxz = E, ïmxy = F.

Il est aisé de reconnaître que les lettres A, B, G, désignent respectivement les moments d’inertie du solide par rapport aux axes OX, OY, OZ. Pour voir comment varie le moment d’inertie relatif à la droite OA, lorsque cette droite prend successivement diverses positions autour du point O, portons sur sa direction, et à partir du point O, une longueur OB égale à

— - ; nous allons chercher le lieu géométrique du point B

yXwir*

ainsi obtenu. Si nous désignons par X, Y, Z, les coordonnées de ce point B, nous aurons

cos O = X l/lmr*, cos 6 = Y l^Imr*, cos y = Z 2mr*.

En substituant ces valeurs de cos a, cos €, cos y, dans l’expression du moment d’inertie, et supprimant qui est facteur commun, il vient :

1 = AX*-|- BY* H-CZ* — 2DYZ— 2EXZ — 2FXY.

C’est l’équation de la surface qui renferme tous les points tels que B. Cette surface est du second ordre, et a le point O pour centre : d’ailleurs, le moment d’inertie ne pouvant être nul pour aucune droite menée par le point O, le rayon vecteur OB ne peut pas devenir infini : donc c’est un ellipsoïde. Ce résultat très-simple nous donne une image nette des rapports dé grandeur qui existent entre les moments d’inertie du solide relatifs aux diverses droites menées par un même point de l’espace. ,

Les axes de l’ellipsoïde auquel nous venons de parvenir sont ce qu’on nomme les axe$ principaux du solide relativement au point 0. Si on les prend pour axes coordonnés, l’équation de l’ellipsoïde se simplifie et se réduit à